Theorem lgsqrlem1 27290

Description: Lemma for lgsqr 27295. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
2	1	fveq2i 6831	. . . 4 ⊢ (𝑂‘𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
3	2	fveq1i 6829	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴))
4		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
5		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9	8	eldifad 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
11	10	znfld 21503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
13		fldidom 20692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
15		isidom 20646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
16	15	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
18		crngring 20169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
21	20	zrhrhm 21454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21396	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 6	rhmf 20408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	25, 26	ffvelcdmd 7024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 22258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐿‘𝐴)))
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32		oddprm 16728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 22266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))))
36		zringmpg 21414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
38	36, 37	rhmmhm 20403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
40	36, 23	mgpbas 20069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
42	40, 41, 31	mhmmulg 19034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
44		zsubrg 21363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
46	45	subrgsubm 20506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
50	48, 49, 41	submmulg 19037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
52	26	zcnd 12584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53		cnfldexp 21347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
54	52, 34, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
55	51, 54	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
56	55	fveq2d 6832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58		prmnn 16591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
59	9, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
60		zexpcl 13989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
61	26, 34, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63		moddvds 16180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
65	57, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
66	59	nnnn0d 12448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
67	10, 20	zndvds 21492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
69	65, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70		zring1 21402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
71		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
72	70, 71	rhm1 20412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
74	56, 69, 73	3eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r‘𝑌))
75	43, 74	eqtr3d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))
76	75	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
77	76	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
78	35, 77	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
79		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
80	6, 71	ringidcl 20189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
81	19, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 22256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 22213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
86	85	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵))
87	85	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝑂‘ 1 ))
88	87	fveq1d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)))
89	88	eqeq1d 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
90	86, 89	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
91	82, 90	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
92		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
93		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘𝑌)
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 22263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
95	94	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
96	3, 95	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
97		ringgrp 20162	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
98	19, 97	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
99		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
100	6, 99, 93	grpsubid 18943	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
101	98, 81, 100	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
102	96, 101	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  {csn 4575   class class class wbr 5093  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  1c1 11013   − cmin 11350   / cdiv 11780  ℕcn 12131  2c2 12186  ℕ₀cn0 12387  ℤcz 12474   mod cmo 13779  ↑cexp 13974   ∥ cdvds 16169  ℙcprime 16588  Basecbs 17126   ↾_s cress 17147  0_gc0g 17349   MndHom cmhm 18695  SubMndcsubmnd 18696  Grpcgrp 18852  -_gcsg 18854  ._gcmg 18986  mulGrpcmgp 20064  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158   RingHom crh 20393  SubRingcsubrg 20490  Domncdomn 20613  IDomncidom 20614  Fieldcfield 20651  ℂ_fldccnfld 21297  ℤ_ringczring 21389  ℤRHomczrh 21442  ℤ/nℤczn 21445  algSccascl 21795  var₁cv1 22094  Poly₁cpl1 22095  eval₁ce1 22235  deg₁cdg1 25992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-oadd 8395  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-xnn0 12461  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-mod 13780  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-gcd 16412  df-prm 16589  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-imas 17418  df-qus 17419  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-nsg 19043  df-eqg 19044  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-dvr 20325  df-rhm 20396  df-nzr 20434  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-rlreg 20615  df-domn 20616  df-idom 20617  df-drng 20652  df-field 20653  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-rsp 21152  df-2idl 21193  df-cnfld 21298  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zn 21449  df-assa 21796  df-asp 21797  df-ascl 21798  df-psr 21852  df-mvr 21853  df-mpl 21854  df-opsr 21856  df-evls 22015  df-evl 22016  df-psr1 22098  df-vr1 22099  df-ply1 22100  df-evl1 22237

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  27291  lgsqrlem3  27292