Proof of Theorem jm2.22
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | nn0z 12638 |
. . . . 5
⊢ (𝐽 ∈ ℕ0
→ 𝐽 ∈
ℤ) |
| 2 | | jm2.21 43006 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽)) |
| 3 | 1, 2 | syl3an3 1166 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽)) |
| 4 | | frmx 42925 |
. . . . . . . 8
⊢
Xrm :((ℤ≥‘2) ×
ℤ)⟶ℕ0 |
| 5 | 4 | fovcl 7561 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 6 | 5 | 3adant3 1133 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈
ℕ0) |
| 7 | 6 | nn0cnd 12589 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈
ℂ) |
| 8 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ) |
| 9 | | zsqcl 14169 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈
ℤ) |
| 10 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℤ →
((𝐴↑2) − 1)
∈ ℤ) |
| 11 | 8, 9, 10 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℤ) |
| 12 | 11 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℤ) |
| 13 | 12 | zcnd 12723 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℂ) |
| 14 | 13 | sqrtcld 15476 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
(√‘((𝐴↑2)
− 1)) ∈ ℂ) |
| 15 | | frmy 42926 |
. . . . . . . . 9
⊢
Yrm :((ℤ≥‘2) ×
ℤ)⟶ℤ |
| 16 | 15 | fovcl 7561 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ) |
| 17 | 16 | 3adant3 1133 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈
ℤ) |
| 18 | 17 | zcnd 12723 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈
ℂ) |
| 19 | 14, 18 | mulcld 11281 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
((√‘((𝐴↑2)
− 1)) · (𝐴
Yrm 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 20 | | simp3 1139 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈
ℕ0) |
| 21 | | binom 15866 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧
((√‘((𝐴↑2)
− 1)) · (𝐴
Yrm 𝑁)) ∈
ℂ ∧ 𝐽 ∈
ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 22 | 7, 19, 20, 21 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 23 | | rabnc 4391 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅ |
| 24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅) |
| 25 | | rabxm 4390 |
. . . . . . 7
⊢
(0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) |
| 26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
(0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥})) |
| 27 | | fzfid 14014 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
(0...𝐽) ∈
Fin) |
| 28 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐽 ∈
ℕ0) |
| 29 | | elfzelz 13564 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℤ) |
| 30 | 29 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
| 31 | | bccl 14361 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0
∧ 𝑖 ∈ ℤ)
→ (𝐽C𝑖) ∈
ℕ0) |
| 32 | 31 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0
∧ 𝑖 ∈ ℤ)
→ (𝐽C𝑖) ∈
ℤ) |
| 33 | 28, 30, 32 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ) |
| 34 | 33 | zcnd 12723 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ) |
| 35 | 6 | nn0zd 12639 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈
ℤ) |
| 36 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ) |
| 37 | 36 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ) |
| 38 | | fznn0sub 13596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝐽 − 𝑖) ∈
ℕ0) |
| 39 | 38 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽 − 𝑖) ∈
ℕ0) |
| 40 | 37, 39 | expcld 14186 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℂ) |
| 41 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℤ) |
| 42 | 41 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℂ) |
| 43 | 42 | sqrtcld 15476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℂ) |
| 44 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ) |
| 45 | 44 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ) |
| 46 | 43, 45 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁)) ∈
ℂ) |
| 47 | | elfznn0 13660 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 48 | 47 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 49 | 46, 48 | expcld 14186 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 50 | 40, 49 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℂ) |
| 51 | 34, 50 | mulcld 11281 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℂ) |
| 52 | 24, 26, 27, 51 | fsumsplit 15777 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))) |
| 53 | | fzfi 14013 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(0...𝐽) ∈
Fin |
| 54 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽) |
| 55 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((0...𝐽) ∈ Fin
∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin) |
| 56 | 53, 54, 55 | mp2an 692 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin |
| 57 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin) |
| 58 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑖 → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ 𝑖)) |
| 59 | 58 | notbid 318 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑖 → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑖)) |
| 60 | 59 | elrab 3692 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) |
| 61 | 34 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ) |
| 62 | 40 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℂ) |
| 63 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0)
→ ((𝐴 Yrm
𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ) |
| 64 | 17, 47, 63 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ) |
| 65 | 64 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 66 | 65 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 67 | 42 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℂ) |
| 68 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ) |
| 69 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 𝑖) |
| 70 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 1 ∈ ℤ) |
| 71 | | n2dvds1 16405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ¬ 2
∥ 1 |
| 72 | 71 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 1) |
| 73 | | omoe 16401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2
∥ 𝑖) ∧ (1 ∈
ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑖 − 1)) |
| 74 | 68, 69, 70, 72, 73 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 − 1)) |
| 75 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℤ) |
| 77 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 2 ≠
0 |
| 78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ≠ 0) |
| 79 | | peano2zm 12660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 − 1) ∈
ℤ) |
| 80 | 29, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ) |
| 81 | 80 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ) |
| 82 | | dvdsval2 16293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥
(𝑖 − 1) ↔
((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℤ)) |
| 83 | 76, 78, 81, 82 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℤ)) |
| 84 | 74, 83 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℤ) |
| 85 | 80 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ) |
| 86 | 85 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ) |
| 87 | | dvds0 16309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2 ∈
ℤ → 2 ∥ 0) |
| 88 | 75, 87 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 2 ∥
0 |
| 89 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 = 0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ 2 ∥
0)) |
| 90 | 88, 89 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑖 = 0 → 2 ∥ 𝑖) |
| 91 | 90 | con3i 154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬ 2
∥ 𝑖 → ¬
𝑖 = 0) |
| 92 | 91 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 𝑖 = 0) |
| 93 | 47 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 94 | | elnn0 12528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
↔ (𝑖 ∈ ℕ
∨ 𝑖 =
0)) |
| 95 | 93, 94 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0)) |
| 96 | | orel2 891 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
𝑖 = 0 → ((𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0) → 𝑖 ∈ ℕ)) |
| 97 | 92, 95, 96 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ) |
| 98 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈
ℕ0) |
| 99 | 97, 98 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈
ℕ0) |
| 100 | 99 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 1)) |
| 101 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 102 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ) |
| 103 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 <
2 |
| 104 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2) |
| 105 | | divge0 12137 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑖 − 1) ∈ ℝ ∧
0 ≤ (𝑖 − 1)) ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)) |
| 106 | 86, 100, 102, 104, 105 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)) |
| 107 | | elnn0z 12626 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℕ0 ↔ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤
((𝑖 − 1) /
2))) |
| 108 | 84, 106, 107 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℕ0) |
| 109 | 108 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈
ℕ0) |
| 110 | 67, 109 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈
ℂ) |
| 111 | 66, 110 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈
ℂ) |
| 112 | 62, 111 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈
ℂ) |
| 113 | 61, 112 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℂ) |
| 114 | 60, 113 | sylan2b 594 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℂ) |
| 115 | 57, 14, 114 | fsummulc2 15820 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
((√‘((𝐴↑2)
− 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) =
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2))))))) |
| 116 | 43 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℂ) |
| 117 | 116, 61, 112 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2))))))) |
| 118 | 116, 62, 111 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))) |
| 119 | 43, 48 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈
ℂ) |
| 120 | 119 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ) |
| 121 | 66, 120 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 122 | 116, 66, 110 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴↑2) −
1)↑((𝑖 − 1) /
2))))) |
| 123 | | 2nn0 12543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 2 ∈
ℕ0 |
| 124 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈
ℕ0) |
| 125 | 116, 109,
124 | expmuld 14189 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 ·
((𝑖 − 1) / 2))) =
(((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) /
2))) |
| 126 | 80 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ) |
| 127 | 126 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ) |
| 128 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℂ) |
| 129 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ≠ 0) |
| 130 | 127, 128,
129 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (2 · ((𝑖 − 1) / 2)) = (𝑖 − 1)) |
| 131 | 130 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 ·
((𝑖 − 1) / 2))) =
((√‘((𝐴↑2)
− 1))↑(𝑖 −
1))) |
| 132 | 67 | sqsqrtd 15478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) −
1)) |
| 133 | 132 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) −
1))↑2)↑((𝑖
− 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2))) |
| 134 | 125, 131,
133 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) =
((√‘((𝐴↑2)
− 1))↑(𝑖 −
1))) |
| 135 | 134 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ·
(√‘((𝐴↑2)
− 1))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) ·
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 136 | 116, 110 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ·
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 137 | 97 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ) |
| 138 | | expm1t 14131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ ∧
𝑖 ∈ ℕ) →
((√‘((𝐴↑2)
− 1))↑𝑖) =
(((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) ·
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 139 | 116, 137,
138 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) ·
(√‘((𝐴↑2)
− 1)))) |
| 140 | 135, 136,
139 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) =
((√‘((𝐴↑2)
− 1))↑𝑖)) |
| 141 | 140 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴↑2) −
1)↑((𝑖 − 1) /
2)))) = (((𝐴 Yrm
𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))) |
| 142 | 122, 141 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))) |
| 143 | 43, 45, 48 | mulexpd 14201 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 144 | 143 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 145 | 121, 142,
144 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) =
(((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) |
| 146 | 145 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) |
| 147 | 118, 146 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) |
| 148 | 147 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 149 | 117, 148 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 150 | 60, 149 | sylan2b 594 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 151 | 150 | sumeq2dv 15738 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) =
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) |
| 152 | 115, 151 | eqtr2d 2778 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2))))))) |
| 153 | 152 | oveq2d 7447 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
(Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))))) |
| 154 | 52, 153 | eqtrd 2777 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))))) |
| 155 | 3, 22, 154 | 3eqtrd 2781 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))))) |
| 156 | | rmspecsqrtnq 42917 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖
ℚ)) |
| 157 | 156 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
(√‘((𝐴↑2)
− 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ)) |
| 158 | | nn0ssq 12999 |
. . . . 5
⊢
ℕ0 ⊆ ℚ |
| 159 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 160 | | simp2 1138 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 161 | 1 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈
ℤ) |
| 162 | 160, 161 | zmulcld 12728 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) |
| 163 | 4 | fovcl 7561 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈
ℕ0) |
| 164 | 159, 162,
163 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈
ℕ0) |
| 165 | 158, 164 | sselid 3981 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) |
| 166 | | zssq 12998 |
. . . . 5
⊢ ℤ
⊆ ℚ |
| 167 | 15 | fovcl 7561 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ) |
| 168 | 159, 162,
167 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ) |
| 169 | 166, 168 | sselid 3981 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) |
| 170 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽) |
| 171 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . 8
⊢
(((0...𝐽) ∈ Fin
∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin) |
| 172 | 53, 170, 171 | mp2an 692 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin |
| 173 | 172 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin) |
| 174 | 58 | elrab 3692 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) |
| 175 | 33 | adantrr 717 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ) |
| 176 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽 − 𝑖) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ) |
| 177 | 36, 39, 176 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ) |
| 178 | 177 | adantrr 717 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ) |
| 179 | 43 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈
ℂ) |
| 180 | 45 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ) |
| 181 | 47 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
| 182 | 179, 180,
181 | mulexpd 14201 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 183 | 29 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℂ) |
| 184 | 183 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℂ) |
| 185 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ∈ ℂ) |
| 186 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ≠ 0) |
| 187 | 184, 185,
186 | divcan2d 12045 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (2 · (𝑖 / 2)) = 𝑖) |
| 188 | 187 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2))) |
| 189 | 188 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2))) |
| 190 | 189 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2)))) |
| 191 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ 2 ∈ ℤ) |
| 192 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ 2 ≠ 0) |
| 193 | | nn0z 12638 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ 𝑖 ∈
ℤ) |
| 194 | | dvdsval2 16293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ)) |
| 195 | 191, 192,
193, 194 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ (2 ∥ 𝑖 ↔
(𝑖 / 2) ∈
ℤ)) |
| 196 | 195 | biimpa 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) →
(𝑖 / 2) ∈
ℤ) |
| 197 | | nn0re 12535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ 𝑖 ∈
ℝ) |
| 198 | 197 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) →
𝑖 ∈
ℝ) |
| 199 | | nn0ge0 12551 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝑖) |
| 200 | 199 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) → 0
≤ 𝑖) |
| 201 | 101 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) → 2
∈ ℝ) |
| 202 | 103 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) → 0
< 2) |
| 203 | | divge0 12137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ
∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑖 / 2)) |
| 204 | 198, 200,
201, 202, 203 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) → 0
≤ (𝑖 /
2)) |
| 205 | | elnn0z 12626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑖 / 2) ∈ ℕ0
↔ ((𝑖 / 2) ∈
ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 /
2))) |
| 206 | 196, 204,
205 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0
∧ 2 ∥ 𝑖) →
(𝑖 / 2) ∈
ℕ0) |
| 207 | 47, 206 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈
ℕ0) |
| 208 | 207 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 / 2) ∈
ℕ0) |
| 209 | 123 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈
ℕ0) |
| 210 | 179, 208,
209 | expmuld 14189 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))) =
(((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2))) |
| 211 | 42 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈
ℂ) |
| 212 | 211 | sqsqrtd 15478 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) −
1)) |
| 213 | 212 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) −
1))↑2)↑(𝑖 / 2)) =
(((𝐴↑2) −
1)↑(𝑖 /
2))) |
| 214 | 190, 210,
213 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2))) |
| 215 | 214 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 216 | 182, 215 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖))) |
| 217 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈
ℤ ∧ (𝑖 / 2)
∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ) |
| 218 | 12, 207, 217 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ) |
| 219 | 64 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ) |
| 220 | 218, 219 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℤ) |
| 221 | 216, 220 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℤ) |
| 222 | 178, 221 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℤ) |
| 223 | 175, 222 | zmulcld 12728 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ) |
| 224 | 174, 223 | sylan2b 594 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ) |
| 225 | 173, 224 | fsumzcl 15771 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ) |
| 226 | 166, 225 | sselid 3981 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ) |
| 227 | 33 | adantrr 717 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ) |
| 228 | 177 | adantrr 717 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) ∈ ℤ) |
| 229 | 64 | adantrr 717 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ) |
| 230 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴↑2) − 1) ∈
ℤ ∧ ((𝑖 −
1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
| 231 | 12, 108, 230 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈
ℤ) |
| 232 | 229, 231 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈
ℤ) |
| 233 | 228, 232 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈
ℤ) |
| 234 | 227, 233 | zmulcld 12728 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℤ) |
| 235 | 60, 234 | sylan2b 594 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℤ) |
| 236 | 57, 235 | fsumzcl 15771 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℤ) |
| 237 | 166, 236 | sselid 3981 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) →
Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℚ) |
| 238 | | qirropth 42919 |
. . . 4
⊢
(((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖
ℚ) ∧ ((𝐴
Xrm (𝑁 ·
𝐽)) ∈ ℚ ∧
(𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) ∧ (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ ∧ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈
ℚ)) → (((𝐴
Xrm (𝑁 ·
𝐽)) +
((√‘((𝐴↑2)
− 1)) · (𝐴
Yrm (𝑁 ·
𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔
((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))))) |
| 239 | 157, 165,
169, 226, 237, 238 | syl122anc 1381 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔
((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))))) |
| 240 | 155, 239 | mpbid 232 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ·
(𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2))))))) |
| 241 | 240 | simprd 495 |
1
⊢ ((𝐴 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) /
2)))))) |