Theorem jm2.24nn 43405

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12536	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zsubcl 12560	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		frmy 43360	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	zred 12624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
9	5	fovcl 7488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
10	1, 9	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
11	10	zred 12624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
12	8, 11	readdcld 11165	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
13		2re 12246	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		remulcl 11114	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 11, 14	sylancr 588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
16	15, 8	resubcld 11569	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
17		frmx 43359	. . . . 5 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
18	17	fovcl 7488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	1, 18	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12490	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
21	11, 8	resubcld 11569	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
22		remulcl 11114	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
23	13, 8, 22	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
24		eluzelre 12790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25, 8	remulcld 11166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
27	8, 25	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
28	17	fovcl 7488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
29	4, 28	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31	27, 30	readdcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
33		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
34		rmxypos 43393	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
35	34	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
36	33, 35	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
37		eluzle 12792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≤ 𝐴)
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 12086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
40	25	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	8	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 11157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴))
43	34	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
44	33, 43	sylan2 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
45	30, 27	ltaddposd 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))))
46	44, 45	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
47	42, 46	eqbrtrd 5108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 11295	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
49	41	2timesd 12411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
50		rmyp1 43379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
51	4, 50	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
52		nnre 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
55		ax-1cn 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
56		npcan 11393	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	54, 55, 56	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
58	57	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
59	51, 58	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
60	48, 49, 59	3brtr3d 5117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁))
61	8, 8, 11	ltaddsubd 11741	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))))
62	60, 61	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 11752	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
64	11	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
65	64	2timesd 12411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
66	65	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
67	64, 64, 41	addsubd 11517	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
68	66, 67	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	63, 68	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
70	25, 11	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
71		rmy0 43375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
72	71	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
73		nngt0 12199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
74	73	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
76		0zd 12527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
77	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
78		ltrmy 43398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
80	74, 79	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
81	72, 80	eqbrtrrd 5110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
82		lemul1 11998	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
83	32, 25, 11, 81, 82	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
84	38, 83	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
85	15, 70, 8, 84	lesub1dd 11757	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
86		rmym1 43381	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
87	1, 86	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
88	64, 40	mulcomd 11157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
89	88	oveq1d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
90	87, 89	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
91	70	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
92	20	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
93		subsub23 11389	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
94	91, 92, 41, 93	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
95	90, 94	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁))
96	85, 95	breqtrd 5112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
97	12, 16, 20, 69, 96	ltletrd 11297	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   X_rm crmx 43346   Y_rm crmy 43347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-squarenn 43287  df-pell1qr 43288  df-pell14qr 43289  df-pell1234qr 43290  df-pellfund 43291  df-rmx 43348  df-rmy 43349

This theorem is referenced by:  jm2.24  43409