Theorem lgsqrlem1 27390

Description: Lemma for lgsqr 27395. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
2	1	fveq2i 6909	. . . 4 ⊢ (𝑂‘𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
3	2	fveq1i 6907	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴))
4		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
5		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9	8	eldifad 3963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
11	10	znfld 21579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
13		fldidom 20771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
15		isidom 20725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
16	15	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
18		crngring 20242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
21	20	zrhrhm 21522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
22	19, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21464	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 6	rhmf 20485	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	25, 26	ffvelcdmd 7105	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 22341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐿‘𝐴)))
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32		oddprm 16848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
33	8, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 22349	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))))
36		zringmpg 21482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
38	36, 37	rhmmhm 20479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
39	22, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
40	36, 23	mgpbas 20142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
42	40, 41, 31	mhmmulg 19133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
44		zsubrg 21438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
46	45	subrgsubm 20585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47	44, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
50	48, 49, 41	submmulg 19136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
52	26	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53		cnfldexp 21417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
54	52, 34, 53	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
55	51, 54	eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
56	55	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58		prmnn 16711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
59	9, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
60		zexpcl 14117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
61	26, 34, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63		moddvds 16301	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
65	57, 64	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
66	59	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
67	10, 20	zndvds 21568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
69	65, 68	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70		zring1 21470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
71		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
72	70, 71	rhm1 20489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
74	56, 69, 73	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r‘𝑌))
75	43, 74	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))
76	75	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
77	76	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
78	35, 77	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
79		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
80	6, 71	ringidcl 20262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
81	19, 80	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 22339	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 22296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
85	19, 84	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
86	85	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵))
87	85	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝑂‘ 1 ))
88	87	fveq1d 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)))
89	88	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
90	86, 89	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
91	82, 90	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
92		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
93		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘𝑌)
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 22346	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
95	94	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
96	3, 95	eqtrid 2789	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
97		ringgrp 20235	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
98	19, 97	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
99		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
100	6, 99, 93	grpsubid 19042	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
101	98, 81, 100	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
102	96, 101	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613   mod cmo 13909  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484   MndHom cmhm 18794  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  -_gcsg 18953  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  SubRingcsubrg 20569  Domncdomn 20692  IDomncidom 20693  Fieldcfield 20730  ℂ_fldccnfld 21364  ℤ_ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nℤczn 21513  algSccascl 21872  var₁cv1 22177  Poly₁cpl1 22178  eval₁ce1 22318  deg₁cdg1 26093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-nzr 20513  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-idom 20696  df-drng 20731  df-field 20732  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-evls 22098  df-evl 22099  df-psr1 22181  df-vr1 22182  df-ply1 22183  df-evl1 22320

This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392