Theorem jm3.1 43472

Description: Diophantine expression for exponentiation. Lemma 3.1 of [JonesMatijasevic] p. 698. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm3.1	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾↑𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)))

Proof of Theorem jm3.1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		simpl2 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2))
3		simpl3 1200	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	jm3.1lem2 43470	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
6		eluzge2nn0 12840	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9	3	nnnn0d 12496	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		jm2.18 43440	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
11	1, 8, 9, 10	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))
12		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
13		nnz 12543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		frmx 43365	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
16	15	fovcl 7491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
17	12, 14, 16	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
19		eluzelz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
20		eluzelz 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2an 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐾) ∈ ℤ)
24		frmy 43366	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
25	24	fovcl 7491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	12, 14, 25	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
27	23, 26	zmulcld 12637	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
28	18, 27	zsubcld 12636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
29	28	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
30	1, 2, 3, 4	jm3.1lem3 43471	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ)
31		nnnn0 12442	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32	31	3ad2ant3 1141	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33	7, 32	nn0expcld 14206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
34	33	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0)
35		divalgmodcl 16374	. . 3 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐾↑𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐾↑𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) ↔ ((𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
36	29, 30, 34, 35	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((𝐾↑𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) ↔ ((𝐾↑𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾↑𝑁)))))
37	5, 11, 36	mpbir2and 719	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾↑𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴 − 𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℕcn 12172  2c2 12234  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786   mod cmo 13826  ↑cexp 14021   ∥ cdvds 16219   X_rm crmx 43352   Y_rm crmy 43353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-numer 16703  df-denom 16704  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-squarenn 43293  df-pell1qr 43294  df-pell14qr 43295  df-pell1234qr 43296  df-pellfund 43297  df-rmx 43354  df-rmy 43355

This theorem is referenced by:  expdiophlem1  43473