Theorem jm2.17b 39902

Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem jm2.17b

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
2	1	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
3		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))))
6		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
7	6	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
8		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑏))
9	7, 8	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
10	9	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
11		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
12	11	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
13		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
15	14	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
16		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
17	16	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
18		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
21		1le1 11257	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
22		0p1e1 11747	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	22	oveq2i 7146	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
24		rmy1 39871	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
25	23, 24	syl5eq 2845	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
26		2re 11699	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		eluzelre 12242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		remulcl 10611	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10658	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 13500	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴)↑0) = 1)
32	25, 31	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0) ↔ 1 ≤ 1))
33	21, 32	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))
34		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
35		nn0z 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
36	35	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
37	36	peano2zd 12078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
38		rmyluc2 39879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
39	34, 37, 38	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
40		rmxypos 39888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
41	40	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
42	41	ancoms 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
43		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
45	44	recnd 10658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
46		ax-1cn 10584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		pncan 10881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
48	45, 46, 47	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
49	48	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
50	42, 49	breqtrrd 5058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)))
51	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	26, 51, 28	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
53		frmy 39855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
54	53	fovcl 7258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	34, 37, 55	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
57	52, 56	remulcld 10660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
58	53	fovcl 7258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
59	58	zred 12075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
60	34, 36, 59	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
61	49, 60	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
62	57, 61	subge02d 11221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
63	50, 62	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
64	39, 63	eqbrtrd 5052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
66		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	52, 66	reexpcld 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 11698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70		nnmulcl 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
71	68, 69, 70	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	71	nngt0d 11674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
73	72	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (2 · 𝐴))
74		lemul2 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
75	56, 67, 52, 73, 74	syl112anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
76	75	biimp3a 1466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
77	52	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	77, 66	expp1d 13507	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)))
79	67	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℂ)
80	79, 77	mulcomd 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
81	78, 80	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
82	81	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
83	76, 82	breqtrrd 5058	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
84	37	peano2zd 12078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
85	53	fovcl 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
86	85	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
87	34, 84, 86	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
88		peano2nn0 11925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
89	88	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
90	52, 89	reexpcld 13523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
91		letr 10723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
92	87, 57, 90, 91	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
93	92	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
94	65, 83, 93	mp2and 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
95	94	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
96	95	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
97	5, 10, 15, 20, 33, 96	nn0ind 12065	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
98	97	impcom 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ↑cexp 13425   X_rm crmx 39841   Y_rm crmy 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-numer 16065  df-denom 16066  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-squarenn 39782  df-pell1qr 39783  df-pell14qr 39784  df-pell1234qr 39785  df-pellfund 39786  df-rmx 39843  df-rmy 39844

This theorem is referenced by:  jm2.17c  39903