Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzadd2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzadd2d 39720
Description: Membership of a sum in a finite interval of integers, a deduction version. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fzadd2d.1 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fzadd2d.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fzadd2d.3 (𝜑𝑂 ∈ ℤ)
fzadd2d.4 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
fzadd2d.5 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
fzadd2d.6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
fzadd2d.7 (𝜑𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
fzadd2d.8 (𝜑𝑅 = (𝑁 + 𝑃))
Assertion
Ref Expression
fzadd2d (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Proof of Theorem fzadd2d
StepHypRef Expression
1 fzadd2d.5 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
2 fzadd2d.6 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
31, 2jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)))
4 fzadd2d.1 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 fzadd2d.2 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
64, 5jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7 fzadd2d.3 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℤ)
8 fzadd2d.4 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
97, 8jca 515 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
106, 9jca 515 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)))
11 fzadd2 13147 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
133, 12mpd 15 . 2 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
14 fzadd2d.7 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
15 fzadd2d.8 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑁 + 𝑃))
1614, 15oveq12d 7231 . 2 (𝜑 → (𝑄...𝑅) = ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
1713, 16eleqtrrd 2841 1 (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  (class class class)co 7213   + caddc 10732  cz 12176  ...cfz 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-fz 13096
This theorem is referenced by:  lcmineqlem4  39774  metakunt15  39861  metakunt16  39862
  Copyright terms: Public domain W3C validator