Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.19lem2 41729
Description: Lemma for jm2.19 41732. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
Proof of Theorem jm2.19lem2
StepHypRef Expression
1 frmy 41653 . . . . . 6 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
21fovcl 7537 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
323adant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
41fovcl 7537 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
543adant2 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
6 frmx 41652 . . . . . . 7 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
76fovcl 7537 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„•0)
873adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„•0)
98nn0zd 12584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„€)
103, 9gcdcomd 16455 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)))
11 jm2.19lem1 41728 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)
12113adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)
1310, 12eqtrd 2773 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = 1)
14 coprmdvdsb 41724 . . . 4 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) gcd (𝐴 Xrm 𝑀)) = 1)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
153, 5, 9, 13, 14syl112anc 1375 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
168nn0cnd 12534 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ β„‚)
175zcnd 12667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
1816, 17mulcomd 11235 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))
1918breq2d 5161 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑀) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
2015, 19bitrd 279 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
215, 9zmulcld 12672 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„€)
226fovcl 7537 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
23223adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2423nn0zd 12584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
2524, 3zmulcld 12672 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
26 dvdsmul2 16222 . . . 4 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))
2724, 3, 26syl2anc 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))
28 dvdsadd2b 16249 . . 3 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))))
293, 21, 25, 27, 28syl112anc 1375 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)))))
30 rmyadd 41670 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
31303com23 1127 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))))
3217, 16mulcld 11234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) ∈ β„‚)
3323nn0cnd 12534 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
343zcnd 12667 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
3533, 34mulcld 11234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
3632, 35addcomd 11416 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))))
3731, 36eqtr2d 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀)))
3837breq2d 5161 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm 𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
3920, 29, 383bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + 𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822   βˆ₯ cdvds 16197   gcd cgcd 16435   Xrm crmx 41638   Yrm crmy 41639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-numer 16671  df-denom 16672  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-squarenn 41579  df-pell1qr 41580  df-pell14qr 41581  df-pell1234qr 41582  df-pellfund 41583  df-rmx 41640  df-rmy 41641
This theorem is referenced by:  jm2.19lem3  41730
  Copyright terms: Public domain W3C validator