Theorem jm2.24nn 40776

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to ℕ. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12340	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		1z 12348	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		zsubcl 12360	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5		frmy 40731	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
7	4, 6	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
8	7	zred 12423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
9	5	fovcl 7394	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
10	1, 9	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
11	10	zred 12423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
12	8, 11	readdcld 11003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
13		2re 12045	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
14		remulcl 10955	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
15	13, 11, 14	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
16	15, 8	resubcld 11401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
17		frmx 40730	. . . . 5 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
18	17	fovcl 7394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19	1, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 12292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
21	11, 8	resubcld 11401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
22		remulcl 10955	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
23	13, 8, 22	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
24		eluzelre 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
26	25, 8	remulcld 11004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
27	8, 25	remulcld 11004	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) ∈ ℝ)
28	17	fovcl 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
29	4, 28	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0red 12292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
31	27, 30	readdcld 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
33		nnm1nn0 12272	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
34		rmxypos 40764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
35	34	simprd 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
36	33, 35	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
37		eluzle 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝐴)
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ≤ 𝐴)
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 11912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
40	25	recnd 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
41	8	recnd 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
42	40, 41	mulcomd 10995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴))
43	34	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
44	33, 43	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
45	30, 27	ltaddposd 11557	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))))
46	44, 45	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
47	42, 46	eqbrtrd 5101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 11131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
49	41	2timesd 12214	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
50		rmyp1 40750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
51	4, 50	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))))
52		nnre 11978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
54	53	recnd 11002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
55		ax-1cn 10928	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
56		npcan 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	54, 55, 56	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
58	57	oveq2d 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
59	51, 58	eqtr3d 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) · 𝐴) + (𝐴 Xrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Yrm 𝑁))
60	48, 49, 59	3brtr3d 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁))
61	8, 8, 11	ltaddsubd 11573	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) < (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))))
62	60, 61	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) < ((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 11584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
64	11	recnd 11002	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
65	64	2timesd 12214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
66	65	oveq1d 7284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
67	64, 64, 41	addsubd 11351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) + (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
68	66, 67	eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	63, 68	breqtrrd 5107	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
70	25, 11	remulcld 11004	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
71		rmy0 40746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
72	71	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
73		nngt0 12002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
74	73	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
76		0zd 12329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
77	1	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
78		ltrmy 40769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
79	75, 76, 77, 78	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
80	74, 79	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
81	72, 80	eqbrtrrd 5103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
82		lemul1 11825	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
83	32, 25, 11, 81, 82	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁))))
84	38, 83	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ≤ (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
85	15, 70, 8, 84	lesub1dd 11589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
86		rmym1 40752	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
87	1, 86	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
88	64, 40	mulcomd 10995	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)))
89	88	oveq1d 7284	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
90	87, 89	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
91	70	recnd 11002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
92	20	recnd 11002	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
93		subsub23 11224	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
94	91, 92, 41, 93	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Xrm 𝑁)) = (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ↔ ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁)))
95	90, 94	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (𝐴 Xrm 𝑁))
96	85, 95	breqtrd 5105	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · (𝐴 Yrm 𝑁)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
97	12, 16, 20, 69, 96	ltletrd 11133	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  ℂcc 10868  ℝcr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   + caddc 10873   · cmul 10875   < clt 11008   ≤ cle 11009   − cmin 11203  ℕcn 11971  2c2 12026  ℕ₀cn0 12231  ℤcz 12317  ℤ_≥cuz 12579   X_rm crmx 40717   Y_rm crmy 40718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948  ax-addf 10949  ax-mulf 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-of 7525  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-supp 7967  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-2o 8287  df-oadd 8290  df-omul 8291  df-er 8479  df-map 8598  df-pm 8599  df-ixp 8667  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-fsupp 9105  df-fi 9146  df-sup 9177  df-inf 9178  df-oi 9245  df-card 9696  df-acn 9699  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-dec 12435  df-uz 12580  df-q 12686  df-rp 12728  df-xneg 12845  df-xadd 12846  df-xmul 12847  df-ioo 13080  df-ioc 13081  df-ico 13082  df-icc 13083  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-fl 13508  df-mod 13586  df-seq 13718  df-exp 13779  df-fac 13984  df-bc 14013  df-hash 14041  df-shft 14774  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-limsup 15176  df-clim 15193  df-rlim 15194  df-sum 15394  df-ef 15773  df-sin 15775  df-cos 15776  df-pi 15778  df-dvds 15960  df-gcd 16198  df-numer 16435  df-denom 16436  df-struct 16844  df-sets 16861  df-slot 16879  df-ndx 16891  df-base 16909  df-ress 16938  df-plusg 16971  df-mulr 16972  df-starv 16973  df-sca 16974  df-vsca 16975  df-ip 16976  df-tset 16977  df-ple 16978  df-ds 16980  df-unif 16981  df-hom 16982  df-cco 16983  df-rest 17129  df-topn 17130  df-0g 17148  df-gsum 17149  df-topgen 17150  df-pt 17151  df-prds 17154  df-xrs 17209  df-qtop 17214  df-imas 17215  df-xps 17217  df-mre 17291  df-mrc 17292  df-acs 17294  df-mgm 18322  df-sgrp 18371  df-mnd 18382  df-submnd 18427  df-mulg 18697  df-cntz 18919  df-cmn 19384  df-psmet 20585  df-xmet 20586  df-met 20587  df-bl 20588  df-mopn 20589  df-fbas 20590  df-fg 20591  df-cnfld 20594  df-top 22039  df-topon 22056  df-topsp 22078  df-bases 22092  df-cld 22166  df-ntr 22167  df-cls 22168  df-nei 22245  df-lp 22283  df-perf 22284  df-cn 22374  df-cnp 22375  df-haus 22462  df-tx 22709  df-hmeo 22902  df-fil 22993  df-fm 23085  df-flim 23086  df-flf 23087  df-xms 23469  df-ms 23470  df-tms 23471  df-cncf 24037  df-limc 25026  df-dv 25027  df-log 25708  df-squarenn 40658  df-pell1qr 40659  df-pell14qr 40660  df-pell1234qr 40661  df-pellfund 40662  df-rmx 40719  df-rmy 40720

This theorem is referenced by:  jm2.24  40780