Theorem jm2.17b 41685

Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem jm2.17b

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
2	1	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
3		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))))
6		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
7	6	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
8		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑏))
9	7, 8	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
11		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
12	11	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
13		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
16		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
17	16	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
18		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
21		1le1 11838	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
22		0p1e1 12330	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	22	oveq2i 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
24		rmy1 41654	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
25	23, 24	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
26		2re 12282	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		eluzelre 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		remulcl 11191	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 14101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴)↑0) = 1)
32	25, 31	breq12d 5160	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0) ↔ 1 ≤ 1))
33	21, 32	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))
34		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
35		nn0z 12579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
37	36	peano2zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
38		rmyluc2 41662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
40		rmxypos 41671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
41	40	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
42	41	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
43		nn0re 12477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
46		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		pncan 11462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
49	48	oveq2d 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
50	42, 49	breqtrrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)))
51	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	26, 51, 28	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
53		frmy 41638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
54	53	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	34, 37, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
57	52, 56	remulcld 11240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
58	53	fovcl 7533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
59	58	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
60	34, 36, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
61	49, 60	eqeltrd 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
62	57, 61	subge02d 11802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
63	50, 62	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
64	39, 63	eqbrtrd 5169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
66		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	52, 66	reexpcld 14124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 12281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70		nnmulcl 12232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	71	nngt0d 12257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (2 · 𝐴))
74		lemul2 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
75	56, 67, 52, 73, 74	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
76	75	biimp3a 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
77	52	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	77, 66	expp1d 14108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)))
79	67	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℂ)
80	79, 77	mulcomd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
81	78, 80	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
82	81	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
83	76, 82	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
84	37	peano2zd 12665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
85	53	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
86	85	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
87	34, 84, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
88		peano2nn0 12508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
90	52, 89	reexpcld 14124	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
91		letr 11304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
92	87, 57, 90, 91	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
93	92	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
94	65, 83, 93	mp2and 697	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
95	94	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
96	95	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
97	5, 10, 15, 20, 33, 96	nn0ind 12653	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
98	97	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ↑cexp 14023   X_rm crmx 41623   Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626

This theorem is referenced by:  jm2.17c  41686