Theorem fvmptnn04ifc 22787

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the third case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1138	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉)
7		nnne0 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ 0)
8	7	neneqd 2934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → ¬ 𝑆 = 0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = 0)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 = 0)
11		eqeq1 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑆 → (𝑁 = 0 ↔ 𝑆 = 0))
12	11	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑆 → (¬ 𝑁 = 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (¬ 𝑁 = 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0))
14	10, 13	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑁 = 0)
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 0)
16	15	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
18	4	nn0red 12454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	2	nnred 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
20	18, 19	lttri3d 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
21	20	simprbda 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
22	21	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
23	22	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
24	23	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
25	24	3imp 1110	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
26		eqidd 2734	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
27	20	simplbda 499	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
28	27	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
29	28	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
30	29	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
31	1, 3, 5, 6, 17, 25, 26, 30	fvmptnn04if 22784	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⦋csb 3846  ifcif 4476   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  0cc0 11017   < clt 11157  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393

This theorem is referenced by: (None)