Theorem rmxy0 42916

Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxy0	⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))

Proof of Theorem rmxy0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12501	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		rmxyval 42908	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0))
4		rmbaserp 42912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
5	4	rpcnd 12958	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
6	5	exp0d 14066	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0) = 1)
7		rmspecpos 42909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
8	7	rpcnd 12958	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
9	8	sqrtcld 15366	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
10	9	mul01d 11334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0) = 0)
11	10	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) = (1 + 0))
12		1p0e1 12266	. . . 4 ⊢ (1 + 0) = 1
13	11, 12	eqtr2di 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)))
14	3, 6, 13	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)))
15		rmspecsqrtnq 42899	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
16		nn0ssq 12877	. . . 4 ⊢ ℕ0 ⊆ ℚ
17		frmx 42906	. . . . . 6 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
18	17	fovcl 7481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℕ0)
19	1, 18	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℕ0)
20	16, 19	sselid 3935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℚ)
21		zssq 12876	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℚ
22		frmy 42907	. . . . . 6 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
23	22	fovcl 7481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℤ)
24	1, 23	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℤ)
25	21, 24	sselid 3935	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℚ)
26		1z 12524	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
27	21, 26	sselii 3934	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℚ
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℚ)
29	21, 1	sselii 3934	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℚ
30	29	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℚ)
31		qirropth 42901	. . 3 ⊢ (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 0) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 0) ∈ ℚ) ∧ (1 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
32	15, 20, 25, 28, 30, 31	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
33	14, 32	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  2c2 12202  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12754  ℚcq 12868  ↑cexp 13987  √csqrt 15159   X_rm crmx 42893   Y_rm crmy 42894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-dvds 16183  df-gcd 16425  df-numer 16665  df-denom 16666  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482  df-squarenn 42834  df-pell1qr 42835  df-pell14qr 42836  df-pell1234qr 42837  df-pellfund 42838  df-rmx 42895  df-rmy 42896

This theorem is referenced by:  rmx0  42918  rmy0  42922