Theorem uzindd 40830

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the following two are the basis and the induction step, a deduction version. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindd.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindd.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindd.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
uzindd.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
uzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
uzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
uzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
uzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzindd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁   𝜒,𝑗   𝜂,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘   𝜏,𝑗   𝜃,𝑗   𝜓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝜂(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzindd.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		uzindd.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		uzindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
7		uzindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
9		uzindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
11		uzindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
13		uzindd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜒)
15	14	expcom 414	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝜒))
16		3anass 1095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
17		ancom 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	16, 17	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
19		uzindd.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
20	19	ad4ant123 1172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜏)
21	20	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝜏)
22	18, 21	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
23	22	3impa 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
24	23	3com23 1126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝜃) → 𝜏)
25	24	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → (𝜃 → 𝜏))
26	25	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
27	26	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
28	6, 8, 10, 12, 15, 27	uzind 12650	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜂))
29	4, 28	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  1c1 11107   + caddc 11109   ≤ cle 11245  ℤcz 12554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  40949