Theorem rmxnn 38307

Description: The X-sequence is defined to range over ℕ₀ but never actually takes the value 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxnn	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem rmxnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11694	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		frmx 38267	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3	2	fovcl 7003	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
4	1, 3	sylan2 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
5		rmxypos 38303	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
6	5	simpld 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑁))
7		elnnnn0b 11630	. . . 4 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
9	8	adantlr 707	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
10		rmxneg 38278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
11	10	adantr 473	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) = (𝐴 Xrm 𝑁))
12		nn0z 11694	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ0 → -𝑁 ∈ ℤ)
13	2	fovcl 7003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
14	12, 13	sylan2 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0)
15		rmxypos 38303	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm -𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm -𝑁)))
16	15	simpld 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm -𝑁))
17		elnnnn0b 11630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝐴 Xrm -𝑁)))
18	14, 16, 17	sylanbrc 579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ)
19	18	adantlr 707	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm -𝑁) ∈ ℕ)
20	11, 19	eqeltrrd 2883	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)
21		elznn0 11685	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
22	21	simprbi 491	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
23	22	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))
24	9, 20, 23	mpjaodan 982	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∨ wo 874   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4847  ‘cfv 6105  (class class class)co 6882  ℝcr 10227  0cc0 10228   < clt 10367   ≤ cle 10368  -cneg 10561  ℕcn 11316  2c2 11372  ℕ₀cn0 11584  ℤcz 11670  ℤ_≥cuz 11934   X_rm crmx 38254   Y_rm crmy 38255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rmo 3101  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-iin 4717  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-se 5276  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-isom 6114  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-of 7135  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-omul 7808  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-fi 8563  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-acn 9058  df-cda 9282  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-div 10981  df-nn 11317  df-2 11380  df-3 11381  df-4 11382  df-5 11383  df-6 11384  df-7 11385  df-8 11386  df-9 11387  df-n0 11585  df-xnn0 11657  df-z 11671  df-dec 11788  df-uz 11935  df-q 12038  df-rp 12079  df-xneg 12197  df-xadd 12198  df-xmul 12199  df-ioo 12432  df-ioc 12433  df-ico 12434  df-icc 12435  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-fl 12852  df-mod 12928  df-seq 13060  df-exp 13119  df-fac 13318  df-bc 13347  df-hash 13375  df-shft 14152  df-cj 14184  df-re 14185  df-im 14186  df-sqrt 14320  df-abs 14321  df-limsup 14547  df-clim 14564  df-rlim 14565  df-sum 14762  df-ef 15138  df-sin 15140  df-cos 15141  df-pi 15143  df-dvds 15324  df-gcd 15556  df-numer 15780  df-denom 15781  df-struct 16190  df-ndx 16191  df-slot 16192  df-base 16194  df-sets 16195  df-ress 16196  df-plusg 16284  df-mulr 16285  df-starv 16286  df-sca 16287  df-vsca 16288  df-ip 16289  df-tset 16290  df-ple 16291  df-ds 16293  df-unif 16294  df-hom 16295  df-cco 16296  df-rest 16402  df-topn 16403  df-0g 16421  df-gsum 16422  df-topgen 16423  df-pt 16424  df-prds 16427  df-xrs 16481  df-qtop 16486  df-imas 16487  df-xps 16489  df-mre 16565  df-mrc 16566  df-acs 16568  df-mgm 17561  df-sgrp 17603  df-mnd 17614  df-submnd 17655  df-mulg 17861  df-cntz 18066  df-cmn 18514  df-psmet 20064  df-xmet 20065  df-met 20066  df-bl 20067  df-mopn 20068  df-fbas 20069  df-fg 20070  df-cnfld 20073  df-top 21031  df-topon 21048  df-topsp 21070  df-bases 21083  df-cld 21156  df-ntr 21157  df-cls 21158  df-nei 21235  df-lp 21273  df-perf 21274  df-cn 21364  df-cnp 21365  df-haus 21452  df-tx 21698  df-hmeo 21891  df-fil 21982  df-fm 22074  df-flim 22075  df-flf 22076  df-xms 22457  df-ms 22458  df-tms 22459  df-cncf 23013  df-limc 23975  df-dv 23976  df-log 24648  df-squarenn 38195  df-pell1qr 38196  df-pell14qr 38197  df-pell1234qr 38198  df-pellfund 38199  df-rmx 38256  df-rmy 38257

This theorem is referenced by:  jm2.27c  38363