Theorem jm2.26lem3 43013

Description: Lemma for jm2.26 43014. Use acongrep 42992 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 42970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 12722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 15461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 42970	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 12722	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 15461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 7449	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29		frmy 42926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 7561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 7561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 12660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 7561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 7561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 12722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 42925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
49	48	fovcl 7561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
50	1, 38, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
51	50	nn0red 12588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 42967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 42967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
65		le2add 11745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 699	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	31	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 11463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
81		nn0uz 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
82	80, 81	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
83	82	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
84		simprr 773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 13647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 891	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 42967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 42967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
104		le2add 11745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
110	109, 81	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
111		fzm1 13647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 961	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115		jm2.24 42975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 11419	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 42966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121	120	necon3bid 2985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
124	7	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 11264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 11835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 11612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 42966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152	151	necon3bid 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀))
155		rmyneg 42940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
161	3	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166	negcld 11607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 15475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 15475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 15475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 12722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 15495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182		absneg 15316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185	184	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
187		simpr1 1195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
195		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 11629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 16348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 11627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 11280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 15495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207	165	znegcld 12724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 15475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213		simpr3 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 11629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 16348	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218	199, 217	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219		pm4.56 991	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221	220	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1118	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  -cneg 11493  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13547  abscabs 15273   ∥ cdvds 16290   X_rm crmx 42911   Y_rm crmy 42912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-numer 16772  df-denom 16773  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-squarenn 42852  df-pell1qr 42853  df-pell14qr 42854  df-pell1234qr 42855  df-pellfund 42856  df-rmx 42913  df-rmy 42914

This theorem is referenced by:  jm2.26  43014