Theorem expdiophlem1 42503

Description: Lemma for expdioph 42505. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
3		nnre 12244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		peano2re 11412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
7		nnz 12604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 42396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
11	8, 10	sylan2 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12691	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
13		elnnuz 12891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzp1p1 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		df-2 12300	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	15	fveq2i 6893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
17	14, 16	eleqtrrdi 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	13, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzle 12860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
22		nnnn0 12504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23		peano2nn0 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
25		rmygeid 42446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
26	24, 25	sylan2 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 11396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
28		2z 12619	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		eluz 12861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
30	28, 11, 29	sylancr 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
31	27, 30	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
33		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	12	leidd 11805	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
36	35	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
37		jm3.1 42502	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
39	38	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))))
40	7	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
41		frmx 42395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
42	41	fovcl 7543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
43	31, 40, 42	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℤ)
45		eluzelz 12857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	11, 46	zsubcld 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) ∈ ℤ)
48	9	fovcl 7543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
49	31, 40, 48	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 12697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
51	44, 50	zsubcld 12696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 42501	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ)
54		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
55		divalgmodcl 16378	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
57	39, 56	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
58		rmynn0 42439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
59	24, 58	sylan2 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
61		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Yrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))
62	61	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
63		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Xrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵))
64	63	eqeq2d 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵)))
65		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (2 · 𝑑) = (2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
66	65	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((2 · 𝑑) · 𝐴) = ((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) = (((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)))
68	67	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) = ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))
69	68	breq2d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ↔ 𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
70		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 − 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴))
71	70	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒))
72	71	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)))
73	72	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))
74	68, 73	breq12d 5157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))
75	69, 74	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))
76	64, 75	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
77	76	rexbidv 3169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
78	62, 77	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
79	78	rexbidv 3169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
80	79	ceqsrexv 3635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
81	60, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
82	22	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
83		rmynn0 42439	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
84	32, 82, 83	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
85		oveq2 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
86	85	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
87	86	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
88	87	breq2d 5156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
89	88	anbi2d 628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
90	89	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
91	90	rexbidv 3169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
92	91	ceqsrexv 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
93	84, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
94	7	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
95	32, 94, 42	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
96		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
97	96	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
98	97	breq2d 5156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
99	98	anbi2d 628	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
100	99	ceqsrexv 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
101	95, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
102	81, 93, 101	3bitrrd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
103		r19.42v 3181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
104		r19.42v 3181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
105	104	anbi2i 621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
106	103, 105	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
107	106	rexbii 3084	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
108		r19.42v 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
109	107, 108	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
110	109	rexbii 3084	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
111	102, 110	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
112		eleq1 2813	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2)))
113	32, 112	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2))
115		ibar 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵))))
116		ibar 527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵))))
117	116	anbi1d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
118	115, 117	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
119	114, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
120	119	pm5.32da 577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
121		ibar 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
122	121	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
123	122	anbi1d 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
124	120, 123	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
125	124	rexbidv 3169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
126	125	2rexbidv 3210	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
127	111, 126	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
128	57, 127	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
129	128	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))
130		r19.42v 3181	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
131	130	2rexbii 3119	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
132		r19.42v 3181	. . . . 5 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
133	132	rexbii 3084	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
134		r19.42v 3181	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
135	133, 134	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
136	131, 135	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
137	129, 136	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℝcr 11132  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469  ℕcn 12237  2c2 12292  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847   mod cmo 13861  ↑cexp 14053   ∥ cdvds 16225   X_rm crmx 42381   Y_rm crmy 42382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-numer 16701  df-denom 16702  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-squarenn 42322  df-pell1qr 42323  df-pell14qr 42324  df-pell1234qr 42325  df-pellfund 42326  df-rmx 42383  df-rmy 42384

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  42504