Theorem jm2.24nn 43500

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		1z 12598	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zsubcl 12610	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		frmy 43455	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	zred 12674	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
9	5	fovcl 7520	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
10	1, 9	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
11	10	zred 12674	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
12	8, 11	readdcld 11208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
13		2re 12289	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		remulcl 11155	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 11, 14	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
16	15, 8	resubcld 11612	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
17		frmx 43454	. . . . 5 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
18	17	fovcl 7520	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	1, 18	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12540	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
21	11, 8	resubcld 11612	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
22		remulcl 11155	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
23	13, 8, 22	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
24		eluzelre 12847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25, 8	remulcld 11209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
27	8, 25	remulcld 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
28	17	fovcl 7520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
29	4, 28	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31	27, 30	readdcld 11208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
33		nnm1nn0 12519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
34		rmxypos 43488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
35	34	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
36	33, 35	sylan2 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
37		eluzle 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
38	37	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≤ 𝐴)
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 12128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
40	25	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	8	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴))
43	34	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
44	33, 43	sylan2 602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
45	30, 27	ltaddposd 11768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))))
46	44, 45	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
47	42, 46	eqbrtrd 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 11338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
49	41	2timesd 12461	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
50		rmyp1 43474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
51	4, 50	sylan2 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
52		nnre 12214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	recnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
55		ax-1cn 11128	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
56		npcan 11436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	54, 55, 56	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
58	57	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
59	51, 58	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
60	48, 49, 59	3brtr3d 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁))
61	8, 8, 11	ltaddsubd 11784	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))))
62	60, 61	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 11795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
64	11	recnd 11207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
65	64	2timesd 12461	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
66	65	oveq1d 7407	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
67	64, 64, 41	addsubd 11560	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
68	66, 67	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	63, 68	breqtrrd 5127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
70	25, 11	remulcld 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
71		rmy0 43470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
72	71	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
73		nngt0 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
74	73	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
76		0zd 12577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
77	1	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
78		ltrmy 43493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
80	74, 79	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
81	72, 80	eqbrtrrd 5123	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
82		lemul1 12040	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
83	32, 25, 11, 81, 82	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
84	38, 83	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
85	15, 70, 8, 84	lesub1dd 11800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
86		rmym1 43476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
87	1, 86	sylan2 602	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
88	64, 40	mulcomd 11200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
89	88	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
90	87, 89	eqtr2d 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
91	70	recnd 11207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
92	20	recnd 11207	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
93		subsub23 11432	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
94	91, 92, 41, 93	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
95	90, 94	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁))
96	85, 95	breqtrd 5125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
97	12, 16, 20, 69, 96	ltletrd 11340	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  2c2 12269  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836   X_rm crmx 43441   Y_rm crmy 43442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-numer 16753  df-denom 16754  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-squarenn 43382  df-pell1qr 43383  df-pell14qr 43384  df-pell1234qr 43385  df-pellfund 43386  df-rmx 43443  df-rmy 43444

This theorem is referenced by:  jm2.24  43504