Theorem uzindd 42807

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the following two are the basis and the induction step, a deduction version. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindd.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindd.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindd.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
uzindd.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
uzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
uzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
uzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
uzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzindd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁   𝜒,𝑗   𝜂,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘   𝜏,𝑗   𝜃,𝑗   𝜓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝜂(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzindd.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		uzindd.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		uzindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
7		uzindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
9		uzindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
11		uzindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
13		uzindd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜒)
15	14	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝜒))
16		3anass 1111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
17		ancom 466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	16, 17	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
19		uzindd.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
20	19	ad4ant123 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜏)
21	20	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝜏)
22	18, 21	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
23	22	3impa 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
24	23	3com23 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝜃) → 𝜏)
25	24	3expia 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → (𝜃 → 𝜏))
26	25	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
27	26	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
28	6, 8, 10, 12, 15, 27	uzind 12708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜂))
29	4, 28	mpcom 39	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  1c1 11120   + caddc 11122   ≤ cle 11263  ℤcz 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is used by:  2ap1caineq  42974