Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxnn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmxnn 42372
Description: The X-sequence is defined to range over β„•0 but never actually takes the value 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxnn ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•)
Proof of Theorem rmxnn
StepHypRef Expression
1 nn0z 12613 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
2 frmx 42334 . . . . . 6 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
32fovcl 7549 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
41, 3sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
5 rmxypos 42368 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
65simpld 494 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁))
7 elnnnn0b 12546 . . . 4 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„• ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
84, 6, 7sylanbrc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•)
98adantlr 714 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•)
10 rmxneg 42345 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
1110adantr 480 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
12 nn0z 12613 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ β„•0 β†’ -𝑁 ∈ β„€)
132fovcl 7549 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•0)
1412, 13sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•0)
15 rmxypos 42368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0 < (𝐴 Xrm -𝑁) ∧ 0 ≀ (𝐴 Yrm -𝑁)))
1615simpld 494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ 0 < (𝐴 Xrm -𝑁))
17 elnnnn0b 12546 . . . . 5 ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„• ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm -𝑁)))
1814, 16, 17sylanbrc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•)
1918adantlr 714 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ β„•)
2011, 19eqeltrrd 2830 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•)
21 elznn0 12603 . . . 4 (𝑁 ∈ β„€ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ -𝑁 ∈ β„•0)))
2221simprbi 496 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ -𝑁 ∈ β„•0))
2322adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ -𝑁 ∈ β„•0))
249, 20, 23mpjaodan 957 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11137  0cc0 11138   < clt 11278   ≀ cle 11279  -cneg 11475  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852   Xrm crmx 42320   Yrm crmy 42321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-numer 16706  df-denom 16707  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26489  df-squarenn 42261  df-pell1qr 42262  df-pell14qr 42263  df-pell1234qr 42264  df-pellfund 42265  df-rmx 42322  df-rmy 42323
This theorem is referenced by:  jm2.27c  42428
  Copyright terms: Public domain W3C validator