Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxm1 41663
Description: Subtraction of 1 formula for X sequence. Part 1 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxm1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))

Proof of Theorem rmxm1
StepHypRef Expression
1 neg1z 12597 . . . 4 -1 ∈ β„€
2 rmxadd 41656 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)))))
31, 2mp3an3 1450 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)))))
4 1z 12591 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
5 rmxneg 41653 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
64, 5mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
7 rmx1 41655 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
86, 7eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
109oveq2d 7424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴))
11 frmx 41642 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1211fovcl 7536 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
1312nn0cnd 12533 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
14 eluzelcn 12833 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1613, 15mulcomd 11234 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
1710, 16eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) = (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
18 rmyneg 41657 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
194, 18mpan2 689 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20 rmy1 41659 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
2120negeqd 11453 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ -(𝐴 Yrm 1) = -1)
2219, 21eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -1)
2322oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· -1))
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· -1))
25 frmy 41643 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2625fovcl 7536 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2726zcnd 12666 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
28 ax-1cn 11167 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
29 mulneg2 11650 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 1))
3027, 28, 29sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· -1) = -((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 1))
3127mulridd 11230 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
3231negeqd 11453 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ -((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3330, 32eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· -1) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3424, 33eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Yrm 𝑁))
3534oveq2d 7424 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)))
36 rmspecnonsq 41635 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
3736eldifad 3960 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
3837nncnd 12227 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
4039, 27mulneg2d 11667 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· -(𝐴 Yrm 𝑁)) = -(((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
4135, 40eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))) = -(((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))
4217, 41oveq12d 7426 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)))) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
433, 42eqtrd 2772 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
44 zcn 12562 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
4544adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 negsub 11507 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + -1) = (𝑁 βˆ’ 1))
4745, 28, 46sylancl 586 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + -1) = (𝑁 βˆ’ 1))
4847oveq2d 7424 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + -1)) = (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)))
4915, 13mulcld 11233 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„‚)
5039, 27mulcld 11233 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
5149, 50negsubd 11576 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + -(((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
5243, 48, 513eqtr3d 2780 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11443  -cneg 11444  β„•cn 12211  2c2 12266  β„•0cn0 12471  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β†‘cexp 14026  β—»NNcsquarenn 41564   Xrm crmx 41628   Yrm crmy 41629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-squarenn 41569  df-pell1qr 41570  df-pell14qr 41571  df-pell1234qr 41572  df-pellfund 41573  df-rmx 41630  df-rmy 41631
This theorem is referenced by:  rmxluc  41665
  Copyright terms: Public domain W3C validator