Theorem jm2.26lem3 43654

Description: Lemma for jm2.26 43655. Use acongrep 43633 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26lem3	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Proof of Theorem jm2.26lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
2		elfzelz 13552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	2	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
5		rmyabs 43611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)))
7	3	zred 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
8	7	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
9		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝐾)
11	10	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
12	8, 11	absidd 15474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝐾) = 𝐾)
13	12	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
14	6, 13	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) = (𝐴 Yrm 𝐾))
15		elfzelz 13552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		rmyabs 43611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
19	1, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
20	16	zred 12700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	20	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
22		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝑀)
23	22	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → 0 ≤ 𝑀)
24	23	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 0 ≤ 𝑀)
25	21, 24	absidd 15474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
26	25	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
27	19, 26	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm 𝑀))
28	14, 27	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
29		frmy 43567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
30	29	fovcl 7539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
31	1, 4, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
32	31	zred 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ)
33	29	fovcl 7539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
34	1, 17, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
35	34	zred 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ)
36	32, 35	readdcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
37		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
39		peano2zm 12637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
41	29	fovcl 7539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
42	1, 40, 41	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
43	42	zred 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
44	29	fovcl 7539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
45	1, 38, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
46	45	zred 12700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
47	43, 46	readdcld 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℝ)
48		frmx 43566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
49	48	fovcl 7539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
50	1, 38, 49	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
51	50	nn0red 12566	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
52		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
53	52	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ≤ (𝑁 − 1))
54		lermy 43608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
55	1, 4, 40, 54	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
56	55	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐾 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
57	53, 56	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
58		simplrr 789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
59		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
60	58, 59	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
61		lermy 43608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
62	1, 17, 38, 61	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
63	60, 62	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
64	63	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
65		le2add 11696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
66	32, 35, 43, 46, 65	syl22anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
67	66	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
68	57, 64, 67	mp2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
69	31	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
70	34	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
71	69, 70	addcomd 11412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
72	71	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)))
73		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ 𝑀)
74	73	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ≠ 𝐾)
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝐾)
76		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
77	75, 76	neeqtrd 3033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
78	77	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
79	78	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ¬ 𝑀 = 𝑁)
80		nnnn0 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
81		nn0uz 12900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
82	80, 81	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
83	82	ad4antlr 745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
84		simprr 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
85	84	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...𝑁))
86		fzm1 13635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁)))
87	86	biimpa 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
88	83, 85, 87	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁))
89		orel2 903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))
90	79, 88, 89	sylc 66	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
91		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
92	90, 91	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))
93		lermy 43608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
94	1, 17, 40, 93	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
95	94	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝑀 ≤ (𝑁 − 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
96	92, 95	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)))
97		simplrl 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ (0...𝑁))
98		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
99	97, 98	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑁)
100		lermy 43608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
101	1, 4, 38, 100	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
102	99, 101	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
103	102	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))
104		le2add 11696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
105	35, 32, 43, 46, 104	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
106	105	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → (((𝐴 Yrm 𝑀) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁))))
107	96, 103, 106	mp2and 711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝑀) + (𝐴 Yrm 𝐾)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
108	72, 107	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) ∧ 𝐾 = 𝑁) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
109	37	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ0)
110	109, 81	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
111		fzm1 13635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
112	111	biimpa 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
113	110, 97, 112	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ∨ 𝐾 = 𝑁))
114	68, 108, 113	mpjaodan 973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)))
115		jm2.24 43616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
116	1, 38, 115	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) + (𝐴 Yrm 𝑁)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
117	36, 47, 51, 114, 116	lelttrd 11368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) < (𝐴 Xrm 𝑁))
118	28, 117	eqbrtrd 5137	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
119		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ 𝑀)
120		rmyeq 43607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm 𝑀)))
121	120	necon3bid 3008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
122	1, 4, 17, 121	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀)))
123	119, 122	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
124	7	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ)
125		0red 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ∈ ℝ)
126		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = -𝑀)
127	22	ad2antll 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 0 ≤ 𝑀)
128	20	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	128	le0neg2d 11786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (0 ≤ 𝑀 ↔ -𝑀 ≤ 0))
130	127, 129	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → -𝑀 ≤ 0)
131	130	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → -𝑀 ≤ 0)
132	126, 131	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 ≤ 0)
133	10	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 0 ≤ 𝐾)
134		letri3 11295	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐾 = 0 ↔ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)))
135	134	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) ∧ (𝐾 ≤ 0 ∧ 0 ≤ 𝐾)) → 𝐾 = 0)
136	124, 125, 132, 133, 135	syl22anc 851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 0)
137		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 0)
138		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = -𝑀)
139	138, 137	eqtr3d 2806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → -𝑀 = 0)
140	128	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → 𝑀 ∈ ℂ)
141	140	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
142	141	negeq0d 11561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → (𝑀 = 0 ↔ -𝑀 = 0))
143	139, 142	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝑀 = 0)
144	137, 143	eqtr4d 2807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) ∧ 𝐾 = 0) → 𝐾 = 𝑀)
145	136, 144	mpdan 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 = -𝑀) → 𝐾 = 𝑀)
146	145	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 = -𝑀 → 𝐾 = 𝑀))
147	146	necon3d 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 ≠ -𝑀))
148	147	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ≠ -𝑀)
149	58, 15	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
150	149	znegcld 12702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → -𝑀 ∈ ℤ)
151		rmyeq 43607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 = -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) = (𝐴 Yrm -𝑀)))
152	151	necon3bid 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
153	1, 4, 150, 152	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ≠ -𝑀 ↔ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀)))
154	148, 153	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm -𝑀))
155		rmyneg 43581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
156	1, 17, 155	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
157	154, 156	neeqtrd 3033	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
158	118, 123, 157	3jca 1144	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)))
159	158	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
160		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
161	3	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 ∈ ℤ)
162	160, 161, 30	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
163	162	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℂ)
164	16	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℤ)
165	160, 164, 33	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
166	165	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
167	163, 166	negsubd 11575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
168	167	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
169	166	negcld 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ)
170	163, 169	addcld 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
171	170	abscld 15490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
172	163	abscld 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) ∈ ℝ)
173	166	abscld 15490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
174	172, 173	readdcld 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
175		nnz 12612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
176	175	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
177	176	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝑁 ∈ ℤ)
178	49	nn0zd 12616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
179	160, 177, 178	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
180	179	zred 12700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
181	163, 169	abstrid 15510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
182		absneg 15328	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
183	182	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℂ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
184	166, 183	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀)))
185	184	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) = ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘-(𝐴 Yrm 𝑀))))
186	181, 185	breqtrrd 5143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
187		simpr1 1211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
188	171, 174, 180, 186, 187	lelttrd 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
189	168, 188	eqbrtrrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
190	162, 165	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
191	190	zcnd 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
192	191	abscld 15490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
193	192, 180	ltnled 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
194	189, 193	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀))))
195		simpr2 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀))
196	163, 166, 195	subne0d 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
197		dvdsleabs 16369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
198	179, 190, 196, 197	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))))
199	194, 198	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)))
200	163, 166	subnegd 11576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) = ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)))
201	200	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) = (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))))
202	163, 166	addcld 11228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
203	202	abscld 15490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
204	163, 166	abstrid 15510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))))
205	203, 174, 180, 204, 187	lelttrd 11368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) + (𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
206	201, 205	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁))
207	165	znegcld 12702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → -(𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
208	162, 207	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ)
209	208	zcnd 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℂ)
210	209	abscld 15490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∈ ℝ)
211	210, 180	ltnled 11357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
212	206, 211	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
213		simpr3 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))
214	163, 169, 213	subne0d 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0)
215		dvdsleabs 16369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
216	179, 208, 214, 215	syl3anc 1396	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ≤ (abs‘((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
217	212, 216	mtod 201	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))
218	199, 217	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → (¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
219		pm4.56 1004	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∧ ¬ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
220	218, 219	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) ∧ (((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
221	220	ex 417	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → ((((abs‘(𝐴 Yrm 𝐾)) + (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀))) < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ (𝐴 Yrm 𝑀) ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ≠ -(𝐴 Yrm 𝑀)) → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
222	159, 221	syld 48	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
223	222	necon4ad 2983	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → 𝐾 = 𝑀))
224	223	3impia 1133	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 = 𝑀)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕcn 12233  2c2 12295  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  abscabs 15285   ∥ cdvds 16310   X_rm crmx 43553   Y_rm crmy 43554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16121  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-numer 16794  df-denom 16795  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-squarenn 43494  df-pell1qr 43495  df-pell14qr 43496  df-pell1234qr 43497  df-pellfund 43498  df-rmx 43555  df-rmy 43556

This theorem is referenced by:  jm2.26  43655