jm2.26lem3 - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > jm2.26lem3		Structured version Visualization version GIF version

Theorem jm2.26lem3 42486

Description: Lemma for jm2.26 42487. Use acongrep 42465 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

**Proof of Theorem jm2.26lem3**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
2		elfzelz 13531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 42443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 13534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 15399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Y_rm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) = (𝐴 Y_rm 𝐾))
15		elfzelz 13531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 42443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 13534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 15399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (𝐴 Y_rm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)))
29		frmy 42399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 7545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 7545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 11271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 12633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 7545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 7545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 12694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11271	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 42398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ X_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℕ₀
49	48	fovcl 7545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
50	1, 38, 49	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℕ₀)
51	50	nn0red 12561	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 42440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 42440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
64	63	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
65		le2add 11724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
67	66	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
69	31	zcnd 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 11444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)))
72	71	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)))
73		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 3000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
81		nn0uz 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
82	80, 81	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
83	82	ad4antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
84		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 13611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 42440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 13535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 42440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
103	102	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁))
104		le2add 11724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Y_rm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
106	105	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Y_rm 𝑀) ≤ (𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≤ (𝐴 Y_rm 𝑁)) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 697	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝑀) + (𝐴 Y_rm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
110	109, 81	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0))
111		fzm1 13611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 956	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)))
115		jm2.24 42448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Y_rm 𝑁)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) < (𝐴 X_rm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 5165	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
119		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 42439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) = (𝐴 Y_rm 𝑀)))
121	120	necon3bid 2975	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀))
124	7	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 11245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 11814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 11327	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 11591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 405	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 12696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 42439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) = (𝐴 Y_rm -𝑀)))
152	151	necon3bid 2975	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm -𝑀))
155		rmyneg 42413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Y_rm -𝑀) = -(𝐴 Y_rm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm -𝑀) = -(𝐴 Y_rm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 3000	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1125	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
159	158	ex 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
160		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2))
161	3	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 12695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 11605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
169	166	negcld 11586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → -(𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 15413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 11271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 12607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 12612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 12694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 15433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀))))
182		absneg 15254	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)))
184	166, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀)))
185	184	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Y_rm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 5171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))))
187		simpr1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 15413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀))))
195		simpr2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 16285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 11606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) = ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 15433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) + (𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁))
207	165	znegcld 12696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → -(𝐴 Y_rm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 12699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 12695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 15413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
213		simpr3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 11608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 16285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 X_rm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → (𝐴 X_rm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 197	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))
218	199, 217	jca 510	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → (¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
219		pm4.56 986	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))))
221	220	ex 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Y_rm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Y_rm 𝑀))) < (𝐴 X_rm 𝑁) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ (𝐴 Y_rm 𝑀) ∧ (𝐴 Y_rm 𝐾) ≠ -(𝐴 Y_rm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 47	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2949	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1114	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − (𝐴 Y_rm 𝑀)) ∨ (𝐴 X_rm 𝑁) ∥ ((𝐴 Y_rm 𝐾) − -(𝐴 Y_rm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 ∨ wo 845 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 class class class wbr 5143 ‘cfv 6542 (class class class)co 7415 ℂcc 11134 ℝcr 11135 0cc0 11136 1c1 11137 + caddc 11139 < clt 11276 ≤ cle 11277 − cmin 11472 -cneg 11473 ℕcn 12240 2c2 12295 ℕ₀cn0 12500 ℤcz 12586 ℤ_≥cuz 12850 ...cfz 13514 abscabs 15211 ∥ cdvds 16228 X_rm crmx 42384 Y_rm crmy 42385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-inf2 9662 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 ax-pre-sup 11214 ax-addf 11215

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-iin 4994 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-of 7681 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-supp 8162 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-1o 8483 df-2o 8484 df-oadd 8487 df-omul 8488 df-er 8721 df-map 8843 df-pm 8844 df-ixp 8913 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-fin 8964 df-fsupp 9384 df-fi 9432 df-sup 9463 df-inf 9464 df-oi 9531 df-card 9960 df-acn 9963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-3 12304 df-4 12305 df-5 12306 df-6 12307 df-7 12308 df-8 12309 df-9 12310 df-n0 12501 df-xnn0 12573 df-z 12587 df-dec 12706 df-uz 12851 df-q 12961 df-rp 13005 df-xneg 13122 df-xadd 13123 df-xmul 13124 df-ioo 13358 df-ioc 13359 df-ico 13360 df-icc 13361 df-fz 13515 df-fzo 13658 df-fl 13787 df-mod 13865 df-seq 13997 df-exp 14057 df-fac 14263 df-bc 14292 df-hash 14320 df-shft 15044 df-cj 15076 df-re 15077 df-im 15078 df-sqrt 15212 df-abs 15213 df-limsup 15445 df-clim 15462 df-rlim 15463 df-sum 15663 df-ef 16041 df-sin 16043 df-cos 16044 df-pi 16046 df-dvds 16229 df-gcd 16467 df-numer 16704 df-denom 16705 df-struct 17113 df-sets 17130 df-slot 17148 df-ndx 17160 df-base 17178 df-ress 17207 df-plusg 17243 df-mulr 17244 df-starv 17245 df-sca 17246 df-vsca 17247 df-ip 17248 df-tset 17249 df-ple 17250 df-ds 17252 df-unif 17253 df-hom 17254 df-cco 17255 df-rest 17401 df-topn 17402 df-0g 17420 df-gsum 17421 df-topgen 17422 df-pt 17423 df-prds 17426 df-xrs 17481 df-qtop 17486 df-imas 17487 df-xps 17489 df-mre 17563 df-mrc 17564 df-acs 17566 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-submnd 18738 df-mulg 19026 df-cntz 19270 df-cmn 19739 df-psmet 21273 df-xmet 21274 df-met 21275 df-bl 21276 df-mopn 21277 df-fbas 21278 df-fg 21279 df-cnfld 21282 df-top 22812 df-topon 22829 df-topsp 22851 df-bases 22865 df-cld 22939 df-ntr 22940 df-cls 22941 df-nei 23018 df-lp 23056 df-perf 23057 df-cn 23147 df-cnp 23148 df-haus 23235 df-tx 23482 df-hmeo 23675 df-fil 23766 df-fm 23858 df-flim 23859 df-flf 23860 df-xms 24242 df-ms 24243 df-tms 24244 df-cncf 24814 df-limc 25811 df-dv 25812 df-log 26506 df-squarenn 42325 df-pell1qr 42326 df-pell14qr 42327 df-pell1234qr 42328 df-pellfund 42329 df-rmx 42386 df-rmy 42387

This theorem is referenced by: jm2.26 42487

W3C validator