Theorem fzadd2d 41358

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers, a deduction version. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
fzadd2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
fzadd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
fzadd2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
fzadd2d.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
fzadd2d.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
fzadd2d	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Proof of Theorem fzadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzadd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
2		fzadd2d.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
3	1, 2	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)))
4		fzadd2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzadd2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		fzadd2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
8		fzadd2d.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
10	6, 9	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)))
11		fzadd2 13539	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
13	3, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
14		fzadd2d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
15		fzadd2d.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))
16	14, 15	oveq12d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄...𝑅) = ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
17	13, 16	eleqtrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7404   + caddc 11112  ℤcz 12559  ...cfz 13487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-fz 13488

This theorem is referenced by:  lcmineqlem4  41412  metakunt15  41542  metakunt16  41543