Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.19lem2 42312
Description: Lemma for jm2.19 42315. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
Proof of Theorem jm2.19lem2
StepHypRef Expression
1 frmy 42236 . . . . . 6 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
21fovcl 7533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
323adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
41fovcl 7533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
543adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
6 frmx 42235 . . . . . . 7 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
76fovcl 7533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„•0)
873adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„•0)
98nn0zd 12588 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„€)
103, 9gcdcomd 16462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)))
11 jm2.19lem1 42311 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)
12113adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)
1310, 12eqtrd 2766 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = 1)
14 coprmdvdsb 42307 . . . 4 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = 1)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
153, 5, 9, 13, 14syl112anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
168nn0cnd 12538 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„‚)
175zcnd 12671 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
1816, 17mulcomd 11239 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))
1918breq2d 5153 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
2015, 19bitrd 279 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
215, 9zmulcld 12676 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„€)
226fovcl 7533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
23223adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2423nn0zd 12588 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
2524, 3zmulcld 12676 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
26 dvdsmul2 16229 . . . 4 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))
2724, 3, 26syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))
28 dvdsadd2b 16256 . . 3 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))))
293, 21, 25, 27, 28syl112anc 1371 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))))
30 rmyadd 42253 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
31303com23 1123 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
3217, 16mulcld 11238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„‚)
3323nn0cnd 12538 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
343zcnd 12671 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
3533, 34mulcld 11238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
3632, 35addcomd 11420 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
3731, 36eqtr2d 2767 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)))
3837breq2d 5153 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
3920, 29, 383bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826   βˆ₯ cdvds 16204   gcd cgcd 16442   Xrm crmx 42221   Yrm crmy 42222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-squarenn 42162  df-pell1qr 42163  df-pell14qr 42164  df-pell1234qr 42165  df-pellfund 42166  df-rmx 42223  df-rmy 42224
This theorem is referenced by:  jm2.19lem3  42313
  Copyright terms: Public domain W3C validator