Theorem rmxnn 44067

Description: The X-sequence is defined to range over ℕ₀ but never actually takes the value 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxnn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem rmxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12724	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		frmx 44029	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3	2	fovcl 7552	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
5		rmxypos 44063	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
6	5	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑁))
7		elnnnn0b 12657	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
10		rmxneg 44040	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
12		nn0z 12724	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
13	2	fovcl 7552	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
15		rmxypos 44063	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm -𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
16	15	simpld 500	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm -𝑁))
17		elnnnn0b 12657	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm -𝑁)))
18	14, 16, 17	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ)
19	18	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
21		elznn0 12715	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
24	9, 20, 23	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207   < clt 11350   ≤ cle 11351   -cneg 11549  ℕcn 12342  2c2 12404  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972   X_rm crmx 44016   Y_rm crmy 44017

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8184  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8724  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-fsupp 9361  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-numer 16920  df-denom 16921  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196  df-log 26893  df-squarenn 43957  df-pell1qr 43958  df-pell14qr 43959  df-pell1234qr 43960  df-pellfund 43961  df-rmx 44018  df-rmy 44019

This theorem is used by:  jm2.27c  44123