Theorem expdiophlem1 41745

Description: Lemma for expdioph 41747. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
3		nnre 12215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		peano2re 11383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
7		nnz 12575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 41638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
11	8, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
13		elnnuz 12862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzp1p1 12846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		df-2 12271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	15	fveq2i 6891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
17	14, 16	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	13, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzle 12831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
22		nnnn0 12475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23		peano2nn0 12508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
25		rmygeid 41688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
26	24, 25	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
28		2z 12590	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		eluz 12832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
30	28, 11, 29	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
31	27, 30	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
33		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	12	leidd 11776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
37		jm3.1 41744	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
39	38	eqeq2d 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))))
40	7	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
41		frmx 41637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
42	41	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
43	31, 40, 42	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℤ)
45		eluzelz 12828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	11, 46	zsubcld 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) ∈ ℤ)
48	9	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
49	31, 40, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
51	44, 50	zsubcld 12667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 41743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ)
54		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
55		divalgmodcl 16346	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
57	39, 56	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
58		rmynn0 41681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
59	24, 58	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
61		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Yrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))
62	61	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
63		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Xrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵))
64	63	eqeq2d 2743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵)))
65		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (2 · 𝑑) = (2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
66	65	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((2 · 𝑑) · 𝐴) = ((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) = (((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)))
68	67	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) = ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))
69	68	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ↔ 𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
70		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 − 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴))
71	70	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒))
72	71	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)))
73	72	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))
74	68, 73	breq12d 5160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))
75	69, 74	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))
76	64, 75	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
77	76	rexbidv 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
78	62, 77	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
79	78	rexbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
80	79	ceqsrexv 3642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
81	60, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
82	22	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
83		rmynn0 41681	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
84	32, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
85		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
86	85	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
87	86	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
88	87	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
89	88	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
90	89	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
91	90	rexbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
92	91	ceqsrexv 3642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
93	84, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
94	7	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
95	32, 94, 42	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
96		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
97	96	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
98	97	breq2d 5159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
99	98	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
100	99	ceqsrexv 3642	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
101	95, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
102	81, 93, 101	3bitrrd 305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
103		r19.42v 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
104		r19.42v 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
105	104	anbi2i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
106	103, 105	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
107	106	rexbii 3094	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
108		r19.42v 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
109	107, 108	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
110	109	rexbii 3094	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
111	102, 110	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
112		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2)))
113	32, 112	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2))
115		ibar 529	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵))))
116		ibar 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵))))
117	116	anbi1d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
118	115, 117	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
119	114, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
120	119	pm5.32da 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
121		ibar 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
122	121	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
123	122	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
124	120, 123	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
125	124	rexbidv 3178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
126	125	2rexbidv 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
127	111, 126	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
128	57, 127	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
129	128	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))
130		r19.42v 3190	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
131	130	2rexbii 3129	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
132		r19.42v 3190	. . . . 5 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
133	132	rexbii 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
134		r19.42v 3190	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
135	133, 134	bitri 274	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
136	131, 135	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
137	129, 136	bitr4di 288	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   mod cmo 13830  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193   X_rm crmx 41623   Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  41746