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Theorem jm2.22 43007
Description: Lemma for jm2.20nn 43009. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝑁,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 12638 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℤ)
2 jm2.21 43006 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
31, 2syl3an3 1166 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
4 frmx 42925 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
54fovcl 7561 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
653adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
8 eluzelz 12888 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 zsqcl 14169 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10 peano2zm 12660 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
1312zcnd 12723 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
1413sqrtcld 15476 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
15 frmy 42926 . . . . . . . . 9 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1615fovcl 7561 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
17163adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
1817zcnd 12723 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
1914, 18mulcld 11281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
20 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
21 binom 15866 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
227, 19, 20, 21syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
23 rabnc 4391 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅)
25 rabxm 4390 . . . . . . 7 (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥})
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}))
27 fzfid 14014 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) ∈ Fin)
28 simpl3 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
29 elfzelz 13564 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℤ)
31 bccl 14361 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 12639 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3328, 30, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3433zcnd 12723 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
356nn0zd 12639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3736zcnd 12723 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
38 fznn0sub 13596 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
4037, 39expcld 14186 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
4112adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
4241zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
4342sqrtcld 15476 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
4417adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
4544zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4643, 45mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
47 elfznn0 13660 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4946, 48expcld 14186 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℂ)
5040, 49mulcld 11281 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℂ)
5134, 50mulcld 11281 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℂ)
5224, 26, 27, 51fsumsplit 15777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))))
53 fzfi 14013 . . . . . . . . . 10 (0...𝐽) ∈ Fin
54 ssrab2 4080 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
55 ssfi 9213 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5653, 54, 55mp2an 692 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
58 breq2 5147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ 𝑖))
5958notbid 318 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6059elrab 3692 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6134adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
6240adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
63 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6417, 47, 63syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6564zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6742adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6829adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
69 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 𝑖)
70 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 1 ∈ ℤ)
71 n2dvds1 16405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 1)
73 omoe 16401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
75 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℤ)
77 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ≠ 0)
79 peano2zm 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
82 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8376, 78, 81, 82syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8474, 83mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8580zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
87 dvds0 16309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∥ 0
89 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ 2 ∥ 0))
9088, 89mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 0 → 2 ∥ 𝑖)
9190con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 2 ∥ 𝑖 → ¬ 𝑖 = 0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 𝑖 = 0)
9347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ0)
94 elnn0 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
9593, 94sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
96 orel2 891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖 = 0 → ((𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0) → 𝑖 ∈ ℕ))
9792, 95, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ)
98 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
10099nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 1))
101 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
103 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
105 divge0 12137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑖 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
107 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)))
10884, 106, 107sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
11067, 109expcld 14186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
11166, 110mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
11262, 111mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
11361, 112mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11460, 113sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11557, 14, 114fsummulc2 15820 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
11643adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
117116, 61, 112mul12d 11470 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
118116, 62, 111mul12d 11470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
11943, 48expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
120119adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
12166, 120mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
122116, 66, 110mul12d 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))
123 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
125116, 109, 124expmuld 14189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)))
12680zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
127126ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
128 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℂ)
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ≠ 0)
130127, 128, 129divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (2 · ((𝑖 − 1) / 2)) = (𝑖 − 1))
131130oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
13267sqsqrtd 15478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
133132oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))
134125, 131, 1333eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
135134oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
136116, 110mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
13797adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ)
138 expm1t 14131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
139116, 137, 138syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
140135, 136, 1393eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))
141140oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
142122, 141eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
14343, 45, 48mulexpd 14201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
144143adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
145121, 142, 1443eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))
146145oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
147118, 146eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
148147oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
149117, 148eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
15060, 149sylan2b 594 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
151150sumeq2dv 15738 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
152115, 151eqtr2d 2778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
153152oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
15452, 153eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
1553, 22, 1543eqtrd 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
156 rmspecsqrtnq 42917 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
1571563ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
158 nn0ssq 12999 . . . . 5 0 ⊆ ℚ
159 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
160 simp2 1138 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16113ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℤ)
162160, 161zmulcld 12728 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ)
1634fovcl 7561 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
164159, 162, 163syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
165158, 164sselid 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
166 zssq 12998 . . . . 5 ℤ ⊆ ℚ
16715fovcl 7561 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
168159, 162, 167syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
169166, 168sselid 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
170 ssrab2 4080 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
171 ssfi 9213 . . . . . . . 8 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17253, 170, 171mp2an 692 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17458elrab 3692 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖))
17533adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
176 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑖) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17736, 39, 176syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
178177adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17943adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
18045adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
18147ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182179, 180, 181mulexpd 14201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
18329zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℂ)
184183adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℂ)
185 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ∈ ℂ)
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ≠ 0)
187184, 185, 186divcan2d 12045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (2 · (𝑖 / 2)) = 𝑖)
188187eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
189188adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
190189oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))))
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
193 nn0z 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
194 dvdsval2 16293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
195191, 192, 193, 194syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
196195biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℤ)
197 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
198197adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
199 nn0ge0 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
203 divge0 12137 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
205 elnn0z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 / 2)))
206196, 204, 205sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
20747, 206sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
208207adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
210179, 208, 209expmuld 14189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)))
21142adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
212211sqsqrtd 15478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
213212oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
214190, 210, 2133eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
215214oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
216182, 215eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
217 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑖 / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21812, 207, 217syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21964adantrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
220218, 219zmulcld 12728 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℤ)
221216, 220eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℤ)
222178, 221zmulcld 12728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℤ)
223175, 222zmulcld 12728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
224174, 223sylan2b 594 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
225173, 224fsumzcl 15771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
226166, 225sselid 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ)
22733adantrr 717 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
228177adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
22964adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
230 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
23112, 108, 230syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
232229, 231zmulcld 12728 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
233228, 232zmulcld 12728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℤ)
234227, 233zmulcld 12728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23560, 234sylan2b 594 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23657, 235fsumzcl 15771 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
237166, 236sselid 3981 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)
238 qirropth 42919 . . . 4 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) ∧ (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ ∧ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1381 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
240155, 239mpbid 232 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
241240simprd 495 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  cq 12990  ...cfz 13547  cexp 14102  Ccbc 14341  csqrt 15272  Σcsu 15722  cdvds 16290   Xrm crmx 42911   Yrm crmy 42912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914
This theorem is referenced by:  jm2.23  43008
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