Theorem fzadd2d 39530

Description: Membership of a sum in a finite interval of integers, a deduction version. (Contributed by metakunt, 10-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fzadd2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fzadd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
fzadd2d.3	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
fzadd2d.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
fzadd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
fzadd2d.6	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
fzadd2d.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
fzadd2d.8	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
fzadd2d	⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Proof of Theorem fzadd2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzadd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁))
2		fzadd2d.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃))
3	1, 2	jca 516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)))
4		fzadd2d.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5		fzadd2d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	4, 5	jca 516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
7		fzadd2d.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ ℤ)
8		fzadd2d.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
9	7, 8	jca 516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
10	6, 9	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)))
11		fzadd2 12976	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝐾 ∈ (𝑂...𝑃)) → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃))))
13	3, 12	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
14		fzadd2d.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑀 + 𝑂))
15		fzadd2d.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑁 + 𝑃))
16	14, 15	oveq12d 7161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄...𝑅) = ((𝑀 + 𝑂)...(𝑁 + 𝑃)))
17	13, 16	eleqtrrd 2854	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 + 𝐾) ∈ (𝑄...𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  (class class class)co 7143   + caddc 10563  ℤcz 12005  ...cfz 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-n0 11920  df-z 12006  df-fz 12925

This theorem is referenced by:  lcmineqlem4  39584  metakunt15  39646  metakunt16  39647