MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 26697
Description: Lemma for lgsqr 26702. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
lgsqr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘Œ)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
lgsqr.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
lgsqr.x 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
lgsqr.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
lgsqr.u 1 = (1rβ€˜π‘†)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
lgsqr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgsqrlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsqrlem1.4 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
21fveq2i 6846 . . . 4 (π‘‚β€˜π‘‡) = (π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))
32fveq1i 6844 . . 3 ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
6 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
98eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1110znfld 20970 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
13 fldidom 20778 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
15 isidom 20777 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ IDomn ↔ (π‘Œ ∈ CRing ∧ π‘Œ ∈ Domn))
1615simplbi 499 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ IDomn β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
18 crngring 19977 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2120zrhrhm 20915 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
23 zringbas 20878 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2423, 6rhmf 20159 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2725, 26ffvelcdmd 7037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 21706 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (πΏβ€˜π΄)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
31 eqid 2737 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))
32 oddprm 16683 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
3433nnnn0d 12474 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 21714 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))))
36 zringmpg 20895 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhmmhm 20154 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
4036, 23mgpbas 19903 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
41 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
4240, 41, 31mhmmulg 18918 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
44 zsubrg 20853 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
45 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
4645subrgsubm 20238 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
48 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
5048, 49, 41submmulg 18921 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5226zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53 cnfldexp 20833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5655fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
60 zexpcl 13983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
6126, 34, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
62 1zzd 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
63 moddvds 16148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6557, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1))
6659nnnn0d 12474 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
6710, 20zndvds 20959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1))
70 zring1 20883 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rβ€˜β„€ring)
71 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
7270, 71rhm1 20163 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7456, 69, 733eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7543, 74eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7675eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) ↔ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
7776anbi2d 630 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))) ↔ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
7835, 77mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
79 eqid 2737 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘†) = (algScβ€˜π‘†)
806, 71ringidcl 19990 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 21704 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
845, 79, 71, 83ply1scl1 21666 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8685eleq1d 2823 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ↔ 1 ∈ 𝐡))
8785fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ))) = (π‘‚β€˜ 1 ))
8887fveq1d 6845 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)))
8988eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
9086, 89anbi12d 632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)) ↔ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
9182, 90mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
92 lgsqr.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
93 eqid 2737 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Œ) = (-gβ€˜π‘Œ)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 21711 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ))))
9594simprd 497 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
963, 95eqtrid 2789 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
97 ringgrp 19970 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
99 eqid 2737 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
1006, 99, 93grpsubid 18832 . . 3 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10198, 81, 100syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10296, 101eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  1c1 11053   βˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  β„•cn 12154  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500   mod cmo 13775  β†‘cexp 13968   βˆ₯ cdvds 16137  β„™cprime 16548  Basecbs 17084   β†Ύs cress 17113  0gc0g 17322   MndHom cmhm 18600  SubMndcsubmnd 18601  Grpcgrp 18749  -gcsg 18751  .gcmg 18873  mulGrpcmgp 19897  1rcur 19914  Ringcrg 19965  CRingccrg 19966   RingHom crh 20144  Fieldcfield 20187  SubRingcsubrg 20221  Domncdomn 20753  IDomncidom 20754  β„‚fldccnfld 20799  β„€ringczring 20872  β„€RHomczrh 20903  β„€/nβ„€czn 20906  algSccascl 21261  var1cv1 21550  Poly1cpl1 21551  eval1ce1 21683   deg1 cdg1 25419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-hom 17158  df-cco 17159  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-prds 17330  df-pws 17332  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mre 17467  df-mrc 17468  df-acs 17470  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-srg 19919  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910  df-assa 21262  df-asp 21263  df-ascl 21264  df-psr 21314  df-mvr 21315  df-mpl 21316  df-opsr 21318  df-evls 21485  df-evl 21486  df-psr1 21554  df-vr1 21555  df-ply1 21556  df-evl1 21685
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  26698  lgsqrlem3  26699
  Copyright terms: Public domain W3C validator