Theorem fvmptnn04ifc 22798

Description: The function value of a mapping from the nonnegative integers with four distinct cases for the third case. (Contributed by AV, 10-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptnn04if.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
fvmptnn04if.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
fvmptnn04if.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fvmptnn04ifc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑁   𝑆,𝑛   𝐴,𝑛   𝑛,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fvmptnn04ifc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptnn04if.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, 𝐴, if(𝑛 = 𝑆, 𝐶, if(𝑆 < 𝑛, 𝐷, 𝐵))))
2		fvmptnn04if.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℕ)
3	2	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ ℕ)
4		fvmptnn04if.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		simp3 1135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉)
7		nnne0 12279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ≠ 0)
8	7	neneqd 2934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → ¬ 𝑆 = 0)
9	2, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑆 = 0)
10	9	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 = 0)
11		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑆 → (𝑁 = 0 ↔ 𝑆 = 0))
12	11	notbid 317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 𝑆 → (¬ 𝑁 = 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0))
13	12	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (¬ 𝑁 = 0 ↔ ¬ 𝑆 = 0))
14	10, 13	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑁 = 0)
15	14	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑁 = 0)
16	15	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑁 = 0 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴))
17	16	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 0) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐴)
18	4	nn0red 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
19	2	nnred 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
20	18, 19	lttri3d 11386	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑆 ↔ (¬ 𝑁 < 𝑆 ∧ ¬ 𝑆 < 𝑁)))
21	20	simprbda 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑁 < 𝑆)
22	21	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
23	22	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵))
24	23	a1d 25	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (0 < 𝑁 → (𝑁 < 𝑆 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)))
25	24	3imp 1108	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 0 < 𝑁 ∧ 𝑁 < 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐵)
26		eqidd 2726	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 = 𝑆) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)
27	20	simplbda 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
28	27	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝑆 < 𝑁)
29	28	pm2.21d 121	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑆 < 𝑁 → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷))
30	29	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑆 < 𝑁) → ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐷)
31	1, 3, 5, 6, 17, 25, 26, 30	fvmptnn04if 22795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑆 ∧ ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑁) = ⦋𝑁 / 𝑛⦌𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⦋csb 3889  ifcif 4530   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  0cc0 11140   < clt 11280  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506

This theorem is referenced by: (None)