Theorem jm2.19lem1 43173

Description: Lemma for jm2.19 43177. X and Y values are coprime. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Proof of Theorem jm2.19lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmx 43097	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
2	1	fovcl 7484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12462	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14065	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
5		rmspecnonsq 43091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
6	5	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12159	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9		frmy 43098	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14065	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) ∈ ℂ)
14	4, 13	negsubd 11496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))))
15	3	sqvald 14064	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)))
16	11	sqvald 14064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀)))
17	16	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
18	8, 12	mulneg1d 11588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)))
19		nnnegz 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
22	21, 11, 11	mul12d 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
23	17, 18, 22	3eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
24	15, 23	oveq12d 7374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
25		rmxynorm 43102	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = 1)
26	14, 24, 25	3eqtr3d 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1)
27	2	nn0zd 12511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ)
28	20, 10	zmulcld 12600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
29		bezoutr1 16494	. . 3 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
30	27, 10, 27, 28, 29	syl22anc 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
31	26, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  -cneg 11363  ℕcn 12143  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ↑cexp 13982   gcd cgcd 16419  ◻_NNcsquarenn 43020   X_rm crmx 43084   Y_rm crmy 43085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-numer 16660  df-denom 16661  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-squarenn 43025  df-pell1qr 43026  df-pell14qr 43027  df-pell1234qr 43028  df-pellfund 43029  df-rmx 43086  df-rmy 43087

This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  43174  jm2.20nn  43181