MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 26838
Description: Lemma for lgsqr 26843. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
lgsqr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1 β€˜π‘Œ)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
lgsqr.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
lgsqr.x 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
lgsqr.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
lgsqr.u 1 = (1rβ€˜π‘†)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
lgsqr.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgsqrlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
lgsqrlem1.4 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 )
21fveq2i 6891 . . . 4 (π‘‚β€˜π‘‡) = (π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))
32fveq1i 6889 . . 3 ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1β€˜π‘Œ)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1β€˜π‘Œ)
6 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
98eldifad 3959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1110znfld 21107 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
13 fldidom 20915 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ IDomn)
15 isidom 20914 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ IDomn ↔ (π‘Œ ∈ CRing ∧ π‘Œ ∈ Domn))
1615simplbi 498 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ IDomn β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
18 crngring 20061 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2120zrhrhm 21052 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
23 zringbas 21015 . . . . . . . 8 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2423, 6rhmf 20255 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„€)
2725, 26ffvelcdmd 7084 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜π΄) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1β€˜π‘Œ)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 21847 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜π‘‹)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (πΏβ€˜π΄)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
31 eqid 2732 . . . . . . 7 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))
32 oddprm 16739 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}) β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•)
3433nnnn0d 12528 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 21855 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))))
36 zringmpg 21032 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = (mulGrpβ€˜β„€ring)
37 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
3836, 37rhmmhm 20250 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)))
4036, 23mgpbas 19987 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)) = (.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))
4240, 41, 31mhmmulg 18989 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) MndHom (mulGrpβ€˜π‘Œ)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)))
44 zsubrg 20990 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
45 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
4645subrgsubm 20368 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€ ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
48 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€) = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€)
5048, 49, 41submmulg 18992 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€ ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴))
5226zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
53 cnfldexp 20970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5655fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 16607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
60 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ β„€ ∧ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
6126, 34, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€)
62 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
63 moddvds 16204 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6557, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1))
6659nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
6710, 20zndvds 21096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) βˆ’ 1)))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(𝐴↑((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) = (πΏβ€˜1))
70 zring1 21020 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1rβ€˜β„€ring)
71 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
7270, 71rhm1 20259 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜1) = (1rβ€˜π‘Œ))
7456, 69, 733eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs β„€))𝐴)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7543, 74eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))
7675eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄)) ↔ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
7776anbi2d 629 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (((𝑃 βˆ’ 1) / 2)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘Œ))(πΏβ€˜π΄))) ↔ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
7835, 77mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜(((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
79 eqid 2732 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘†) = (algScβ€˜π‘†)
806, 71ringidcl 20076 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 21845 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1rβ€˜π‘†)
845, 79, 71, 83ply1scl1 21806 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Ring β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) = 1 )
8685eleq1d 2818 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ↔ 1 ∈ 𝐡))
8785fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ))) = (π‘‚β€˜ 1 ))
8887fveq1d 6890 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)))
8988eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ) ↔ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
9086, 89anbi12d 631 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((algScβ€˜π‘†)β€˜(1rβ€˜π‘Œ)))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)) ↔ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ))))
9182, 90mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( 1 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜ 1 )β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘Œ)))
92 lgsqr.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘†)
93 eqid 2732 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Œ) = (-gβ€˜π‘Œ)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 21852 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ))))
9594simprd 496 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((((𝑃 βˆ’ 1) / 2) ↑ 𝑋) βˆ’ 1 ))β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
963, 95eqtrid 2784 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)))
97 ringgrp 20054 . . . 4 (π‘Œ ∈ Ring β†’ π‘Œ ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
99 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
1006, 99, 93grpsubid 18903 . . 3 ((π‘Œ ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10198, 81, 100syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘Œ)(-gβ€˜π‘Œ)(1rβ€˜π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘Œ))
10296, 101eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜π‘‡)β€˜(πΏβ€˜π΄)) = (0gβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  1c1 11107   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554   mod cmo 13830  β†‘cexp 14023   βˆ₯ cdvds 16193  β„™cprime 16604  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  0gc0g 17381   MndHom cmhm 18665  SubMndcsubmnd 18666  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1rcur 19998  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050   RingHom crh 20240  Fieldcfield 20308  SubRingcsubrg 20351  Domncdomn 20888  IDomncidom 20889  β„‚fldccnfld 20936  β„€ringczring 21009  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  algSccascl 21398  var1cv1 21691  Poly1cpl1 21692  eval1ce1 21824   deg1 cdg1 25560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-field 20310  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-rlreg 20891  df-domn 20892  df-idom 20893  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-evls 21626  df-evl 21627  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-evl1 21826
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  26839  lgsqrlem3  26840
  Copyright terms: Public domain W3C validator