Theorem expdiophlem1 42442

Description: Lemma for expdioph 42444. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdiophlem1	⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐵,𝑑,𝑒,𝑓   𝐶,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
3		nnre 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
4		peano2re 11418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ∈ ℝ)
7		nnz 12610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 42335	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7549	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
11	8, 10	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ)
12	11	zred 12697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℝ)
13		elnnuz 12897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘1))
14		eluzp1p1 12881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
15		df-2 12306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
16	15	fveq2i 6900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
17	14, 16	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
18	13, 17	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
19		eluzle 12866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝐵 + 1))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐵 + 1))
22		nnnn0 12510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
23		peano2nn0 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 + 1) ∈ ℕ0)
25		rmygeid 42385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
26	24, 25	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 + 1) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
27	2, 6, 12, 21, 26	letrd 11402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
28		2z 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
29		eluz 12867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
30	28, 11, 29	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 2 ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
31	27, 30	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2))
33		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ)
35	12	leidd 11811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
36	35	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))
37		jm3.1 42441	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
38	32, 33, 34, 36, 37	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴↑𝐵) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
39	38	eqeq2d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ 𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))))
40	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
41		frmx 42334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
42	41	fovcl 7549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
43	31, 40, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
44	43	nn0zd 12615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℤ)
45		eluzelz 12863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
47	11, 46	zsubcld 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) ∈ ℤ)
48	9	fovcl 7549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
49	31, 40, 48	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 12703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)) ∈ ℤ)
51	44, 50	zsubcld 12702	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
52	51	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ)
53	32, 33, 34, 36	jm3.1lem3 42440	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ)
54		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
55		divalgmodcl 16384	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
56	52, 53, 54, 55	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) mod ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
57	39, 56	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
58		rmynn0 42378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐵 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
59	24, 58	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0)
61		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Yrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))
62	61	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
63		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 Xrm 𝐵) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵))
64	63	eqeq2d 2739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵)))
65		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (2 · 𝑑) = (2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))))
66	65	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((2 · 𝑑) · 𝐴) = ((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴))
67	66	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) = (((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)))
68	67	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) = ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1))
69	68	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ↔ 𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1)))
70		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 − 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴))
71	70	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒))
72	71	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)))
73	72	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))
74	68, 73	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))
75	69, 74	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))
76	64, 75	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
77	76	rexbidv 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
78	62, 77	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
79	78	rexbidv 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
80	79	ceqsrexv 3641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ ℕ0 → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
81	60, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
82	22	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
83		rmynn0 42378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
84	32, 82, 83	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0)
85		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵)))
86	85	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) = (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
87	86	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) = ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
88	87	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
89	88	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
90	89	anbi2d 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
91	90	rexbidv 3175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
92	91	ceqsrexv 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
93	84, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))))
94	7	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
95	32, 94, 42	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0)
96		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) = (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))))
97	96	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) = ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))
98	97	breq2d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → (((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶) ↔ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)))
99	98	anbi2d 629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
100	99	ceqsrexv 3641	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∈ ℕ0 → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
101	95, 100	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))) ↔ (𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶))))
102	81, 93, 101	3bitrrd 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
103		r19.42v 3187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
104		r19.42v 3187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
105	104	anbi2i 622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
106	103, 105	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
107	106	rexbii 3091	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
108		r19.42v 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
109	107, 108	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
110	109	rexbii 3091	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
111	102, 110	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
112		eleq1 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∈ (ℤ≥‘2)))
113	32, 112	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘2))
115		ibar 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵))))
116		ibar 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ↔ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵))))
117	116	anbi1d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))
118	115, 117	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
119	114, 118	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) → ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))) ↔ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))
120	119	pm5.32da 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
121		ibar 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
122	121	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)))))
123	122	anbi1d 630	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
124	120, 123	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
125	124	rexbidv 3175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
126	125	2rexbidv 3216	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
127	111, 126	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → ((𝐶 < ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Xrm 𝐵) − (((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) − 𝐴) · ((𝐴 Yrm (𝐵 + 1)) Yrm 𝐵))) − 𝐶)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
128	57, 127	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ)) → (𝐶 = (𝐴↑𝐵) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
129	128	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))
130		r19.42v 3187	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
131	130	2rexbii 3126	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
132		r19.42v 3187	. . . . 5 ⊢ (∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
133	132	rexbii 3091	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
134		r19.42v 3187	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
135	133, 134	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
136	131, 135	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶)))))))
137	129, 136	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝐶 = (𝐴↑𝐵)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐵 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐵)) ∧ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐵)) ∧ (𝐶 < ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝑑) · 𝐴) − (𝐴↑2)) − 1) ∥ ((𝑓 − ((𝑑 − 𝐴) · 𝑒)) − 𝐶))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  1c1 11140   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475  ℕcn 12243  2c2 12298  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589  ℤ_≥cuz 12853   mod cmo 13867  ↑cexp 14059   ∥ cdvds 16231   X_rm crmx 42320   Y_rm crmy 42321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-numer 16707  df-denom 16708  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-squarenn 42261  df-pell1qr 42262  df-pell14qr 42263  df-pell1234qr 42264  df-pellfund 42265  df-rmx 42322  df-rmy 42323

This theorem is referenced by:  expdiophlem2  42443