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Theorem jm2.22 39470
Description: Lemma for jm2.20nn 39472. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝑁,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 11993 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℤ)
2 jm2.21 39469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
31, 2syl3an3 1157 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
4 frmx 39388 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
54fovcl 7268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
653adant3 1124 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11945 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
8 eluzelz 12241 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 zsqcl 13482 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10 peano2zm 12013 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
12113ad2ant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
1312zcnd 12076 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
1413sqrtcld 14785 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
15 frmy 39389 . . . . . . . . 9 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1615fovcl 7268 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
17163adant3 1124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
1817zcnd 12076 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
1914, 18mulcld 10649 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
20 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
21 binom 15173 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
227, 19, 20, 21syl3anc 1363 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
23 rabnc 4338 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅)
25 rabxm 4337 . . . . . . 7 (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥})
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}))
27 fzfid 13329 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) ∈ Fin)
28 simpl3 1185 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
29 elfzelz 12896 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℤ)
3029adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℤ)
31 bccl 13670 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12073 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3328, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3433zcnd 12076 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
356nn0zd 12073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3736zcnd 12076 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
38 fznn0sub 12927 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
4037, 39expcld 13498 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
4112adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
4241zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
4342sqrtcld 14785 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
4417adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
4544zcnd 12076 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4643, 45mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
47 elfznn0 12988 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4946, 48expcld 13498 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℂ)
5040, 49mulcld 10649 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℂ)
5134, 50mulcld 10649 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℂ)
5224, 26, 27, 51fsumsplit 15085 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))))
53 fzfi 13328 . . . . . . . . . 10 (0...𝐽) ∈ Fin
54 ssrab2 4053 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
55 ssfi 8726 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5653, 54, 55mp2an 688 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
58 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ 𝑖))
5958notbid 319 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6059elrab 3677 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6134adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
6240adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
63 zexpcl 13432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6417, 47, 63syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6564zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6665adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6742adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6829adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
69 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 𝑖)
70 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 1 ∈ ℤ)
71 n2dvds1 15705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 1)
73 omoe 15701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
75 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℤ)
77 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ≠ 0)
79 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
82 dvdsval2 15598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8376, 78, 81, 82syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8474, 83mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8580zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
87 dvds0 15613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∥ 0
89 breq2 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ 2 ∥ 0))
9088, 89mpbiri 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 0 → 2 ∥ 𝑖)
9190con3i 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 2 ∥ 𝑖 → ¬ 𝑖 = 0)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 𝑖 = 0)
9347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ0)
94 elnn0 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
9593, 94sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
96 orel2 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖 = 0 → ((𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0) → 𝑖 ∈ ℕ))
9792, 95, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ)
98 nnm1nn0 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
10099nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 1))
101 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
103 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
105 divge0 11497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑖 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
107 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)))
10884, 106, 107sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
109108adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
11067, 109expcld 13498 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
11166, 110mulcld 10649 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
11262, 111mulcld 10649 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
11361, 112mulcld 10649 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11460, 113sylan2b 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11557, 14, 114fsummulc2 15127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
11643adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
117116, 61, 112mul12d 10837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
118116, 62, 111mul12d 10837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
11943, 48expcld 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
120119adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
12166, 120mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
122116, 66, 110mul12d 10837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))
123 2nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
125116, 109, 124expmuld 13501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)))
12680zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
127126ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
128 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℂ)
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ≠ 0)
130127, 128, 129divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (2 · ((𝑖 − 1) / 2)) = (𝑖 − 1))
131130oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
13267sqsqrtd 14787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
133132oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))
134125, 131, 1333eqtr3rd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
135134oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
136116, 110mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
13797adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ)
138 expm1t 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
139116, 137, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
140135, 136, 1393eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))
141140oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
142122, 141eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
14343, 45, 48mulexpd 13513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
144143adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
145121, 142, 1443eqtr4d 2863 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))
146145oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
147118, 146eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
148147oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
149117, 148eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
15060, 149sylan2b 593 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
151150sumeq2dv 15048 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
152115, 151eqtr2d 2854 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
153152oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
15452, 153eqtrd 2853 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
1553, 22, 1543eqtrd 2857 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
156 rmspecsqrtnq 39381 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
1571563ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
158 nn0ssq 12344 . . . . 5 0 ⊆ ℚ
159 simp1 1128 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
160 simp2 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16113ad2ant3 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℤ)
162160, 161zmulcld 12081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ)
1634fovcl 7268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
164159, 162, 163syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
165158, 164sseldi 3962 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
166 zssq 12343 . . . . 5 ℤ ⊆ ℚ
16715fovcl 7268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
168159, 162, 167syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
169166, 168sseldi 3962 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
170 ssrab2 4053 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
171 ssfi 8726 . . . . . . . 8 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17253, 170, 171mp2an 688 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17458elrab 3677 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖))
17533adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
176 zexpcl 13432 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑖) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17736, 39, 176syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
178177adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17943adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
18045adantrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
18147ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182179, 180, 181mulexpd 13513 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
18329zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℂ)
184183adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℂ)
185 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ∈ ℂ)
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ≠ 0)
187184, 185, 186divcan2d 11406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (2 · (𝑖 / 2)) = 𝑖)
188187eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
189188adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
190189oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))))
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
193 nn0z 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
194 dvdsval2 15598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
195191, 192, 193, 194syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
196195biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℤ)
197 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
198197adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
199 nn0ge0 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
200199adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
203 divge0 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
205 elnn0z 11982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 / 2)))
206196, 204, 205sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
20747, 206sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
208207adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
210179, 208, 209expmuld 13501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)))
21142adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
212211sqsqrtd 14787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
213212oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
214190, 210, 2133eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
215214oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
216182, 215eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
217 zexpcl 13432 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑖 / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21812, 207, 217syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21964adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
220218, 219zmulcld 12081 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℤ)
221216, 220eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℤ)
222178, 221zmulcld 12081 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℤ)
223175, 222zmulcld 12081 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
224174, 223sylan2b 593 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
225173, 224fsumzcl 15080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
226166, 225sseldi 3962 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ)
22733adantrr 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
228177adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
22964adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
230 zexpcl 13432 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
23112, 108, 230syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
232229, 231zmulcld 12081 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
233228, 232zmulcld 12081 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℤ)
234227, 233zmulcld 12081 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23560, 234sylan2b 593 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23657, 235fsumzcl 15080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
237166, 236sseldi 3962 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)
238 qirropth 39383 . . . 4 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) ∧ (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ ∧ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1371 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
240155, 239mpbid 233 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
241240simprd 496 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  {crab 3139  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  cq 12336  ...cfz 12880  cexp 13417  Ccbc 13650  csqrt 14580  Σcsu 15030  cdvds 15595   Xrm crmx 39375   Yrm crmy 39376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-numer 16063  df-denom 16064  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-squarenn 39316  df-pell1qr 39317  df-pell14qr 39318  df-pell1234qr 39319  df-pellfund 39320  df-rmx 39377  df-rmy 39378
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