MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frnnn0fsuppg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frnnn0fsuppg 12028
Description: Version of frnnn0fsupp 12026 avoiding ax-rep 5151 by assuming 𝐹 is a set rather than its domain 𝐼. (Contributed by SN, 5-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
frnnn0fsuppg ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsuppg
StepHypRef Expression
1 ffun 6501 . . 3 (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → Fun 𝐹)
2 simpl 486 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → 𝐹𝑉)
3 c0ex 10706 . . . 4 0 ∈ V
4 funisfsupp 8904 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐹𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
53, 4mp3an3 1451 . . 3 ((Fun 𝐹𝐹𝑉) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
61, 2, 5syl2an2 686 . 2 ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 supp 0) ∈ Fin))
7 frnnn0suppg 12027 . . 3 ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 supp 0) = (𝐹 “ ℕ))
87eleq1d 2817 . 2 ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 supp 0) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
96, 8bitrd 282 1 ((𝐹𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wcel 2113  Vcvv 3397   class class class wbr 5027  ccnv 5518  cima 5522  Fun wfun 6327  wf 6329  (class class class)co 7164   supp csupp 7849  Fincfn 8548   finSupp cfsupp 8899  0cc0 10608  cn 11709  0cn0 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fsupp 8900  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-nn 11710  df-n0 11970
This theorem is referenced by:  psrbagfsupp  20726
  Copyright terms: Public domain W3C validator