Theorem lgsqrlem1 27580

Description: Lemma for lgsqr 27585. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
2	1	fveq2i 6885	. . . 4 ⊢ (𝑂‘𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
3	2	fveq1i 6883	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴))
4		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
5		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9	8	eldifad 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
11	10	znfld 21774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
12	9, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
13		fldidom 20939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
15		isidom 20887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
16	15	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
18		crngring 20385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
21	20	zrhrhm 21725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21667	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 6	rhmf 20627	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
25	22, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	25, 26	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 22563	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐿‘𝐴)))
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32		oddprm 16906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 22571	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))))
36		zringmpg 21685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
38	36, 37	rhmmhm 20622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
39	22, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
40	36, 23	mgpbas 20279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
42	40, 41, 31	mhmmulg 19239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
44		zsubrg 21634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
46	45	subrgsubm 20748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47	44, 46	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
50	48, 49, 41	submmulg 19242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
52	26	zcnd 12729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53		cnfldexp 21619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
54	52, 34, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
55	51, 54	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
56	55	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58		prmnn 16768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
59	9, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
60		zexpcl 14142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
61	26, 34, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63		moddvds 16357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
65	57, 64	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
66	59	nnnn0d 12592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
67	10, 20	zndvds 21763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
69	65, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70		zring1 21673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
71		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
72	70, 71	rhm1 20636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
73	22, 72	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
74	56, 69, 73	3eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r‘𝑌))
75	43, 74	eqtr3d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))
76	75	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
77	76	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
78	35, 77	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
79		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
80	6, 71	ringidcl 20407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
81	19, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 22561	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 22519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
85	19, 84	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
86	85	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵))
87	85	fveq2d 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝑂‘ 1 ))
88	87	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)))
89	88	eqeq1d 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
90	86, 89	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
91	82, 90	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
92		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
93		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘𝑌)
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 22568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
95	94	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
96	3, 95	eqtrid 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
97		ringgrp 20378	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
98	19, 97	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
99		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
100	6, 99, 93	grpsubid 19148	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
101	98, 81, 100	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
102	96, 101	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899  {csn 4587   class class class wbr 5107  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  1c1 11128   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618   mod cmo 13932  ↑cexp 14127   ∥ cdvds 16346  ℙcprime 16765  Basecbs 17305   ↾_s cress 17326  0_gc0g 17528   MndHom cmhm 18890  SubMndcsubmnd 18891  Grpcgrp 19058  -_gcsg 19060  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611  SubRingcsubrg 20732  Domncdomn 20855  IDomncidom 20856  Fieldcfield 20892  ℂ_fldccnfld 21586  ℤ_ringczring 21660  ℤRHomczrh 21713  ℤ/nℤczn 21716  algSccascl 22068  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403  eval₁ce1 22540  deg₁cdg1 26281

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-nzr 20674  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-idom 20859  df-drng 20893  df-field 20894  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-zn 21720  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-evl1 22542

This theorem is used by:  lgsqrlem2  27581  lgsqrlem3  27582