Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1 40828
Description: Diophantine expression for exponentiation. Lemma 3.1 of [JonesMatijasevic] p. 698. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm3.1 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)))

Proof of Theorem jm3.1
StepHypRef Expression
1 simpl1 1190 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
2 simpl2 1191 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ (ℤ‘2))
3 simpl3 1192 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ)
4 simpr 485 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
51, 2, 3, 4jm3.1lem2 40826 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
6 eluzge2nn0 12615 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ0)
763ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℕ0)
87adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝐾 ∈ ℕ0)
93nnnn0d 12281 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 jm2.18 40796 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
111, 8, 9, 10syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
12 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
13 nnz 12330 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
14133ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 frmx 40721 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1615fovcl 7393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1712, 14, 16syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1817nn0zd 12412 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
19 eluzelz 12580 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
20 eluzelz 12580 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
21 zsubcl 12350 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
2219, 20, 21syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
23223adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
24 frmy 40722 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2524fovcl 7393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2612, 14, 25syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2723, 26zmulcld 12420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℤ)
2818, 27zsubcld 12419 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
2928adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ)
301, 2, 3, 4jm3.1lem3 40827 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ)
31 nnnn0 12228 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32313ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
337, 32nn0expcld 13949 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
3433adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
35 divalgmodcl 16104 . . 3 ((((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) ↔ ((𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))))
3629, 30, 34, 35syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → ((𝐾𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) ↔ ((𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))))
375, 11, 36mpbir2and 710 1 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴) → (𝐾𝑁) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) mod ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cfv 6427  (class class class)co 7268  1c1 10860   + caddc 10862   · cmul 10864   < clt 10997  cle 10998  cmin 11193  cn 11961  2c2 12016  0cn0 12221  cz 12307  cuz 12570   mod cmo 13577  cexp 13770  cdvds 15951   Xrm crmx 40708   Yrm crmy 40709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-oadd 8289  df-omul 8290  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-acn 9688  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-xnn0 12294  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-bc 14005  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765  df-sin 15767  df-cos 15768  df-pi 15770  df-dvds 15952  df-gcd 16190  df-numer 16427  df-denom 16428  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-lp 22275  df-perf 22276  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029  df-limc 25018  df-dv 25019  df-log 25700  df-squarenn 40649  df-pell1qr 40650  df-pell14qr 40651  df-pell1234qr 40652  df-pellfund 40653  df-rmx 40710  df-rmy 40711
This theorem is referenced by:  expdiophlem1  40829
  Copyright terms: Public domain W3C validator