Theorem jm2.19lem1 43607

Description: Lemma for jm2.19 43611. X and Y values are coprime. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Proof of Theorem jm2.19lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmx 43531	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
2	1	fovcl 7539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12566	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14179	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
5		rmspecnonsq 43525	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
6	5	eldifad 3925	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
7	6	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12248	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9		frmy 43532	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) ∈ ℂ)
14	4, 13	negsubd 11574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))))
15	3	sqvald 14178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)))
16	11	sqvald 14178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀)))
17	16	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
18	8, 12	mulneg1d 11666	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)))
19		nnnegz 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
20	7, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12700	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
22	21, 11, 11	mul12d 11418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
23	17, 18, 22	3eqtr3d 2812	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
24	15, 23	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
25		rmxynorm 43536	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = 1)
26	14, 24, 25	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1)
27	2	nn0zd 12615	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ)
28	20, 10	zmulcld 12705	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
29		bezoutr1 16626	. . 3 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
30	27, 10, 27, 28, 29	syl22anc 851	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
31	26, 30	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  ℕcn 12232  2c2 12294  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  ↑cexp 14096   gcd cgcd 16551  ◻_NNcsquarenn 43454   X_rm crmx 43518   Y_rm crmy 43519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15103  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-limsup 15521  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-numer 16793  df-denom 16794  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-met 21484  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-fbas 21487  df-fg 21488  df-cnfld 21491  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cld 23144  df-ntr 23145  df-cls 23146  df-nei 23223  df-lp 23261  df-perf 23262  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-haus 23440  df-tx 23687  df-hmeo 23880  df-fil 23971  df-fm 24063  df-flim 24064  df-flf 24065  df-xms 24445  df-ms 24446  df-tms 24447  df-cncf 25005  df-limc 25993  df-dv 25994  df-log 26686  df-squarenn 43459  df-pell1qr 43460  df-pell14qr 43461  df-pell1234qr 43462  df-pellfund 43463  df-rmx 43520  df-rmy 43521

This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  43608  jm2.20nn  43615