Theorem jm2.17b 41271

Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem jm2.17b

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
2	1	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
3		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))))
6		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
7	6	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
8		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑏))
9	7, 8	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
11		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
12	11	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
13		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
16		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
17	16	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
18		oveq2 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
21		1le1 11783	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
22		0p1e1 12275	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	22	oveq2i 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
24		rmy1 41240	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
25	23, 24	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
26		2re 12227	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		eluzelre 12774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		remulcl 11136	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14045	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴)↑0) = 1)
32	25, 31	breq12d 5118	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0) ↔ 1 ≤ 1))
33	21, 32	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))
34		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
35		nn0z 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
37	36	peano2zd 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
38		rmyluc2 41248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
40		rmxypos 41257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
41	40	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
42	41	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
43		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
46		ax-1cn 11109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		pncan 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
49	48	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
50	42, 49	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)))
51	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	26, 51, 28	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
53		frmy 41224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
54	53	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	34, 37, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
57	52, 56	remulcld 11185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
58	53	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
59	58	zred 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
60	34, 36, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
61	49, 60	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
62	57, 61	subge02d 11747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
63	50, 62	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
64	39, 63	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
66		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	52, 66	reexpcld 14068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70		nnmulcl 12177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	71	nngt0d 12202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (2 · 𝐴))
74		lemul2 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
75	56, 67, 52, 73, 74	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
76	75	biimp3a 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
77	52	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	77, 66	expp1d 14052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)))
79	67	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℂ)
80	79, 77	mulcomd 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
81	78, 80	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
82	81	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
83	76, 82	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
84	37	peano2zd 12610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
85	53	fovcl 7484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
86	85	zred 12607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
87	34, 84, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
88		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
90	52, 89	reexpcld 14068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
91		letr 11249	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
92	87, 57, 90, 91	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
93	92	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
94	65, 83, 93	mp2and 697	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
95	94	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
96	95	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
97	5, 10, 15, 20, 33, 96	nn0ind 12598	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
98	97	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13967   X_rm crmx 41209   Y_rm crmy 41210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212

This theorem is referenced by:  jm2.17c  41272