MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 27297
Description: Lemma for lgsqr 27302. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
lgsqr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘Œ)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
lgsqr.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
lgsqr.x 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
lgsqr.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
lgsqr.u 1 = (1rβ€˜π‘†)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
lgsqr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgsqrlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsqrlem1.4 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
21fveq2i 6895 . . . 4 (π‘‚β€˜π‘‡) = (π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))
32fveq1i 6893 . . 3 ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
6 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
98eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1110znfld 21498 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
13 fldidom 21262 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
15 isidom 21258 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ IDomn ↔ (π‘Œ ∈ CRing ∧ π‘Œ ∈ Domn))
1615simplbi 496 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ IDomn β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
18 crngring 20189 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2120zrhrhm 21441 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
23 zringbas 21383 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2423, 6rhmf 20428 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2725, 26ffvelcdmd 7090 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 22265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (πΏβ€˜π΄)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
31 eqid 2725 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))
32 oddprm 16778 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
3433nnnn0d 12562 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 22273 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))))
36 zringmpg 21401 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
37 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhmmhm 20422 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
4036, 23mgpbas 20084 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
41 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
4240, 41, 31mhmmulg 19074 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
44 zsubrg 21357 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
4645subrgsubm 20528 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
48 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
5048, 49, 41submmulg 19077 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5226zcnd 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53 cnfldexp 21336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5655fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 16644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
60 zexpcl 14073 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
6126, 34, 60syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
62 1zzd 12623 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
63 moddvds 16241 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6557, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1))
6659nnnn0d 12562 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
6710, 20zndvds 21487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1))
70 zring1 21389 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rβ€˜β„€ring)
71 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
7270, 71rhm1 20432 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7456, 69, 733eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7543, 74eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7675eqeq2d 2736 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) ↔ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
7776anbi2d 628 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))) ↔ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
7835, 77mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
79 eqid 2725 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘†) = (algScβ€˜π‘†)
806, 71ringidcl 20206 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 22263 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
845, 79, 71, 83ply1scl1 22221 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8685eleq1d 2810 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ↔ 1 ∈ 𝐡))
8785fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ))) = (π‘‚β€˜ 1 ))
8887fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)))
8988eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
9086, 89anbi12d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)) ↔ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
9182, 90mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
92 lgsqr.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
93 eqid 2725 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Œ) = (-gβ€˜π‘Œ)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 22270 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ))))
9594simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
963, 95eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
97 ringgrp 20182 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
99 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
1006, 99, 93grpsubid 18984 . . 3 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10198, 81, 100syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10296, 101eqtrd 2765 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3936  {csn 4624   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  1c1 11139   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„•cn 12242  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588   mod cmo 13866  β†‘cexp 14058   βˆ₯ cdvds 16230  β„™cprime 16641  Basecbs 17179   β†Ύs cress 17208  0gc0g 17420   MndHom cmhm 18737  SubMndcsubmnd 18738  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  .gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412  SubRingcsubrg 20510  Fieldcfield 20629  Domncdomn 21231  IDomncidom 21232  β„‚fldccnfld 21283  β„€ringczring 21376  β„€RHomczrh 21429  β„€/nβ„€czn 21432  algSccascl 21790  var1cv1 22103  Poly1cpl1 22104  eval1ce1 22242   deg1 cdg1 26005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-prm 16642  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-nzr 20456  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-rlreg 21234  df-domn 21235  df-idom 21236  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22025  df-evl 22026  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-evl1 22244
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  27298  lgsqrlem3  27299
  Copyright terms: Public domain W3C validator