Theorem jm2.19lem1 41299

Description: Lemma for jm2.19 41303. X and Y values are coprime. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19lem1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Proof of Theorem jm2.19lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmx 41223	. . . . . . 7 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
2	1	fovcl 7484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12475	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14049	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
5		rmspecnonsq 41216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
6	5	eldifad 3922	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
7	6	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9		frmy 41224	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
11	10	zcnd 12608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
12	11	sqcld 14049	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) ∈ ℂ)
13	8, 12	mulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) ∈ ℂ)
14	4, 13	negsubd 11518	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))))
15	3	sqvald 14048	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)))
16	11	sqvald 14048	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀)))
17	16	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
18	8, 12	mulneg1d 11608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)))
19		nnnegz 12502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
20	7, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
22	21, 11, 11	mul12d 11364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀) · (𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
23	17, 18, 22	3eqtr3d 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀))))
24	15, 23	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) + -(((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))))
25		rmxynorm 41228	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑀)↑2))) = 1)
26	14, 24, 25	3eqtr3d 2784	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1)
27	2	nn0zd 12525	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ)
28	20, 10	zmulcld 12613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
29		bezoutr1 16445	. . 3 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
30	27, 10, 27, 28, 29	syl22anc 837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Xrm 𝑀) · (𝐴 Xrm 𝑀)) + ((𝐴 Yrm 𝑀) · (-((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑀)))) = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1))
31	26, 30	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑀) gcd (𝐴 Yrm 𝑀)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   − cmin 11385  -cneg 11386  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13967   gcd cgcd 16374  ◻_NNcsquarenn 41145   X_rm crmx 41209   Y_rm crmy 41210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212

This theorem is referenced by:  jm2.19lem2  41300  jm2.20nn  41307