Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxy0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxy0 40448
Description: Value of the X and Y sequences at 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxy0 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))

Proof of Theorem rmxy0
StepHypRef Expression
1 0z 12187 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 rmxyval 40440 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0))
4 rmbaserp 40444 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ+)
54rpcnd 12630 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℂ)
65exp0d 13710 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))↑0) = 1)
7 rmspecpos 40441 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
87rpcnd 12630 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
98sqrtcld 15001 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
109mul01d 11031 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0) = 0)
1110oveq2d 7229 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) = (1 + 0))
12 1p0e1 11954 . . . 4 (1 + 0) = 1
1311, 12eqtr2di 2795 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)))
143, 6, 133eqtrd 2781 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)))
15 rmspecsqrtnq 40431 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
16 nn0ssq 12553 . . . 4 0 ⊆ ℚ
17 frmx 40438 . . . . . 6 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1817fovcl 7338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℕ0)
191, 18mpan2 691 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℕ0)
2016, 19sseldi 3899 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) ∈ ℚ)
21 zssq 12552 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
22 frmy 40439 . . . . . 6 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
2322fovcl 7338 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℤ)
241, 23mpan2 691 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℤ)
2521, 24sseldi 3899 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) ∈ ℚ)
26 1z 12207 . . . . 5 1 ∈ ℤ
2721, 26sselii 3897 . . . 4 1 ∈ ℚ
2827a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℚ)
2921, 1sselii 3897 . . . 4 0 ∈ ℚ
3029a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ∈ ℚ)
31 qirropth 40433 . . 3 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm 0) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm 0) ∈ ℚ) ∧ (1 ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
3215, 20, 25, 28, 30, 31syl122anc 1381 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 Xrm 0) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 0)) ↔ ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0)))
3314, 32mpbid 235 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 Xrm 0) = 1 ∧ (𝐴 Yrm 0) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cdif 3863  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  cmin 11062  2c2 11885  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  cq 12544  cexp 13635  csqrt 14796   Xrm crmx 40425   Yrm crmy 40426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-numer 16291  df-denom 16292  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-squarenn 40366  df-pell1qr 40367  df-pell14qr 40368  df-pell1234qr 40369  df-pellfund 40370  df-rmx 40427  df-rmy 40428
This theorem is referenced by:  rmx0  40450  rmy0  40454
  Copyright terms: Public domain W3C validator