Theorem jm2.26lem3 43539

Description: Lemma for jm2.26 43540. Use acongrep 43518 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		elfzelz 13523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 43496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 15441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15		elfzelz 13523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 43496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 13526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 15441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29		frmy 43452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 7519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 7519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 12608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 7519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 7519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 43451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
49	48	fovcl 7519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
50	1, 38, 49	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
51	50	nn0red 12537	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 13527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 43493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 13527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 43493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
64	63	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
65		le2add 11663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
67	66	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	31	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 11379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
72	71	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 3025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 12482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
81		nn0uz 12871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
82	80, 81	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
83	82	ad4antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
84		simprr 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 13606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 13527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 43493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 13527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 43493	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
104		le2add 11663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106	105	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 12536	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
110	109, 81	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
111		fzm1 13606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 971	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115		jm2.24 43501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 11335	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 5119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 43492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121	120	necon3bid 3000	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
124	7	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 11262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 11528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 43492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152	151	necon3bid 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀))
155		rmyneg 43466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 3025	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1140	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
161	3	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 12672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166	negcld 11523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 15457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 12583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 12587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 12671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 15477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182		absneg 15295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185	184	oveq2d 7407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
187		simpr1 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 5121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
195		simpr2 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 16336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 11543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 15477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 11335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 5119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207	165	znegcld 12673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 12676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 12672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 15457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213		simpr3 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 11545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 16336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1389	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218	199, 217	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219		pm4.56 1001	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221	220	ex 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2975	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  -cneg 11409  ℕcn 12204  2c2 12266  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  abscabs 15252   ∥ cdvds 16277   X_rm crmx 43438   Y_rm crmy 43439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-acn 9894  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-dvds 16278  df-gcd 16520  df-numer 16761  df-denom 16762  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-squarenn 43379  df-pell1qr 43380  df-pell14qr 43381  df-pell1234qr 43382  df-pellfund 43383  df-rmx 43440  df-rmy 43441

This theorem is referenced by:  jm2.26  43540