Theorem uzindd 40027

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the following two are the basis and the induction step, a deduction version. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindd.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindd.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindd.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
uzindd.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
uzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
uzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
uzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
uzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzindd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁   𝜒,𝑗   𝜂,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘   𝜏,𝑗   𝜃,𝑗   𝜓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝜂(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzindd.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		uzindd.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		uzindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
7		uzindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
9		uzindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
11		uzindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
13		uzindd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
14	13	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜒)
15	14	expcom 415	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝜒))
16		3anass 1095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
17		ancom 462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	16, 17	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
19		uzindd.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
20	19	ad4ant123 1172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜏)
21	20	anasss 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝜏)
22	18, 21	sylan2b 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
23	22	3impa 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
24	23	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝜃) → 𝜏)
25	24	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → (𝜃 → 𝜏))
26	25	expcom 415	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
27	26	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
28	6, 8, 10, 12, 15, 27	uzind 12458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜂))
29	4, 28	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  1c1 10918   + caddc 10920   ≤ cle 11056  ℤcz 12365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40143