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Theorem jm2.17b 42166
Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17b ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem jm2.17b
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
21oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
3 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑎 = 0 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑0))
42, 3breq12d 5161 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0)))
54imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))))
6 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
76oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
8 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑏))
97, 8breq12d 5161 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
109imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
11 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
1211oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
13 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
1412, 13breq12d 5161 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
1514imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
16 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
1716oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
18 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑁))
1917, 18breq12d 5161 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 340 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
21 1le1 11849 . . . 4 1 ≤ 1
22 0p1e1 12341 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
2322oveq2i 7423 . . . . . 6 (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
24 rmy1 42135 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
2523, 24eqtrid 2783 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
26 2re 12293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
27 eluzelre 12840 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
28 remulcl 11201 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
2926, 27, 28sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
3029recnd 11249 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3130exp0d 14112 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴)↑0) = 1)
3225, 31breq12d 5161 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0) ↔ 1 ≤ 1))
3321, 32mpbiri 258 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))
34 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
35 nn0z 12590 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
3736peano2zd 12676 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
38 rmyluc2 42143 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
3934, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
40 rmxypos 42152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
4140simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
4241ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
43 nn0re 12488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
4544recnd 11249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
46 ax-1cn 11174 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
47 pncan 11473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
4845, 46, 47sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
4948oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
5042, 49breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)))
5127adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5226, 51, 28sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
53 frmy 42119 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
5453fovcl 7540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
5554zred 12673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5634, 37, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5752, 56remulcld 11251 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
5853fovcl 7540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
5958zred 12673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
6034, 36, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
6149, 60eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
6257, 61subge02d 11813 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
6350, 62mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
6439, 63eqbrtrd 5170 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
65643adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
66 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
6752, 66reexpcld 14135 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ)
68 2nn 12292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
69 eluz2nn 12875 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70 nnmulcl 12243 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
7168, 69, 70sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
7271nngt0d 12268 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
7372adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (2 · 𝐴))
74 lemul2 12074 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
7556, 67, 52, 73, 74syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
7675biimp3a 1468 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
7752recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
7877, 66expp1d 14119 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)))
7967recnd 11249 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℂ)
8079, 77mulcomd 11242 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
8178, 80eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
82813adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
8376, 82breqtrrd 5176 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
8437peano2zd 12676 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
8553fovcl 7540 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
8685zred 12673 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
8734, 84, 86syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
88 peano2nn0 12519 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
9052, 89reexpcld 14135 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
91 letr 11315 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
9287, 57, 90, 91syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
93923adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
9465, 83, 93mp2and 696 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
95943exp 1118 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
9695a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
975, 10, 15, 20, 33, 96nn0ind 12664 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
9897impcom 407 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  cexp 14034   Xrm crmx 42104   Yrm crmy 42105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-pi 16023  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16678  df-denom 16679  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406  df-squarenn 42045  df-pell1qr 42046  df-pell14qr 42047  df-pell1234qr 42048  df-pellfund 42049  df-rmx 42106  df-rmy 42107
This theorem is referenced by:  jm2.17c  42167
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