Theorem rmxm1 42924

Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxm1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))

Proof of Theorem rmxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12636	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		rmxadd 42917	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
3	1, 2	mp3an3 1451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
4		1z 12630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		rmxneg 42914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
6	4, 5	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
7		rmx1 42916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
8	6, 7	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
10	9	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴))
11		frmx 42903	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
12	11	fovcl 7543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
14		eluzelcn 12872	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 11264	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
17	10, 16	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
18		rmyneg 42918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
19	4, 18	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20		rmy1 42920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
21	20	negeqd 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → -(𝐴 Yrm 1) = -1)
22	19, 21	eqtrd 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
23	22	oveq2d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
25		frmy 42904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
28		ax-1cn 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		mulneg2 11682	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
30	27, 28, 29	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
31	27	mulridd 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
32	31	negeqd 11484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
33	30, 32	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
35	34	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)))
36		rmspecnonsq 42896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
37	36	eldifad 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
38	37	nncnd 12264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
40	39, 27	mulneg2d 11699	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
41	35, 40	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
42	17, 41	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
43	3, 42	eqtrd 2769	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
44		zcn 12601	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
46		negsub 11539	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
47	45, 28, 46	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
48	47	oveq2d 7429	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
49	15, 13	mulcld 11263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℂ)
50	39, 27	mulcld 11263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
51	49, 50	negsubd 11608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
52	43, 48, 51	3eqtr3d 2777	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  1c1 11138   + caddc 11140   · cmul 11142   − cmin 11474  -cneg 11475  ℕcn 12248  2c2 12303  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ↑cexp 14084  ◻_NNcsquarenn 42825   X_rm crmx 42889   Y_rm crmy 42890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215  ax-addf 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8727  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8920  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-acn 9964  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13373  df-ioc 13374  df-ico 13375  df-icc 13376  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14296  df-bc 14325  df-hash 14353  df-shft 15089  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-limsup 15490  df-clim 15507  df-rlim 15508  df-sum 15706  df-ef 16086  df-sin 16088  df-cos 16089  df-pi 16091  df-dvds 16274  df-gcd 16515  df-numer 16755  df-denom 16756  df-struct 17167  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17254  df-plusg 17287  df-mulr 17288  df-starv 17289  df-sca 17290  df-vsca 17291  df-ip 17292  df-tset 17293  df-ple 17294  df-ds 17296  df-unif 17297  df-hom 17298  df-cco 17299  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19769  df-psmet 21319  df-xmet 21320  df-met 21321  df-bl 21322  df-mopn 21323  df-fbas 21324  df-fg 21325  df-cnfld 21328  df-top 22849  df-topon 22866  df-topsp 22888  df-bases 22901  df-cld 22974  df-ntr 22975  df-cls 22976  df-nei 23053  df-lp 23091  df-perf 23092  df-cn 23182  df-cnp 23183  df-haus 23270  df-tx 23517  df-hmeo 23710  df-fil 23801  df-fm 23893  df-flim 23894  df-flf 23895  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24841  df-limc 25838  df-dv 25839  df-log 26535  df-squarenn 42830  df-pell1qr 42831  df-pell14qr 42832  df-pell1234qr 42833  df-pellfund 42834  df-rmx 42891  df-rmy 42892

This theorem is referenced by:  rmxluc  42926