Theorem rmxy1 43106

Description: Value of the X and Y sequences at 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy1	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1))

Proof of Theorem rmxy1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12519	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		rmxyval 43099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1))
4		rmbaserp 43103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 12949	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
6	5	exp1d 14062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑1) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
7		rmspecpos 43100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpcnd 12949	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
10	9	mulridd 11147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
11	10	eqcomd 2740	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1))
12	11	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)))
13	3, 6, 12	3eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)))
14		rmspecsqrtnq 43090	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
15		nn0ssq 12868	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
16		frmx 43097	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
17	16	fovcl 7484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℕ0)
18	1, 17	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℕ0)
19	15, 18	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) ∈ ℚ)
20		zssq 12867	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
21		frmy 43098	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
22	21	fovcl 7484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℤ)
23	1, 22	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℤ)
24	20, 23	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) ∈ ℚ)
25		eluzelz 12759	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
26		zq 12865	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℚ)
28	20, 1	sselii 3928	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℚ)
30		qirropth 43092	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 1) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 1) ∈ ℚ) ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 1 ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ↔ ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1)))
31	14, 19, 24, 27, 29, 30	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 Xrm 1) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ↔ ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1)))
32	13, 31	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 1) = 𝐴 ∧ (𝐴 Yrm 1) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  2c2 12198  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℚcq 12859  ↑cexp 13982  √csqrt 15154   X_rm crmx 43084   Y_rm crmy 43085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-numer 16660  df-denom 16661  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26519  df-squarenn 43025  df-pell1qr 43026  df-pell14qr 43027  df-pell1234qr 43028  df-pellfund 43029  df-rmx 43086  df-rmy 43087

This theorem is referenced by:  rmx1  43110  rmy1  43114