Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.24nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.24nn 42429
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to β„•. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 12619 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 1z 12632 . . . . . 6 1 ∈ β„€
3 zsubcl 12644 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
41, 2, 3sylancl 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
5 frmy 42384 . . . . . 6 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
65fovcl 7556 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
74, 6sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
87zred 12706 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
95fovcl 7556 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
101, 9sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
1110zred 12706 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
128, 11readdcld 11283 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
13 2re 12326 . . . 4 2 ∈ ℝ
14 remulcl 11233 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
1513, 11, 14sylancr 585 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
1615, 8resubcld 11682 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
17 frmx 42383 . . . . 5 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1817fovcl 7556 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
191, 18sylan2 591 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2019nn0red 12573 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
2111, 8resubcld 11682 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
22 remulcl 11233 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
2313, 8, 22sylancr 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
24 eluzelre 12873 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2524adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2625, 8remulcld 11284 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
278, 25remulcld 11284 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) ∈ ℝ)
2817fovcl 7556 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
294, 28sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
3029nn0red 12573 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
3127, 30readdcld 11283 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
3213a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ∈ ℝ)
33 nnm1nn0 12553 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
34 rmxypos 42417 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
3534simprd 494 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
3633, 35sylan2 591 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
37 eluzle 12875 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ≀ 𝐴)
3837adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 2 ≀ 𝐴)
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 12193 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ≀ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
4025recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
418recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
4240, 41mulcomd 11275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴))
4334simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)))
4433, 43sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)))
4530, 27ltaddposd 11838 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)))))
4644, 45mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
4742, 46eqbrtrd 5174 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 11412 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
49412timesd 12495 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
50 rmyp1 42403 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
514, 50sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
52 nnre 12259 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5352adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5453recnd 11282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
55 ax-1cn 11206 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
56 npcan 11509 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
5754, 55, 56sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
5857oveq2d 7442 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
5951, 58eqtr3d 2770 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) Β· 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
6048, 49, 593brtr3d 5183 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁))
618, 8, 11ltaddsubd 11854 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))))
6260, 61mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
638, 21, 11, 62ltadd1dd 11865 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6411recnd 11282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
65642timesd 12495 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6665oveq1d 7441 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
6764, 64, 41addsubd 11632 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6866, 67eqtrd 2768 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6963, 68breqtrrd 5180 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
7025, 11remulcld 11284 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
71 rmy0 42399 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
7271adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
73 nngt0 12283 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
7473adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
75 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
76 0zd 12610 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
771adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
78 ltrmy 42422 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
7975, 76, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
8074, 79mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
8172, 80eqbrtrrd 5176 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
82 lemul1 12106 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))) β†’ (2 ≀ 𝐴 ↔ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ≀ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
8332, 25, 11, 81, 82syl112anc 1371 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 ≀ 𝐴 ↔ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ≀ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
8438, 83mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ≀ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
8515, 70, 8, 84lesub1dd 11870 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ≀ ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
86 rmym1 42405 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
871, 86sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
8864, 40mulcomd 11275 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
8988oveq1d 7441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
9087, 89eqtr2d 2769 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
9170recnd 11282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
9220recnd 11282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
93 subsub23 11505 . . . . 5 (((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚) β†’ (((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
9491, 92, 41, 93syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ↔ ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
9590, 94mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁))
9685, 95breqtrd 5178 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))) ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))
9712, 16, 20, 69, 96ltletrd 11414 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11146  β„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   Β· cmul 11153   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„•cn 12252  2c2 12307  β„•0cn0 12512  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862   Xrm crmx 42369   Yrm crmy 42370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226  ax-addf 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-omul 8500  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-card 9972  df-acn 9975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-shft 15056  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-limsup 15457  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-ef 16053  df-sin 16055  df-cos 16056  df-pi 16058  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-numer 16716  df-denom 16717  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-rest 17413  df-topn 17414  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-topgen 17434  df-pt 17435  df-prds 17438  df-xrs 17493  df-qtop 17498  df-imas 17499  df-xps 17501  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22824  df-topon 22841  df-topsp 22863  df-bases 22877  df-cld 22951  df-ntr 22952  df-cls 22953  df-nei 23030  df-lp 23068  df-perf 23069  df-cn 23159  df-cnp 23160  df-haus 23247  df-tx 23494  df-hmeo 23687  df-fil 23778  df-fm 23870  df-flim 23871  df-flf 23872  df-xms 24254  df-ms 24255  df-tms 24256  df-cncf 24826  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26518  df-squarenn 42310  df-pell1qr 42311  df-pell14qr 42312  df-pell1234qr 42313  df-pellfund 42314  df-rmx 42371  df-rmy 42372
This theorem is referenced by:  jm2.24  42433
  Copyright terms: Public domain W3C validator