Theorem expdiophlem1 43470

Description: Lemma for expdioph 43472. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
3		nnre 12175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		peano2re 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
7		nnz 12539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 43363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
11	8, 10	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
13		elnnuz 12822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzp1p1 12810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		df-2 12238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	15	fveq2i 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
17	14, 16	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	13, 17	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzle 12795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
22		nnnn0 12438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23		peano2nn0 12471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
25		rmygeid 43413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
26	24, 25	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 11297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
28		2z 12553	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		eluz 12796	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
30	28, 11, 29	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
31	27, 30	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
33		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	12	leidd 11710	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
37		jm3.1 43469	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
39	38	eqeq2d 2748	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))))
40	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
41		frmx 43362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
42	41	fovcl 7489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
43	31, 40, 42	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℤ)
45		eluzelz 12792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	11, 46	zsubcld 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) ∈ ℤ)
48	9	fovcl 7489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
49	31, 40, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 12633	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
51	44, 50	zsubcld 12632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 43468	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ)
54		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
55		divalgmodcl 16370	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
57	39, 56	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
58		rmynn0 43406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
59	24, 58	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
61		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Yrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))
62	61	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
63		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Xrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵))
64	63	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵)))
65		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (2 · 𝑑) = (2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
66	65	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((2 · 𝑑) · 𝐴) = ((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) = (((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)))
68	67	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) = ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))
69	68	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ↔ 𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
70		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 − 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴))
71	70	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒))
72	71	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)))
73	72	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))
74	68, 73	breq12d 5099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))
75	69, 74	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))
76	64, 75	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
77	76	rexbidv 3162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
78	62, 77	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
79	78	rexbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
80	79	ceqsrexv 3598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
81	60, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
82	22	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
83		rmynn0 43406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
84	32, 82, 83	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
85		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
86	85	oveq2d 7377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
87	86	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
88	87	breq2d 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
89	88	anbi2d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
90	89	anbi2d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
91	90	rexbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
92	91	ceqsrexv 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
93	84, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
94	7	ad2antll 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
95	32, 94, 42	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
96		oveq1 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
97	96	oveq1d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
98	97	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
99	98	anbi2d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
100	99	ceqsrexv 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
101	95, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
102	81, 93, 101	3bitrrd 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
103		r19.42v 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
104		r19.42v 3170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
105	104	anbi2i 624	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
106	103, 105	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
107	106	rexbii 3085	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
108		r19.42v 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
109	107, 108	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
110	109	rexbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
111	102, 110	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
112		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2)))
113	32, 112	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2))
115		ibar 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵))))
116		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵))))
117	116	anbi1d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
118	115, 117	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
119	114, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
120	119	pm5.32da 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
121		ibar 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
122	121	ad2antrl 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
123	122	anbi1d 632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
124	120, 123	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
125	124	rexbidv 3162	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
126	125	2rexbidv 3203	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
127	111, 126	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
128	57, 127	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
129	128	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))
130		r19.42v 3170	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
131	130	2rexbii 3114	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
132		r19.42v 3170	. . . . 5 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
133	132	rexbii 3085	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
134		r19.42v 3170	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
135	133, 134	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
136	131, 135	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
137	129, 136	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℕcn 12168  2c2 12230  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℤ_≥cuz 12782   mod cmo 13822  ↑cexp 14017   ∥ cdvds 16215   X_rm crmx 43349   Y_rm crmy 43350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-inf2 9556  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9857  df-acn 9860  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13296  df-ioc 13297  df-ico 13298  df-icc 13299  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15023  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-limsup 15427  df-clim 15444  df-rlim 15445  df-sum 15643  df-ef 16026  df-sin 16028  df-cos 16029  df-pi 16031  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-numer 16699  df-denom 16700  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-rest 17379  df-topn 17380  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-topgen 17400  df-pt 17401  df-prds 17404  df-xrs 17460  df-qtop 17465  df-imas 17466  df-xps 17468  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22872  df-topon 22889  df-topsp 22911  df-bases 22924  df-cld 22997  df-ntr 22998  df-cls 22999  df-nei 23076  df-lp 23114  df-perf 23115  df-cn 23205  df-cnp 23206  df-haus 23293  df-tx 23540  df-hmeo 23733  df-fil 23824  df-fm 23916  df-flim 23917  df-flf 23918  df-xms 24298  df-ms 24299  df-tms 24300  df-cncf 24858  df-limc 25846  df-dv 25847  df-log 26536  df-squarenn 43290  df-pell1qr 43291  df-pell14qr 43292  df-pell1234qr 43293  df-pellfund 43294  df-rmx 43351  df-rmy 43352

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  43471