Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26lem3 42323
Description: Lemma for jm2.26 42324. Use acongrep 42302 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 772 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
32adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
43ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
5 rmyabs 42280 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)))
61, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)))
73zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
87ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
9 elfzle1 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ 𝐾)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝐾)
1110ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 0 ≀ 𝐾)
128, 11absidd 15375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜πΎ) = 𝐾)
1312oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
146, 13eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1615adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1716ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
18 rmyabs 42280 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
191, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
2016zred 12670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
22 elfzle1 13510 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2423ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2521, 24absidd 15375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
2625oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2719, 26eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2814, 27oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29 frmy 42236 . . . . . . . . . . . 12 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
3029fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
311, 4, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
3231zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
3329fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
341, 17, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
3534zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
3632, 35readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3837nnzd 12589 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4129fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
421, 40, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4342zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
4429fovcl 7533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
451, 38, 44syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
4645zred 12670 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
4743, 46readdcld 11247 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48 frmx 42235 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
4948fovcl 7533 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
501, 38, 49syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
5150nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
54 lermy 42277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
551, 4, 40, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
5753, 56mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
58 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
61 lermy 42277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
621, 17, 38, 61syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
6463adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
65 le2add 11700 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6857, 64, 67mp2and 696 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6931zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„‚)
7034zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
7169, 70addcomd 11420 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝐾 β‰  𝑀)
7473necomd 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝑀 β‰  𝐾)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 β‰  𝐾)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝐾 = 𝑁)
7775, 76neeqtrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 β‰  𝑁)
7877neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑁)
7978adantll 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑁)
80 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
81 nn0uz 12868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8280, 81eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8382ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
84 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86 fzm1 13587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
8786biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
8883, 85, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89 orel2 887 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑀 = 𝑁 β†’ ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
9079, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
91 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
93 lermy 42277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
941, 17, 40, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
9692, 95mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
97 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98 elfzle2 13511 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
100 lermy 42277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1011, 4, 38, 100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
10299, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
104 le2add 11700 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
10796, 103, 106mp2and 696 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
10872, 107eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
10937nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
110109, 81eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
111 fzm1 13587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112111biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113110, 97, 112syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
11468, 108, 113mpjaodan 955 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115 jm2.24 42285 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
1161, 38, 115syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 11376 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
11828, 117eqbrtrd 5163 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 β‰  𝑀)
120 rmyeq 42276 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121120necon3bid 2979 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀)))
1221, 4, 17, 121syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀)))
123119, 122mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀))
1247ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
125 0red 11221 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
126 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = -𝑀)
12722ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
12820adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
129128le0neg2d 11790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ -𝑀 ≀ 0))
130127, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ -𝑀 ≀ 0)
131130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ -𝑀 ≀ 0)
132126, 131eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 ≀ 0)
13310ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 0 ≀ 𝐾)
134 letri3 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐾)))
135134biimpar 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐾)) β†’ 𝐾 = 0)
136124, 125, 132, 133, 135syl22anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = 0)
137 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = 0)
138 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = -𝑀)
139138, 137eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ -𝑀 = 0)
140128recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
141140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
142141negeq0d 11567 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143139, 142mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝑀 = 0)
144137, 143eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = 𝑀)
145136, 144mpdan 684 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = 𝑀)
146145ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 = -𝑀 β†’ 𝐾 = 𝑀))
147146necon3d 2955 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝐾 β‰  -𝑀))
148147imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 β‰  -𝑀)
14958, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
150149znegcld 12672 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
151 rmyeq 42276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ -𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152151necon3bid 2979 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ -𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 β‰  -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀)))
1531, 4, 150, 152syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 β‰  -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀)))
154148, 153mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀))
155 rmyneg 42250 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
1561, 17, 155syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157154, 156neeqtrd 3004 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))
158118, 123, 1573jca 1125 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159158ex 412 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1613ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
162160, 161, 30syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
163162zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„‚)
16416ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
165160, 164, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
166165zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
167163, 166negsubd 11581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168167fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
169166negcld 11562 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
170163, 169addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
171170abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172163abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173166abscld 15389 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174172, 173readdcld 11247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
176175adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
177176ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
17849nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
179160, 177, 178syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
180179zred 12670 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181163, 169abstrid 15409 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182 absneg 15230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)))
183182eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184166, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185184oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186181, 185breqtrrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))))
187 simpr1 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188171, 174, 180, 186, 187lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189168, 188eqbrtrrd 5165 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190162, 165zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
191190zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
192191abscld 15389 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193192, 180ltnled 11365 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194189, 193mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
195 simpr2 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀))
196163, 166, 195subne0d 11584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0)
197 dvdsleabs 16261 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198179, 190, 196, 197syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199194, 198mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
200163, 166subnegd 11582 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201200fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202163, 166addcld 11237 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
203202abscld 15389 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204163, 166abstrid 15409 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))))
205203, 174, 180, 204, 187lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206201, 205eqbrtrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207165znegcld 12672 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
208162, 207zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
209208zcnd 12671 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
210209abscld 15389 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211210, 180ltnled 11365 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212206, 211mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213 simpr3 1193 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))
214163, 169, 213subne0d 11584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0)
215 dvdsleabs 16261 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216179, 208, 214, 215syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217212, 216mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218199, 217jca 511 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219 pm4.56 985 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220218, 219sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221220ex 412 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222159, 221syld 47 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223222necon4ad 2953 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐾 = 𝑀))
2242233impia 1114 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  abscabs 15187   βˆ₯ cdvds 16204   Xrm crmx 42221   Yrm crmy 42222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445  df-squarenn 42162  df-pell1qr 42163  df-pell14qr 42164  df-pell1234qr 42165  df-pellfund 42166  df-rmx 42223  df-rmy 42224
This theorem is referenced by:  jm2.26  42324
  Copyright terms: Public domain W3C validator