Theorem expdiophlem1 43748

Description: Lemma for expdioph 43750. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
3		nnre 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		peano2re 11378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
7		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 43641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
11	8, 10	sylan2 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
13		elnnuz 12897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzp1p1 12885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		df-2 12298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	15	fveq2i 6884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
17	14, 16	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	13, 17	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzle 12870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
22		nnnn0 12506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23		peano2nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
25		rmygeid 43691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
26	24, 25	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
28		2z 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		eluz 12871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
30	28, 11, 29	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
31	27, 30	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
33		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	12	leidd 11775	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
36	35	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
37		jm3.1 43747	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
39	38	eqeq2d 2774	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))))
40	7	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
41		frmx 43640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
42	41	fovcl 7538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
43	31, 40, 42	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℤ)
45		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	11, 46	zsubcld 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) ∈ ℤ)
48	9	fovcl 7538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
49	31, 40, 48	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 12701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
51	44, 50	zsubcld 12700	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 43746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ)
54		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
55		divalgmodcl 16460	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
57	39, 56	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
58		rmynn0 43684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
59	24, 58	sylan2 604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
61		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Yrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))
62	61	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
63		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Xrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵))
64	63	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵)))
65		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (2 · 𝑑) = (2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
66	65	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((2 · 𝑑) · 𝐴) = ((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) = (((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)))
68	67	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) = ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))
69	68	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ↔ 𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
70		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 − 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴))
71	70	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒))
72	71	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)))
73	72	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))
74	68, 73	breq12d 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))
75	69, 74	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))
76	64, 75	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
77	76	rexbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
78	62, 77	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
79	78	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
80	79	ceqsrexv 3614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
81	60, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
82	22	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
83		rmynn0 43684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
84	32, 82, 83	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
85		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
86	85	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
87	86	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
88	87	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
89	88	anbi2d 641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
90	89	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
91	90	rexbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
92	91	ceqsrexv 3614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
93	84, 92	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
94	7	ad2antll 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
95	32, 94, 42	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
96		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
97	96	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
98	97	breq2d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
99	98	anbi2d 641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
100	99	ceqsrexv 3614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
101	95, 100	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
102	81, 93, 101	3bitrrd 309	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
103		r19.42v 3197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
104		r19.42v 3197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
105	104	anbi2i 634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
106	103, 105	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
107	106	rexbii 3112	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
108		r19.42v 3197	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
109	107, 108	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
110	109	rexbii 3112	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
111	102, 110	bitr4di 292	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
112		eleq1 2851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2)))
113	32, 112	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2))
115		ibar 537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵))))
116		ibar 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵))))
117	116	anbi1d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
118	115, 117	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
119	114, 118	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
120	119	pm5.32da 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
121		ibar 537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
122	121	ad2antrl 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
123	122	anbi1d 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
124	120, 123	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
125	124	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
126	125	2rexbidv 3230	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
127	111, 126	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
128	57, 127	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
129	128	pm5.32da 589	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))
130		r19.42v 3197	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
131	130	2rexbii 3141	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
132		r19.42v 3197	. . . . 5 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
133	132	rexbii 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
134		r19.42v 3197	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
135	133, 134	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
136	131, 135	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
137	129, 136	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   mod cmo 13898  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305   X_rm crmx 43627   Y_rm crmy 43628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-numer 16789  df-denom 16790  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026  df-log 26721  df-squarenn 43568  df-pell1qr 43569  df-pell14qr 43570  df-pell1234qr 43571  df-pellfund 43572  df-rmx 43629  df-rmy 43630

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  43749