Theorem uzindd 41447

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the following two are the basis and the induction step, a deduction version. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindd.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindd.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindd.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
uzindd.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
uzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
uzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
uzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
uzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzindd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁   𝜒,𝑗   𝜂,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘   𝜏,𝑗   𝜃,𝑗   𝜓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝜂(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzindd.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		uzindd.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		uzindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
7		uzindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
9		uzindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
11		uzindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
13		uzindd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜒)
15	14	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝜒))
16		3anass 1093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
17		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	16, 17	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
19		uzindd.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
20	19	ad4ant123 1170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜏)
21	20	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝜏)
22	18, 21	sylan2b 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
23	22	3impa 1108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
24	23	3com23 1124	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝜃) → 𝜏)
25	24	3expia 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → (𝜃 → 𝜏))
26	25	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
27	26	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
28	6, 8, 10, 12, 15, 27	uzind 12685	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜂))
29	4, 28	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  1c1 11140   + caddc 11142   ≤ cle 11280  ℤcz 12589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  41617