Theorem uzindd 41959

Description: Induction on the upper integers that start at 𝑀. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the following two are the basis and the induction step, a deduction version. (Contributed by metakunt, 8-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzindd.1	⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
uzindd.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
uzindd.3	⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
uzindd.4	⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
uzindd.5	⊢ (𝜑 → 𝜒)
uzindd.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
uzindd.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
uzindd.8	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
uzindd.9	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
uzindd	⊢ (𝜑 → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁   𝜒,𝑗   𝜂,𝑗   𝜑,𝑗,𝑘   𝜏,𝑗   𝜃,𝑗   𝜓,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑗)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑘)   𝜏(𝑘)   𝜂(𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem uzindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzindd.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzindd.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		uzindd.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
4	1, 2, 3	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		uzindd.1	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝜓 ↔ 𝜒))
6	5	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜒)))
7		uzindd.2	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜓 ↔ 𝜃))
8	7	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜃)))
9		uzindd.3	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝜓 ↔ 𝜏))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜏)))
11		uzindd.4	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝜓 ↔ 𝜂))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → 𝜓) ↔ (𝜑 → 𝜂)))
13		uzindd.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜒)
15	14	expcom 413	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → 𝜒))
16		3anass 1094	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
17		ancom 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
18	16, 17	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ↔ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
19		uzindd.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
20	19	ad4ant123 1171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝜏)
21	20	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝜏)
22	18, 21	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝜃) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
23	22	3impa 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜃 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → 𝜏)
24	23	3com23 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) ∧ 𝜃) → 𝜏)
25	24	3expia 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)) → (𝜃 → 𝜏))
26	25	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (𝜑 → (𝜃 → 𝜏)))
27	26	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → ((𝜑 → 𝜃) → (𝜑 → 𝜏)))
28	6, 8, 10, 12, 15, 27	uzind 12708	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝜑 → 𝜂))
29	4, 28	mpcom 38	1 ⊢ (𝜑 → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156   ≤ cle 11294  ℤcz 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612

This theorem is referenced by:  2ap1caineq  42127