Theorem lgsqrlem1 27314

Description: Lemma for lgsqr 27319. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
2	1	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (𝑂‘𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
3	2	fveq1i 6882	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴))
4		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
5		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9	8	eldifad 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
11	10	znfld 21526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
13		fldidom 20736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
15		isidom 20690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
16	15	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
18		crngring 20210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
21	20	zrhrhm 21477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21419	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 6	rhmf 20450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	25, 26	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 22280	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐿‘𝐴)))
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32		oddprm 16835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 22288	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))))
36		zringmpg 21437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
38	36, 37	rhmmhm 20444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
40	36, 23	mgpbas 20110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
42	40, 41, 31	mhmmulg 19103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
44		zsubrg 21393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
46	45	subrgsubm 20550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
50	48, 49, 41	submmulg 19106	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
52	26	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53		cnfldexp 21372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
54	52, 34, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
55	51, 54	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
56	55	fveq2d 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58		prmnn 16698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
59	9, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
60		zexpcl 14099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
61	26, 34, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63		moddvds 16288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
65	57, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
66	59	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
67	10, 20	zndvds 21515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
69	65, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70		zring1 21425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
71		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
72	70, 71	rhm1 20454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
74	56, 69, 73	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r‘𝑌))
75	43, 74	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))
76	75	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
77	76	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
78	35, 77	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
79		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
80	6, 71	ringidcl 20230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
81	19, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 22278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 22235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
86	85	eleq1d 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵))
87	85	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝑂‘ 1 ))
88	87	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)))
89	88	eqeq1d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
90	86, 89	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
91	82, 90	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
92		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
93		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘𝑌)
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 22285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
95	94	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
96	3, 95	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
97		ringgrp 20203	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
98	19, 97	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
99		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
100	6, 99, 93	grpsubid 19012	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
101	98, 81, 100	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
102	96, 101	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  1c1 11135   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593   mod cmo 13891  ↑cexp 14084   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  0_gc0g 17458   MndHom cmhm 18764  SubMndcsubmnd 18765  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199   RingHom crh 20434  SubRingcsubrg 20534  Domncdomn 20657  IDomncidom 20658  Fieldcfield 20695  ℂ_fldccnfld 21320  ℤ_ringczring 21412  ℤRHomczrh 21465  ℤ/nℤczn 21468  algSccascl 21817  var₁cv1 22116  Poly₁cpl1 22117  eval₁ce1 22257  deg₁cdg1 26016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213  ax-mulf 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-imas 17527  df-qus 17528  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-nsg 19112  df-eqg 19113  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-dvr 20366  df-rhm 20437  df-nzr 20478  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-rlreg 20659  df-domn 20660  df-idom 20661  df-drng 20696  df-field 20697  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174  df-rsp 21175  df-2idl 21216  df-cnfld 21321  df-zring 21413  df-zrh 21469  df-zn 21472  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-opsr 21878  df-evls 22037  df-evl 22038  df-psr1 22120  df-vr1 22121  df-ply1 22122  df-evl1 22259

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  27315  lgsqrlem3  27316