jm2.26lem3 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.26lem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.26lem3 41725

Description: Lemma for jm2.26 41726. Use acongrep 41704 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

**Proof of Theorem jm2.26lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		elfzelz 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 41682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 13500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Y_rm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm 𝐾))
15		elfzelz 13497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 41682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 13500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 15365	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)))
29		frmy 41638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 7533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 7533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 12601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 7533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 7533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11239	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 41637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
49	48	fovcl 7533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
50	1, 38, 49	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
51	50	nn0red 12529	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 41679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 41679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
65		le2add 11692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
69	31	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)))
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 12475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
81		nn0uz 12860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
82	80, 81	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
83	82	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
84		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 13577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 41679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 13501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 41679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
104		le2add 11692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
110	109, 81	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
111		fzm1 13577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 957	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
115		jm2.24 41687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 11368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
119		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 41678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) = (𝐴 Y_rm 𝑀)))
121	120	necon3bid 2985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀))
124	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 11213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 11782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 11295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 11559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 12664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 41678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) = (𝐴 Y_rm -𝑀)))
152	151	necon3bid 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀))
155		rmyneg 41652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑀) = -(𝐴 Y_rm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm -𝑀) = -(𝐴 Y_rm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
159	158	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
160		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
161	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
169	166	negcld 11554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → -(𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 15379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 15379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 15379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 12575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 12580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 15399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀))))
182		absneg 15220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)))
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)))
185	184	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))))
187		simpr1 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 15379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
195		simpr2 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 16250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 15399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
207	165	znegcld 12664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → -(𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 15379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
213		simpr3 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 16250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
218	199, 217	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
219		pm4.56 987	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
221	220	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2959	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1117	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∨ wo 845 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 class class class wbr 5147 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 -cneg 11441 ℕcn 12208 2c2 12263 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 ℤ_≥cuz 12818 ...cfz 13480 abscabs 15177 ∥ cdvds 16193 X_rm crmx 41623 Y_rm crmy 41624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-xnn0 12541 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-shft 15010 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-limsup 15411 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-ef 16007 df-sin 16009 df-cos 16010 df-pi 16012 df-dvds 16194 df-gcd 16432 df-numer 16667 df-denom 16668 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-limc 25374 df-dv 25375 df-log 26056 df-squarenn 41564 df-pell1qr 41565 df-pell14qr 41566 df-pell1234qr 41567 df-pellfund 41568 df-rmx 41625 df-rmy 41626

This theorem is referenced by: jm2.26 41726

W3C validator