Theorem nn0red 11944

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 11889	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3913	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℝcr 10525  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  nn0cnd  11945  nn0readdcl  11949  eluzmn  12238  flmulnn0  13192  quoremz  13218  quoremnn0ALT  13220  modaddmodup  13297  modaddmodlo  13298  expneg  13433  expnbnd  13589  facdiv  13643  faclbnd6  13655  hashdom  13736  hashun2  13740  hashunx  13743  hashfun  13794  hashf1  13811  seqcoll2  13819  hashge2el2dif  13834  hashtpg  13839  wrdlenge2n0  13895  ccatsymb  13927  ccatrn  13934  ccatalpha  13938  ccat2s1fvw  13989  ccat2s1fvwOLD  13990  swrdnd  14007  swrdnd0  14010  pfxnd0  14041  pfxsuffeqwrdeq  14051  swrdccat3blem  14092  cshwidxmod  14156  repswcshw  14165  swrds2  14293  modfsummods  15140  climcnds  15198  geomulcvg  15224  mertenslem1  15232  binomfallfaclem2  15386  binomrisefac  15388  fallfacval4  15389  efcllem  15423  eftlub  15454  ruclem10  15584  oddge22np1  15690  nn0oddm1d2  15726  divalglem5  15738  bitsfzolem  15773  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  sadcaddlem  15796  sadaddlem  15805  sadasslem  15809  sadeq  15811  smuval2  15821  smupvallem  15822  smueqlem  15829  bezoutlem3  15879  bezoutlem4  15880  gcdzeq  15892  dvdssqlem  15900  nn0seqcvgd  15904  eucalglt  15919  lcmneg  15937  mulgcddvds  15989  qredeu  15992  prmdiveq  16113  odzdvds  16122  pythagtriplem3  16145  pythagtriplem6  16148  pythagtriplem7  16149  iserodd  16162  pclem  16165  pcpremul  16170  pcidlem  16198  pcgcd1  16203  pc2dvds  16205  pcz  16207  pcprmpw2  16208  fldivp1  16223  pcfaclem  16224  pcfac  16225  pcbc  16226  prmreclem2  16243  prmreclem3  16244  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  4sqlem11  16281  4sqlem12  16282  4sqlem14  16284  vdwlem11  16317  vdwlem12  16318  ramlb  16345  0ram  16346  ram0  16348  ramub1lem2  16353  ramcl  16355  psgnunilem2  18615  odmodnn0  18660  mndodconglem  18661  mndodcong  18662  oddvds  18667  odhash3  18693  gexdvds  18701  sylow1lem1  18715  sylow1lem5  18719  pgpfi  18722  pgpssslw  18731  efgsfo  18857  efgredlemd  18862  efgredlem  18865  efgred  18866  lt6abl  19008  telgsums  19106  pgpfaclem2  19197  srgbinomlem3  19285  zringlpirlem3  20179  psrbaglesupp  20606  mplmonmul  20704  coe1tmmul2  20905  coe1tmmul2fv  20907  coe1pwmulfv  20909  gsummoncoe1  20933  fvmptnn04if  21454  fvmptnn04ifc  21457  fvmptnn04ifd  21458  chfacfscmulgsum  21465  chfacfpmmulgsum  21469  lebnumii  23571  dyadmaxlem  24201  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  mdegmullem  24679  coe1mul3  24700  coe1mul4  24701  deg1sublt  24711  deg1mul2  24715  deg1tmle  24718  deg1tm  24719  ply1divmo  24736  ply1divex  24737  deg1submon1p  24753  dvdsq1p  24761  fta1glem2  24767  fta1blem  24769  plyco0  24789  plyeq0lem  24807  plypf1  24809  plyaddlem1  24810  coeeulem  24821  dgrub  24831  dgrlb  24833  dgreq  24841  coeaddlem  24846  coemullem  24847  coemulhi  24851  dgrlt  24863  dgradd2  24865  dgrmul  24867  dgrcolem2  24871  dgrco  24872  plydivlem3  24891  plydivlem4  24892  plydivex  24893  plydiveu  24894  fta1lem  24903  quotcan  24905  vieta1lem2  24907  radcnvlem1  25008  dvradcnv  25016  leibpi  25528  log2tlbnd  25531  birthdaylem2  25538  birthdaylem3  25539  fsumharmonic  25597  dmlogdmgm  25609  basellem3  25668  basellem5  25670  issqf  25721  ppip1le  25746  ppiltx  25762  mumullem2  25765  sgmppw  25781  ppiub  25788  chtublem  25795  chpub  25804  dchrabs  25844  bcmono  25861  bcmax  25862  bcp1ctr  25863  bclbnd  25864  bposlem5  25872  gausslemma2dlem0h  25947  gausslemma2dlem4  25953  gausslemma2dlem6  25956  lgseisenlem1  25959  2lgsoddprmlem2  25993  2sqlem7  26008  2sqlem8  26010  2sq2  26017  2sqmod  26020  chebbnd1lem1  26053  chtppilimlem1  26057  dchrisum0re  26097  mulogsumlem  26115  selberg2lem  26134  pntrlog2bndlem4  26164  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pnt  26198  ostth2lem3  26219  vtxdgfival  27259  vtxdfiun  27272  vtxdginducedm1fi  27334  crctcsh  27610  wwlksnred  27678  wwlksnextproplem2  27696  rusgrnumwwlks  27760  eupth2lems  28023  eucrct2eupth  28030  numclwlk1lem1  28154  numclwwlk5  28173  numclwwlk6  28175  friendshipgt3  28183  nnmulge  30500  nndiffz1  30535  prmdvdsbc  30558  pfxlsw2ccat  30652  wrdt2ind  30653  cycpmrn  30835  cyc3conja  30849  nexple  31378  oddpwdc  31722  eulerpartlems  31728  eulerpartlemgc  31730  eulerpartlemb  31736  coinfliplem  31846  signsplypnf  31930  signslema  31942  signstfvc  31954  signstfveq0  31957  fsum2dsub  31988  reprlt  32000  reprgt  32002  reprinfz1  32003  breprexplemc  32013  lpadmax  32063  lpadright  32065  usgrgt2cycl  32490  acycgr1v  32509  erdszelem8  32558  erdsze2lem2  32564  cvmliftlem7  32651  snmlff  32689  bcprod  33083  poimirlem3  35060  poimirlem4  35061  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem10  35067  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem13  35070  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem21  35078  poimirlem22  35079  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem25  35082  poimirlem26  35083  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  rrnequiv  35273  lcmineqlem17  39333  lcmineqlem21  39337  2np3bcnp1  39348  2ap1caineq  39349  frlmvscadiccat  39440  fltnltalem  39618  eldioph2lem1  39701  pell1qrge1  39811  rmxypos  39888  ltrmynn0  39889  ltrmxnn0  39890  lermxnn0  39891  jm2.24nn  39900  jm2.24  39904  jm2.19  39934  jm2.26lem3  39942  jm2.27c  39948  hbt  40074  dgraa0p  40093  binomcxplemnn0  41053  fsumnncl  42213  mccllem  42239  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  dvnprodlem2  42589  stoweidlem17  42659  stoweidlem24  42666  wallispilem5  42711  stirlinglem15  42730  fourierdlem48  42796  fourierdlem83  42831  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  sqwvfoura  42870  elaa2lem  42875  etransclem10  42886  etransclem19  42895  etransclem20  42896  etransclem21  42897  etransclem22  42898  etransclem23  42899  etransclem24  42900  etransclem27  42903  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransclem44  42920  etransclem45  42921  etransclem46  42922  etransclem47  42923  etransclem48  42924  etransc  42925  rrndistlt  42932  fmtnoge3  44047  sqrtpwpw2p  44055  fmtnosqrt  44056  flsqrt  44110  lighneallem4a  44126  ssnn0ssfz  44751  pgrple2abl  44767  nn0eo  44942  fllog2  44982  itcovalt2lem2lem1  45087  aacllem  45329