Theorem fzadd2d 41480

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers, a deduction version. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
fzadd2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
fzadd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
fzadd2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
fzadd2d.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
fzadd2d.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
fzadd2d	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Proof of Theorem fzadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzadd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
2		fzadd2d.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
3	1, 2	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)))
4		fzadd2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzadd2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		fzadd2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
8		fzadd2d.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
10	6, 9	jca 510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)))
11		fzadd2 13576	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
13	3, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
14		fzadd2d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
15		fzadd2d.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))
16	14, 15	oveq12d 7444	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄...𝑅) = ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
17	13, 16	eleqtrrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426   + caddc 11149  ℤcz 12596  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  lcmineqlem4  41535  metakunt15  41703  metakunt16  41704