Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expdiophlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expdiophlem1 41374
Description: Lemma for expdioph 41376. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐡,𝑑,𝑒,𝑓   𝐢,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 12234 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
3 nnre 12167 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
65adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
7 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
87peano2zd 12617 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„€)
9 frmy 41267 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
109fovcl 7489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€)
118, 10sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€)
1211zred 12614 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ ℝ)
13 elnnuz 12814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ β„• ↔ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
14 eluzp1p1 12798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
15 df-2 12223 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
1615fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
1714, 16eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1813, 17sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
19 eluzle 12783 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
2120adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
22 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
23 peano2nn0 12460 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„•0 β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„•0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„•0)
25 rmygeid 41317 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐡 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
2624, 25sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
272, 6, 12, 21, 26letrd 11319 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
28 2z 12542 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
29 eluz 12784 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
3028, 11, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
3127, 30mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3231adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
33 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
34 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3512leidd 11728 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
3635adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
37 jm3.1 41373 . . . . . . 7 ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ (𝐴↑𝐡) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1374 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴↑𝐡) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
3938eqeq2d 2748 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ 𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1))))
407adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
41 frmx 41266 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
4241fovcl 7489 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
4331, 40, 42syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
4443nn0zd 12532 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„€)
45 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4711, 46zsubcld 12619 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
489fovcl 7489 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„€)
4931, 40, 48syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„€)
5047, 49zmulcld 12620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)) ∈ β„€)
5144, 50zsubcld 12619 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€)
5251adantl 483 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€)
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 41372 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
54 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
55 divalgmodcl 16296 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€ ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
5739, 56bitrd 279 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
58 rmynn0 41310 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
5924, 58sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
6059adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
61 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 Yrm 𝐡) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))
6261eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)))
63 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 Xrm 𝐡) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡))
6463eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡)))
65 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (2 Β· 𝑑) = (2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
6665oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) = ((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴))
6766oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) = (((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)))
6867oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) = ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1))
6968breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ↔ 𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
70 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴))
7170oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒))
7271oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) = (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)))
7372oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) = ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))
7468, 73breq12d 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))
7569, 74anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))
7664, 75anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
7776rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
7862, 77anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
7978rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8079ceqsrexv 3610 . . . . . . . 8 ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8160, 80syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8222ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
83 rmynn0 41310 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0)
8432, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0)
85 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)))
8685oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) = (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))))
8786oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) = ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))
8887breq2d 5122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))
8988anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
9089anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9190rexbidv 3176 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9291ceqsrexv 3610 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9384, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
947ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
9532, 94, 42syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
96 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))))
9796oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))
9897breq2d 5122 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ (((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))
9998anbi2d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10099ceqsrexv 3610 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10195, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10281, 93, 1013bitrrd 306 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
103 r19.42v 3188 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
104 r19.42v 3188 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
105104anbi2i 624 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
106103, 105bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
107106rexbii 3098 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
108 r19.42v 3188 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
109107, 108bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
110109rexbii 3098 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
111102, 110bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
112 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
11332, 112syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
114113imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
115 ibar 530 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ↔ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡))))
116 ibar 530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ↔ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡))))
117116anbi1d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
118115, 117anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
119114, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
120119pm5.32da 580 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
121 ibar 530 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))))
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))))
123122anbi1d 631 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
124120, 123bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
125124rexbidv 3176 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
1261252rexbidv 3214 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
127111, 126bitrd 279 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
12857, 127bitrd 279 . . 3 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
129128pm5.32da 580 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
130 r19.42v 3188 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
1311302rexbii 3129 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
132 r19.42v 3188 . . . . 5 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
133132rexbii 3098 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
134 r19.42v 3188 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
135133, 134bitri 275 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
136131, 135bitri 275 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
137129, 136bitr4di 289 1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„cr 11057  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770   mod cmo 13781  β†‘cexp 13974   βˆ₯ cdvds 16143   Xrm crmx 41252   Yrm crmy 41253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41193  df-pell1qr 41194  df-pell14qr 41195  df-pell1234qr 41196  df-pellfund 41197  df-rmx 41254  df-rmy 41255
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  41375
  Copyright terms: Public domain W3C validator