Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26lem3 41354
Description: Lemma for jm2.26 41355. Use acongrep 41333 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
2 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
32adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
43ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
5 rmyabs 41311 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)))
61, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)))
73zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
87ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
9 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ 𝐾)
109adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝐾)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 0 ≀ 𝐾)
128, 11absidd 15314 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜πΎ) = 𝐾)
1312oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (absβ€˜πΎ)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
146, 13eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1615adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
18 rmyabs 41311 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
191, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
2016zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
22 elfzle1 13451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2322adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 0 ≀ 𝑀)
2521, 24absidd 15314 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜π‘€) = 𝑀)
2625oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2719, 26eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2814, 27oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29 frmy 41267 . . . . . . . . . . . 12 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
3029fovcl 7489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
311, 4, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
3231zred 12614 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
3329fovcl 7489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
341, 17, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
3534zred 12614 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
3632, 35readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3837nnzd 12533 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
39 peano2zm 12553 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
4129fovcl 7489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
421, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„€)
4342zred 12614 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
4429fovcl 7489 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
451, 38, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
4645zred 12614 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
4743, 46readdcld 11191 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48 frmx 41266 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
4948fovcl 7489 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
501, 38, 49syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
5150nn0red 12481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
5352adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
54 lermy 41308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
551, 4, 40, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐾 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
5753, 56mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
58 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
61 lermy 41308 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
621, 17, 38, 61syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑀 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
6463adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
65 le2add 11644 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6766adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
6857, 64, 67mp2and 698 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
6931zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„‚)
7034zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
7169, 70addcomd 11364 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝐾 β‰  𝑀)
7473necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝑀 β‰  𝐾)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 β‰  𝐾)
76 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝐾 = 𝑁)
7775, 76neeqtrd 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 β‰  𝑁)
7877neneqd 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 β‰  𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑁)
7978adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ Β¬ 𝑀 = 𝑁)
80 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
81 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8280, 81eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
8382ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
84 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86 fzm1 13528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
8786biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
8883, 85, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89 orel2 890 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑀 = 𝑁 β†’ ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1))))
9079, 88, 89sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)))
91 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ 𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ 𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1))
93 lermy 41308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
941, 17, 40, 93syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
9594adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝑀 ≀ (𝑁 βˆ’ 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1))))
9692, 95mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)))
97 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0...𝑁) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 ≀ 𝑁)
100 lermy 41308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1011, 4, 38, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ≀ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)))
10299, 101mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
103102adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁))
104 le2add 11644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106105adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑀) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≀ (𝐴 Yrm 𝑁)) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
10796, 103, 106mp2and 698 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
10872, 107eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
10937nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
110109, 81eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
111 fzm1 13528 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112111biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113110, 97, 112syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 βˆ’ 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
11468, 108, 113mpjaodan 958 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115 jm2.24 41316 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
1161, 38, 115syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 11320 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
11828, 117eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119 simpr 486 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 β‰  𝑀)
120 rmyeq 41307 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121120necon3bid 2989 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀)))
1221, 4, 17, 121syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀)))
123119, 122mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀))
1247ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 ∈ ℝ)
125 0red 11165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 0 ∈ ℝ)
126 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = -𝑀)
12722ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
12820adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
129128le0neg2d 11734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ -𝑀 ≀ 0))
130127, 129mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ -𝑀 ≀ 0)
131130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ -𝑀 ≀ 0)
132126, 131eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 ≀ 0)
13310ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 0 ≀ 𝐾)
134 letri3 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐾)))
135134biimpar 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≀ 0 ∧ 0 ≀ 𝐾)) β†’ 𝐾 = 0)
136124, 125, 132, 133, 135syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = 0)
137 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = 0)
138 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = -𝑀)
139138, 137eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ -𝑀 = 0)
140128recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
141140ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
142141negeq0d 11511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143139, 142mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝑀 = 0)
144137, 143eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) β†’ 𝐾 = 𝑀)
145136, 144mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) β†’ 𝐾 = 𝑀)
146145ex 414 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 = -𝑀 β†’ 𝐾 = 𝑀))
147146necon3d 2965 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ 𝐾 β‰  -𝑀))
148147imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝐾 β‰  -𝑀)
14958, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
150149znegcld 12616 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ -𝑀 ∈ β„€)
151 rmyeq 41307 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ -𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152151necon3bid 2989 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€ ∧ -𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐾 β‰  -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀)))
1531, 4, 150, 152syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐾 β‰  -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀)))
154148, 153mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm -𝑀))
155 rmyneg 41281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
1561, 17, 155syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157154, 156neeqtrd 3014 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))
158118, 123, 1573jca 1129 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 β‰  𝑀) β†’ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159158ex 414 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
1613ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
162160, 161, 30syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
163162zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„‚)
16416ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
165160, 164, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
166165zcnd 12615 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
167163, 166negsubd 11525 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
168167fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
169166negcld 11506 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚)
170163, 169addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
171170abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172163abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173166abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174172, 173readdcld 11191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
176175adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
177176ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
17849nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
179160, 177, 178syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
180179zred 12614 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181163, 169abstrid 15348 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182 absneg 15169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)))
183182eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184166, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185184oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186181, 185breqtrrd 5138 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))))
187 simpr1 1195 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188171, 174, 180, 186, 187lelttrd 11320 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189168, 188eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190162, 165zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
191190zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
192191abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193192, 180ltnled 11309 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194189, 193mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀))))
195 simpr2 1196 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀))
196163, 166, 195subne0d 11528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0)
197 dvdsleabs 16200 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198179, 190, 196, 197syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199194, 198mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)))
200163, 166subnegd 11526 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201200fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202163, 166addcld 11181 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
203202abscld 15328 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204163, 166abstrid 15348 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))))
205203, 174, 180, 204, 187lelttrd 11320 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206201, 205eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207165znegcld 12616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
208162, 207zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€)
209208zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„‚)
210209abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211210, 180ltnled 11309 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212206, 211mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213 simpr3 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))
214163, 169, 213subne0d 11528 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0)
215 dvdsleabs 16200 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„€ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β‰  0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216179, 208, 214, 215syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ≀ (absβ€˜((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217212, 216mtod 197 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218199, 217jca 513 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ (Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219 pm4.56 988 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ Β¬ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220218, 219sylib 217 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221220ex 414 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ ((((absβ€˜(𝐴 Yrm 𝐾)) + (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) β‰  -(𝐴 Yrm 𝑀)) β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222159, 221syld 47 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (𝐾 β‰  𝑀 β†’ Β¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223222necon4ad 2963 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ 𝐾 = 𝑀))
2242233impia 1118 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 = 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  abscabs 15126   βˆ₯ cdvds 16143   Xrm crmx 41252   Yrm crmy 41253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-numer 16617  df-denom 16618  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-squarenn 41193  df-pell1qr 41194  df-pell14qr 41195  df-pell1234qr 41196  df-pellfund 41197  df-rmx 41254  df-rmy 41255
This theorem is referenced by:  jm2.26  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator