Theorem jm2.17b 40783

Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17b	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem jm2.17b

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
2	1	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
3		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑0))
4	2, 3	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0)))
5	4	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))))
6		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
7	6	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
8		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑏))
9	7, 8	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
10	9	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
11		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
12	11	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
13		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
14	12, 13	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
15	14	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
16		oveq1 7282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
17	16	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
18		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((2 · 𝐴)↑𝑎) = ((2 · 𝐴)↑𝑁))
19	17, 18	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
21		1le1 11603	. . . 4 ⊢ 1 ≤ 1
22		0p1e1 12095	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	22	oveq2i 7286	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
24		rmy1 40752	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
25	23, 24	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
26		2re 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27		eluzelre 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
28		remulcl 10956	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
29	26, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
31	30	exp0d 13858	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴)↑0) = 1)
32	25, 31	breq12d 5087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0) ↔ 1 ≤ 1))
33	21, 32	mpbiri 257	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑0))
34		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
35		nn0z 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
37	36	peano2zd 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
38		rmyluc2 40760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
39	34, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
40		rmxypos 40769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
41	40	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
42	41	ancoms 459	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
43		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
45	44	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
46		ax-1cn 10929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
47		pncan 11227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
49	48	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
50	42, 49	breqtrrd 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)))
51	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
52	26, 51, 28	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
53		frmy 40736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
54	53	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
55	54	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	34, 37, 55	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
57	52, 56	remulcld 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
58	53	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
59	58	zred 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
60	34, 36, 59	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
61	49, 60	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
62	57, 61	subge02d 11567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
63	50, 62	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
64	39, 63	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
65	64	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
66		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	52, 66	reexpcld 13881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70		nnmulcl 11997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
71	68, 69, 70	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	71	nngt0d 12022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (2 · 𝐴))
74		lemul2 11828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
75	56, 67, 52, 73, 74	syl112anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏))))
76	75	biimp3a 1468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
77	52	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
78	77, 66	expp1d 13865	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)))
79	67	recnd 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑𝑏) ∈ ℂ)
80	79, 77	mulcomd 10996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴)↑𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
81	78, 80	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
82	81	3adant3 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑏)))
83	76, 82	breqtrrd 5102	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
84	37	peano2zd 12429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
85	53	fovcl 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
86	85	zred 12426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
87	34, 84, 86	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
88		peano2nn0 12273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
90	52, 89	reexpcld 13881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
91		letr 11069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
92	87, 57, 90, 91	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
93	92	3adant3 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (((𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1))))
94	65, 83, 93	mp2and 696	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))
95	94	3exp 1118	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
96	95	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑏)) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑(𝑏 + 1)))))
97	5, 10, 15, 20, 33, 96	nn0ind 12415	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
98	97	impcom 408	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ↑cexp 13782   X_rm crmx 40722   Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-squarenn 40663  df-pell1qr 40664  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666  df-pellfund 40667  df-rmx 40724  df-rmy 40725

This theorem is referenced by:  jm2.17c  40784