Theorem nn0red 11959

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0red	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0red

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 11904	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3	1, 2	sseldi 3968	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ℝcr 10539  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-nn 11642  df-n0 11901

This theorem is referenced by:  nn0cnd  11960  nn0readdcl  11964  eluzmn  12253  flmulnn0  13200  quoremz  13226  quoremnn0ALT  13228  modaddmodup  13305  modaddmodlo  13306  expneg  13440  expnbnd  13596  facdiv  13650  faclbnd6  13662  hashdom  13743  hashun2  13747  hashunx  13750  hashfun  13801  hashf1  13818  seqcoll2  13826  hashge2el2dif  13841  hashtpg  13846  wrdlenge2n0  13907  ccatsymb  13939  ccatrn  13946  ccatalpha  13950  ccat2s1fvw  14001  ccat2s1fvwOLD  14002  swrdnd  14019  swrdnd0  14022  pfxnd0  14053  pfxsuffeqwrdeq  14063  swrdccat3blem  14104  cshwidxmod  14168  repswcshw  14177  swrds2  14305  modfsummods  15151  climcnds  15209  geomulcvg  15235  mertenslem1  15243  binomfallfaclem2  15397  binomrisefac  15399  fallfacval4  15400  efcllem  15434  eftlub  15465  ruclem10  15595  oddge22np1  15701  nn0oddm1d2  15739  divalglem5  15751  bitsfzolem  15786  bitsfzo  15787  bitsmod  15788  sadcaddlem  15809  sadaddlem  15818  sadasslem  15822  sadeq  15824  smuval2  15834  smupvallem  15835  smueqlem  15842  bezoutlem3  15892  bezoutlem4  15893  gcdzeq  15905  dvdssqlem  15913  nn0seqcvgd  15917  eucalglt  15932  lcmneg  15950  mulgcddvds  16002  qredeu  16005  prmdiveq  16126  odzdvds  16135  pythagtriplem3  16158  pythagtriplem6  16161  pythagtriplem7  16162  iserodd  16175  pclem  16178  pcpremul  16183  pcidlem  16211  pcgcd1  16216  pc2dvds  16218  pcz  16220  pcprmpw2  16221  fldivp1  16236  pcfaclem  16237  pcfac  16238  pcbc  16239  prmreclem2  16256  prmreclem3  16257  prmreclem4  16258  prmreclem5  16259  4sqlem11  16294  4sqlem12  16295  4sqlem14  16297  vdwlem11  16330  vdwlem12  16331  ramlb  16358  0ram  16359  ram0  16361  ramub1lem2  16366  ramcl  16368  psgnunilem2  18626  odmodnn0  18671  mndodconglem  18672  mndodcong  18673  oddvds  18678  odhash3  18704  gexdvds  18712  sylow1lem1  18726  sylow1lem5  18730  pgpfi  18733  pgpssslw  18742  efgsfo  18868  efgredlemd  18873  efgredlem  18876  efgred  18877  lt6abl  19018  telgsums  19116  pgpfaclem2  19207  srgbinomlem3  19295  psrbaglesupp  20151  mplmonmul  20248  coe1tmmul2  20447  coe1tmmul2fv  20449  coe1pwmulfv  20451  gsummoncoe1  20475  zringlpirlem3  20636  fvmptnn04if  21460  fvmptnn04ifc  21463  fvmptnn04ifd  21464  chfacfscmulgsum  21471  chfacfpmmulgsum  21475  lebnumii  23573  dyadmaxlem  24201  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  mdegmullem  24675  coe1mul3  24696  coe1mul4  24697  deg1sublt  24707  deg1mul2  24711  deg1tmle  24714  deg1tm  24715  ply1divmo  24732  ply1divex  24733  deg1submon1p  24749  dvdsq1p  24757  fta1glem2  24763  fta1blem  24765  plyco0  24785  plyeq0lem  24803  plypf1  24805  plyaddlem1  24806  coeeulem  24817  dgrub  24827  dgrlb  24829  dgreq  24837  coeaddlem  24842  coemullem  24843  coemulhi  24847  dgrlt  24859  dgradd2  24861  dgrmul  24863  dgrcolem2  24867  dgrco  24868  plydivlem3  24887  plydivlem4  24888  plydivex  24889  plydiveu  24890  fta1lem  24899  quotcan  24901  vieta1lem2  24903  radcnvlem1  25004  dvradcnv  25012  leibpi  25523  log2tlbnd  25526  birthdaylem2  25533  birthdaylem3  25534  fsumharmonic  25592  dmlogdmgm  25604  basellem3  25663  basellem5  25665  issqf  25716  ppip1le  25741  ppiltx  25757  mumullem2  25760  sgmppw  25776  ppiub  25783  chtublem  25790  chpub  25799  dchrabs  25839  bcmono  25856  bcmax  25857  bcp1ctr  25858  bclbnd  25859  bposlem5  25867  gausslemma2dlem0h  25942  gausslemma2dlem4  25948  gausslemma2dlem6  25951  lgseisenlem1  25954  2lgsoddprmlem2  25988  2sqlem7  26003  2sqlem8  26005  2sq2  26012  2sqmod  26015  chebbnd1lem1  26048  chtppilimlem1  26052  dchrisum0re  26092  mulogsumlem  26110  selberg2lem  26129  pntrlog2bndlem4  26159  pntlemr  26181  pntlemj  26182  pnt  26193  ostth2lem3  26214  vtxdgfival  27254  vtxdfiun  27267  vtxdginducedm1fi  27329  crctcsh  27605  wwlksnred  27673  wwlksnextproplem2  27692  rusgrnumwwlks  27756  eupth2lems  28020  eucrct2eupth  28027  numclwlk1lem1  28151  numclwwlk5  28170  numclwwlk6  28172  friendshipgt3  28180  nnmulge  30477  nndiffz1  30512  prmdvdsbc  30535  pfxlsw2ccat  30630  wrdt2ind  30631  cycpmrn  30789  cyc3conja  30803  nexple  31272  oddpwdc  31616  eulerpartlems  31622  eulerpartlemgc  31624  eulerpartlemb  31630  coinfliplem  31740  signsplypnf  31824  signslema  31836  signstfvc  31848  signstfveq0  31851  fsum2dsub  31882  reprlt  31894  reprgt  31896  reprinfz1  31897  breprexplemc  31907  lpadmax  31957  lpadright  31959  usgrgt2cycl  32381  acycgr1v  32400  erdszelem8  32449  erdsze2lem2  32455  cvmliftlem7  32542  snmlff  32580  bcprod  32974  poimirlem3  34899  poimirlem4  34900  poimirlem6  34902  poimirlem7  34903  poimirlem10  34906  poimirlem11  34907  poimirlem12  34908  poimirlem13  34909  poimirlem15  34911  poimirlem16  34912  poimirlem17  34913  poimirlem19  34915  poimirlem20  34916  poimirlem21  34917  poimirlem22  34918  poimirlem23  34919  poimirlem24  34920  poimirlem25  34921  poimirlem26  34922  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  rrnequiv  35117  frlmvscadiccat  39151  fltnltalem  39280  eldioph2lem1  39363  pell1qrge1  39473  rmxypos  39550  ltrmynn0  39551  ltrmxnn0  39552  lermxnn0  39553  jm2.24nn  39562  jm2.24  39566  jm2.19  39596  jm2.26lem3  39604  jm2.27c  39610  hbt  39736  dgraa0p  39755  binomcxplemnn0  40687  fsumnncl  41858  mccllem  41884  ioodvbdlimc1lem2  42223  ioodvbdlimc2lem  42225  dvnxpaek  42233  dvnmul  42234  dvnprodlem2  42238  stoweidlem17  42309  stoweidlem24  42316  wallispilem5  42361  stirlinglem15  42380  fourierdlem48  42446  fourierdlem83  42481  fourierdlem103  42501  fourierdlem104  42502  sqwvfoura  42520  elaa2lem  42525  etransclem10  42536  etransclem19  42545  etransclem20  42546  etransclem21  42547  etransclem22  42548  etransclem23  42549  etransclem24  42550  etransclem27  42553  etransclem32  42558  etransclem35  42561  etransclem44  42570  etransclem45  42571  etransclem46  42572  etransclem47  42573  etransclem48  42574  etransc  42575  rrndistlt  42582  fmtnoge3  43699  sqrtpwpw2p  43707  fmtnosqrt  43708  flsqrt  43763  lighneallem4a  43780  ssnn0ssfz  44404  pgrple2abl  44420  nn0eo  44595  fllog2  44635  aacllem  44909