Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  expdiophlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expdiophlem1 42354
Description: Lemma for expdioph 42356. Fully expanded expression for exponential. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdiophlem1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑑,𝑒,𝑓   𝐡,𝑑,𝑒,𝑓   𝐢,𝑑,𝑒,𝑓

Proof of Theorem expdiophlem1
StepHypRef Expression
1 2re 12302 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
3 nnre 12235 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 peano2re 11403 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + 1) ∈ ℝ)
7 nnz 12595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„€)
87peano2zd 12685 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„€)
9 frmy 42247 . . . . . . . . . . . . 13 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
109fovcl 7542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€)
118, 10sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€)
1211zred 12682 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ ℝ)
13 elnnuz 12882 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ β„• ↔ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
14 eluzp1p1 12866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
15 df-2 12291 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
1615fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
1714, 16eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1813, 17sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
19 eluzle 12851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ≀ (𝐡 + 1))
22 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„• β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
23 peano2nn0 12528 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ∈ β„•0 β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„•0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ β„• β†’ (𝐡 + 1) ∈ β„•0)
25 rmygeid 42297 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐡 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
2624, 25sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐡 + 1) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
272, 6, 12, 21, 26letrd 11387 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
28 2z 12610 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
29 eluz 12852 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
3028, 11, 29sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ 2 ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
3127, 30mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
3231adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
33 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
34 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
3512leidd 11796 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
3635adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))
37 jm3.1 42353 . . . . . . 7 ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ (𝐴↑𝐡) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
3832, 33, 34, 36, 37syl31anc 1371 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴↑𝐡) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
3938eqeq2d 2738 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ 𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1))))
407adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
41 frmx 42246 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
4241fovcl 7542 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
4331, 40, 42syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
4443nn0zd 12600 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„€)
45 eluzelz 12848 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
4711, 46zsubcld 12687 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) ∈ β„€)
489fovcl 7542 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„€)
4931, 40, 48syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„€)
5047, 49zmulcld 12688 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)) ∈ β„€)
5144, 50zsubcld 12687 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€)
5251adantl 481 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€)
5332, 33, 34, 36jm3.1lem3 42352 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„•)
54 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
55 divalgmodcl 16369 . . . . . 6 (((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) ∈ β„€ ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∈ β„• ∧ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) mod ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
5739, 56bitrd 279 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
58 rmynn0 42290 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝐡 + 1) ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
5924, 58sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
6059adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0)
61 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 Yrm 𝐡) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))
6261eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ↔ 𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)))
63 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 Xrm 𝐡) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡))
6463eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ↔ 𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡)))
65 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (2 Β· 𝑑) = (2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))))
6665oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) = ((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴))
6766oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) = (((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)))
6867oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) = ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1))
6968breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ↔ 𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1)))
70 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝐴) = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴))
7170oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒))
7271oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) = (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)))
7372oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) = ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))
7468, 73breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))
7569, 74anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))
7664, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
7776rexbidv 3173 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
7862, 77anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
7978rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8079ceqsrexv 3639 . . . . . . . 8 ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8160, 80syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
8222ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„•0)
83 rmynn0 42290 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0)
8432, 82, 83syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0)
85 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡)))
8685oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) = (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))))
8786oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) = ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))
8887breq2d 5154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))
8988anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
9089anbi2d 628 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ ((𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9190rexbidv 3173 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9291ceqsrexv 3639 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
9384, 92syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))))
947ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ 𝐡 ∈ β„€)
9532, 94, 42syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0)
96 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ (𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) = (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))))
9796oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢) = ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))
9897breq2d 5154 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ (((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢) ↔ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)))
9998anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10099ceqsrexv 3639 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10195, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))) ↔ (𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢))))
10281, 93, 1013bitrrd 306 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
103 r19.42v 3185 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
104 r19.42v 3185 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
105104anbi2i 622 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
106103, 105bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
107106rexbii 3089 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
108 r19.42v 3185 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
109107, 108bitri 275 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
110109rexbii 3089 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
111102, 110bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
112 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
11332, 112syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
114113imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ 𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
115 ibar 528 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ↔ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡))))
116 ibar 528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ↔ (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡))))
117116anbi1d 629 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))
118115, 117anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
119114, 118syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) β†’ ((𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))) ↔ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))
120119pm5.32da 578 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
121 ibar 528 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))))
122121ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)))))
123122anbi1d 629 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
124120, 123bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
125124rexbidv 3173 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
1261252rexbidv 3214 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 (𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) ∧ (𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡) ∧ (𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
127111, 126bitrd 279 . . . 4 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ ((𝐢 < ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Xrm 𝐡) βˆ’ (((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) βˆ’ 𝐴) Β· ((𝐴 Yrm (𝐡 + 1)) Yrm 𝐡))) βˆ’ 𝐢)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
12857, 127bitrd 279 . . 3 ((𝐢 ∈ β„•0 ∧ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•)) β†’ (𝐢 = (𝐴↑𝐡) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
129128pm5.32da 578 . 2 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
130 r19.42v 3185 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
1311302rexbii 3124 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
132 r19.42v 3185 . . . . 5 (βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
133132rexbii 3089 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
134 r19.42v 3185 . . . 4 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
135133, 134bitri 275 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
136131, 135bitri 275 . 2 (βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))) ↔ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢)))))))
137129, 136bitr4di 289 1 (𝐢 ∈ β„•0 β†’ (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ 𝐢 = (𝐴↑𝐡)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ β„•0 βˆƒπ‘’ ∈ β„•0 βˆƒπ‘“ ∈ β„•0 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐡 ∈ β„•) ∧ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑑 = (𝐴 Yrm (𝐡 + 1))) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑒 = (𝑑 Yrm 𝐡)) ∧ ((𝑑 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑓 = (𝑑 Xrm 𝐡)) ∧ (𝐢 < ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) ∧ ((((2 Β· 𝑑) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴↑2)) βˆ’ 1) βˆ₯ ((𝑓 βˆ’ ((𝑑 βˆ’ 𝐴) Β· 𝑒)) βˆ’ 𝐢))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838   mod cmo 13852  β†‘cexp 14044   βˆ₯ cdvds 16216   Xrm crmx 42232   Yrm crmy 42233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-numer 16692  df-denom 16693  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464  df-squarenn 42173  df-pell1qr 42174  df-pell14qr 42175  df-pell1234qr 42176  df-pellfund 42177  df-rmx 42234  df-rmy 42235
This theorem is referenced by:  expdiophlem2  42355
  Copyright terms: Public domain W3C validator