MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 26082
Description: Lemma for lgsqr 26087. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
21fveq2i 6677 . . . 4 (𝑂𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
32fveq1i 6675 . . 3 ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
6 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
98eldifad 3855 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1110znfld 20379 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ Field)
13 fldidom 20197 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
15 isidom 20196 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
1615simplbi 501 . . . . . 6 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
18 crngring 19428 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2120zrhrhm 20332 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23 zringbas 20295 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 6rhmf 19600 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2725, 26ffvelrnd 6862 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑌)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 21107 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘(𝐿𝐴)) = (𝐿𝐴)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 eqid 2738 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32 oddprm 16247 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3433nnnn0d 12036 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 21115 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))))
36 zringmpg 20312 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
3836, 37rhmmhm 19596 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
4036, 23mgpbas 19364 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41 eqid 2738 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
4240, 41, 31mhmmulg 18386 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
44 zsubrg 20270 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4645subrgsubm 19667 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
5048, 49, 41submmulg 18389 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5226zcnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
53 cnfldexp 20250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5655fveq2d 6678 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 16115 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
60 zexpcl 13536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
6126, 34, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62 1zzd 12094 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63 moddvds 15710 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6557, 64mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
6659nnnn0d 12036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6710, 20zndvds 20368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6965, 68mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70 zring1 20300 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℤring)
71 eqid 2738 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑌) = (1r𝑌)
7270, 71rhm1 19604 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7456, 69, 733eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r𝑌))
7543, 74eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))
7675eqeq2d 2749 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
7776anbi2d 632 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
7835, 77mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
79 eqid 2738 . . . . . . 7 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
806, 71ringidcl 19440 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 21105 . . . . . 6 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
845, 79, 71, 83ply1scl1 21067 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8685eleq1d 2817 . . . . . . 7 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵1𝐵))
8785fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝑂1 ))
8887fveq1d 6676 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)))
8988eqeq1d 2740 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
9086, 89anbi12d 634 . . . . . 6 (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)) ↔ ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
9182, 90mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
92 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
93 eqid 2738 . . . . 5 (-g𝑌) = (-g𝑌)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 21112 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌))))
9594simprd 499 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
963, 95syl5eq 2785 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
97 ringgrp 19421 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
99 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
1006, 99, 93grpsubid 18301 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10198, 81, 100syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10296, 101eqtrd 2773 1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cdif 3840  {csn 4516   class class class wbr 5030  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  1c1 10616  cmin 10948   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  0cn0 11976  cz 12062   mod cmo 13328  cexp 13521  cdvds 15699  cprime 16112  Basecbs 16586  s cress 16587  0gc0g 16816   MndHom cmhm 18070  SubMndcsubmnd 18071  Grpcgrp 18219  -gcsg 18221  .gcmg 18342  mulGrpcmgp 19358  1rcur 19370  Ringcrg 19416  CRingccrg 19417   RingHom crh 19586  Fieldcfield 19622  SubRingcsubrg 19650  Domncdomn 20172  IDomncidom 20173  fldccnfld 20217  ringzring 20289  ℤRHomczrh 20320  ℤ/nczn 20323  algSccascl 20668  var1cv1 20951  Poly1cpl1 20952  eval1ce1 21084   deg1 cdg1 24804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-srg 19375  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-rnghom 19589  df-drng 19623  df-field 19624  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-nzr 20150  df-rlreg 20175  df-domn 20176  df-idom 20177  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327  df-assa 20669  df-asp 20670  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-evls 20886  df-evl 20887  df-psr1 20955  df-vr1 20956  df-ply1 20957  df-evl1 21086
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  26083  lgsqrlem3  26084
  Copyright terms: Public domain W3C validator