Theorem rmxm1 40672

Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxm1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))

Proof of Theorem rmxm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 12286	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		rmxadd 40665	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
3	1, 2	mp3an3 1448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))))
4		1z 12280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
5		rmxneg 40662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
6	4, 5	mpan2 687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
7		rmx1 40664	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
8	6, 7	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
10	9	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴))
11		frmx 40651	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
12	11	fovcl 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
13	12	nn0cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
14		eluzelcn 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	13, 15	mulcomd 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
17	10, 16	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
18		rmyneg 40666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
19	4, 18	mpan2 687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20		rmy1 40668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
21	20	negeqd 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → -(𝐴 Yrm 1) = -1)
22	19, 21	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
23	22	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1))
25		frmy 40652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
26	25	fovcl 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
27	26	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
28		ax-1cn 10860	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
29		mulneg2 11342	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
30	27, 28, 29	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
31	27	mulid1d 10923	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
32	31	negeqd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → -((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
33	30, 32	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · -1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
34	24, 33	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
35	34	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)))
36		rmspecnonsq 40645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
37	36	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
38	37	nncnd 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
40	39, 27	mulneg2d 11359	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
41	35, 40	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
42	17, 41	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
43	3, 42	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
44		zcn 12254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
45	44	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
46		negsub 11199	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
47	45, 28, 46	sylancl 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
48	47	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)))
49	15, 13	mulcld 10926	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ ℂ)
50	39, 27	mulcld 10926	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
51	49, 50	negsubd 11268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
52	43, 48, 51	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 − 1)) = ((𝐴 · (𝐴 Xrm 𝑁)) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710  ◻_NNcsquarenn 40574   X_rm crmx 40638   Y_rm crmy 40639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-squarenn 40579  df-pell1qr 40580  df-pell14qr 40581  df-pell1234qr 40582  df-pellfund 40583  df-rmx 40640  df-rmy 40641

This theorem is referenced by:  rmxluc  40674