Theorem lgsqrlem1 27703

Description: Lemma for lgsqr 27708. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem1	⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
2	1	fveq2i 6911	. . . 4 ⊢ (𝑂‘𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))
3	2	fveq1i 6909	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴))
4		lgsqr.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
5		lgsqr.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7		lgsqr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
8		lgsqr.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
9	8	eldifad 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		lgsqr.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
11	10	znfld 21896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
12	9, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
13		fldidom 21059	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
14	12, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
15		isidom 21006	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
16	15	simplbi 502	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
18		crngring 20502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
20		lgsqr.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
21	20	zrhrhm 21847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
22	19, 21	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23		zringbas 21789	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
24	23, 6	rhmf 20745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
25	22, 24	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26		lgsqrlem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
27	25, 26	ffvelcdmd 7109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28		lgsqr.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
29	4, 28, 6, 5, 7, 17, 27	evl1vard 22685	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘(𝐿‘𝐴)) = (𝐿‘𝐴)))
30		lgsqr.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32		oddprm 17017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
33	8, 32	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
34	33	nnnn0d 12694	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
35	4, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34	evl1expd 22693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))))
36		zringmpg 21807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
38	36, 37	rhmmhm 20740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
39	22, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
40	36, 23	mgpbas 20395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
42	40, 41, 31	mhmmulg 19354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
43	39, 34, 26, 42	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)))
44		zsubrg 21756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
46	45	subrgsubm 20867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
47	44, 46	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
50	48, 49, 41	submmulg 19357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
51	47, 34, 26, 50	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
52	26	zcnd 12831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
53		cnfldexp 21741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
54	52, 34, 53	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
55	51, 54	eqtr3d 2800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
56	55	fveq2d 6912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57		lgsqrlem1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58		prmnn 16878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
59	9, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
60		zexpcl 14246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
61	26, 34, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62		1zzd 12754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63		moddvds 16462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
64	59, 61, 62, 63	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
65	57, 64	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
66	59	nnnn0d 12694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
67	10, 20	zndvds 21885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
68	66, 61, 62, 67	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
69	65, 68	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70		zring1 21795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (1r‘ℤring)
71		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝑌) = (1r‘𝑌)
72	70, 71	rhm1 20754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
73	22, 72	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r‘𝑌))
74	56, 69, 73	3eqtrd 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r‘𝑌))
75	43, 74	eqtr3d 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))
76	75	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
77	76	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿‘𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
78	35, 77	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
79		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
80	6, 71	ringidcl 20524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
81	19, 80	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
82	4, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27	evl1scad 22683	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
83		lgsqr.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
84	5, 79, 71, 83	ply1scl1 22641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
85	19, 84	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) = 1 )
86	85	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ↔ 1 ∈ 𝐵))
87	85	fveq2d 6912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌))) = (𝑂‘ 1 ))
88	87	fveq1d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)))
89	88	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌) ↔ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
90	86, 89	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r‘𝑌)))‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)) ↔ ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌))))
91	82, 90	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘ 1 )‘(𝐿‘𝐴)) = (1r‘𝑌)))
92		lgsqr.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑆)
93		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑌) = (-g‘𝑌)
94	4, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93	evl1subd 22690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌))))
95	94	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ))‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
96	3, 95	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)))
97		ringgrp 20494	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
98	19, 97	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Grp)
99		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
100	6, 99, 93	grpsubid 19263	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
101	98, 81, 100	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑌)(-g‘𝑌)(1r‘𝑌)) = (0g‘𝑌))
102	96, 101	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  1c1 11228   − cmin 11568   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720   mod cmo 14036  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451  ℙcprime 16875  Basecbs 17416   ↾_s cress 17437  0_gc0g 17639   MndHom cmhm 19005  SubMndcsubmnd 19006  Grpcgrp 19173  -_gcsg 19175  ._gcmg 19306  mulGrpcmgp 20390  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  CRingccrg 20490   RingHom crh 20729  SubRingcsubrg 20851  Domncdomn 20974  IDomncidom 20975  Fieldcfield 21011  ℂ_fldccnfld 21708  ℤ_ringczring 21782  ℤRHomczrh 21835  ℤ/nℤczn 21838  algSccascl 22190  var₁cv1 22524  Poly₁cpl1 22525  eval₁ce1 22662  deg₁cdg1 26402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-prm 16876  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-imas 17709  df-qus 17710  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-nsg 19363  df-eqg 19364  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-srg 20443  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-nzr 20793  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-rlreg 20976  df-domn 20977  df-idom 20978  df-drng 21012  df-field 21013  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-lidl 21516  df-rsp 21517  df-2idl 21573  df-cnfld 21709  df-zring 21783  df-zrh 21839  df-zn 21842  df-assa 22191  df-asp 22192  df-ascl 22193  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-evls 22413  df-evl 22414  df-psr1 22528  df-vr1 22529  df-ply1 22530  df-evl1 22664

This theorem is used by:  lgsqrlem2  27704  lgsqrlem3  27705