Theorem frminOLD 9500

Description: Obsolete proof of frmin 9499 as of 27-Nov-2024. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
frminOLD	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem frminOLD

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frss 5556	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Fr 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐵))
2		sess2 5558	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
3	1, 2	anim12d 609	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵)))
4		n0 4286	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
5		predeq3 6204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
6	5	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅))
7	6	rspcev 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
8	7	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
10		setlikespec 6226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V)
11		trpredpred 9467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
12		ssn0 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)
13	12	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
15		trpredss 9468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	jctild 526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
17	10, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
19		trpredex 9477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V
20		sseq1 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ⊆ 𝐵 ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵))
21		neeq1 3008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ≠ ∅ ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
22	20, 21	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) ↔ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
23		predeq2 6203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
24	23	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
25	24	rexeqbi1dv 3340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
26	22, 25	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) ↔ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅)))
27	26	imbi2d 341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅)) ↔ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))))
28		dffr4 6220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑐((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
29		sp 2180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑐((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
30	28, 29	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
31	19, 27, 30	vtocl 3497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
32	10, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
34		trpredtr 9469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)))
35	34	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
36		sspred 6209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
38	37	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
39	38	biimprd 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
40	39	reximdva 3205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
41		ssrexv 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
42	32, 40, 41	sylsyld 61	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
43	31, 42	sylan9r 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
44	18, 43	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
45	44	an31s 651	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
46	9, 45	pm2.61dne 3033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
47	46	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
48	47	exlimdv 1940	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
49	4, 48	syl5bi 241	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
50	3, 49	syl6com 37	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)))
51	50	imp32 419	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262   Fr wfr 5541   Se wse 5542  Predcpred 6199  TrPredctrpred 9456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9369

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-ov 7272  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-trpred 9457

This theorem is referenced by: (None)