Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxy0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxy0 42338
Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxy0 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))

Proof of Theorem rmxy0
StepHypRef Expression
1 0z 12593 . . . 4 0 ∈ β„€
2 rmxyval 42330 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 0) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑0))
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Xrm 0) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑0))
4 rmbaserp 42334 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ ℝ+)
54rpcnd 13044 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
65exp0d 14130 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 + (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)))↑0) = 1)
7 rmspecpos 42331 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ ℝ+)
87rpcnd 13044 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
98sqrtcld 15410 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
109mul01d 11437 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0) = 0)
1110oveq2d 7430 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (1 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0)) = (1 + 0))
12 1p0e1 12360 . . . 4 (1 + 0) = 1
1311, 12eqtr2di 2785 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = (1 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0)))
143, 6, 133eqtrd 2772 . 2 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Xrm 0) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0)))
15 rmspecsqrtnq 42320 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š))
16 nn0ssq 12965 . . . 4 β„•0 βŠ† β„š
17 frmx 42328 . . . . . 6 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
1817fovcl 7543 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 0) ∈ β„•0)
191, 18mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 0) ∈ β„•0)
2016, 19sselid 3976 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 0) ∈ β„š)
21 zssq 12964 . . . 4 β„€ βŠ† β„š
22 frmy 42329 . . . . . 6 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2322fovcl 7543 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 0) ∈ β„€)
241, 23mpan2 690 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) ∈ β„€)
2521, 24sselid 3976 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) ∈ β„š)
26 1z 12616 . . . . 5 1 ∈ β„€
2721, 26sselii 3975 . . . 4 1 ∈ β„š
2827a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ∈ β„š)
2921, 1sselii 3975 . . . 4 0 ∈ β„š
3029a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ β„š)
31 qirropth 42322 . . 3 (((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) ∈ (β„‚ βˆ– β„š) ∧ ((𝐴 Xrm 0) ∈ β„š ∧ (𝐴 Yrm 0) ∈ β„š) ∧ (1 ∈ β„š ∧ 0 ∈ β„š)) β†’ (((𝐴 Xrm 0) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
3215, 20, 25, 28, 30, 31syl122anc 1377 . 2 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((𝐴 Xrm 0) + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((βˆšβ€˜((𝐴↑2) βˆ’ 1)) Β· 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
3314, 32mpbid 231 1 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3942  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11130  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   Β· cmul 11137   βˆ’ cmin 11468  2c2 12291  β„•0cn0 12496  β„€cz 12582  β„€β‰₯cuz 12846  β„šcq 12956  β†‘cexp 14052  βˆšcsqrt 15206   Xrm crmx 42314   Yrm crmy 42315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-fac 14259  df-bc 14288  df-hash 14316  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15441  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-ef 16037  df-sin 16039  df-cos 16040  df-pi 16042  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-numer 16700  df-denom 16701  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-lp 23033  df-perf 23034  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cncf 24791  df-limc 25788  df-dv 25789  df-log 26483  df-squarenn 42255  df-pell1qr 42256  df-pell14qr 42257  df-pell1234qr 42258  df-pellfund 42259  df-rmx 42316  df-rmy 42317
This theorem is referenced by:  rmx0  42340  rmy0  42344
  Copyright terms: Public domain W3C validator