MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem1 26694
Description: Lemma for lgsqr 26699. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqrlem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqrlem1.4 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))

Proof of Theorem lgsqrlem1
StepHypRef Expression
1 lgsqr.t . . . . 5 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
21fveq2i 6845 . . . 4 (𝑂𝑇) = (𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))
32fveq1i 6843 . . 3 ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴))
4 lgsqr.o . . . . 5 𝑂 = (eval1𝑌)
5 lgsqr.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑌)
6 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
7 lgsqr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑆)
8 lgsqr.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
98eldifad 3922 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
10 lgsqr.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1110znfld 20967 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ Field)
13 fldidom 20775 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
15 isidom 20774 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
1615simplbi 498 . . . . . 6 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
18 crngring 19976 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
20 lgsqr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2120zrhrhm 20912 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2219, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
23 zringbas 20875 . . . . . . . 8 ℤ = (Base‘ℤring)
2423, 6rhmf 20158 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
26 lgsqrlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2725, 26ffvelcdmd 7036 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
28 lgsqr.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑌)
294, 28, 6, 5, 7, 17, 27evl1vard 21703 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘(𝐿𝐴)) = (𝐿𝐴)))
30 lgsqr.e . . . . . . 7 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
31 eqid 2736 . . . . . . 7 (.g‘(mulGrp‘𝑌)) = (.g‘(mulGrp‘𝑌))
32 oddprm 16682 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
338, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3433nnnn0d 12473 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
354, 5, 6, 7, 17, 27, 29, 30, 31, 34evl1expd 21711 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))))
36 zringmpg 20892 . . . . . . . . . . . 12 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)
37 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
3836, 37rhmmhm 20153 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)))
4036, 23mgpbas 19902 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)) = (.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))
4240, 41, 31mhmmulg 18917 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) MndHom (mulGrp‘𝑌)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
4339, 34, 26, 42syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)))
44 zsubrg 20850 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
4645subrgsubm 20235 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
4744, 46mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g‘(mulGrp‘ℂfld)) = (.g‘(mulGrp‘ℂfld))
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ)
5048, 49, 41submmulg 18920 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤ ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5147, 34, 26, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴))
5226zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
53 cnfldexp 20830 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5452, 34, 53syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘ℂfld))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5551, 54eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
5655fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
57 lgsqrlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
58 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
60 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
6126, 34, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
62 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
63 moddvds 16147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6459, 61, 62, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6557, 64mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
6659nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
6710, 20zndvds 20956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6866, 61, 62, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) = (𝐿‘1))
70 zring1 20880 . . . . . . . . . . . 12 1 = (1r‘ℤring)
71 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝑌) = (1r𝑌)
7270, 71rhm1 20162 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7322, 72syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘1) = (1r𝑌))
7456, 69, 733eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘(((𝑃 − 1) / 2)(.g‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ))𝐴)) = (1r𝑌))
7543, 74eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))
7675eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴)) ↔ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
7776anbi2d 629 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (((𝑃 − 1) / 2)(.g‘(mulGrp‘𝑌))(𝐿𝐴))) ↔ ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
7835, 77mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(((𝑃 − 1) / 2) 𝑋))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
79 eqid 2736 . . . . . . 7 (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
806, 71ringidcl 19989 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Ring → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
8119, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌))
824, 5, 6, 79, 7, 17, 81, 27evl1scad 21701 . . . . . 6 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
83 lgsqr.u . . . . . . . . . 10 1 = (1r𝑆)
845, 79, 71, 83ply1scl1 21663 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Ring → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8519, 84syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) = 1 )
8685eleq1d 2822 . . . . . . 7 (𝜑 → (((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵1𝐵))
8785fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌))) = (𝑂1 ))
8887fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)))
8988eqeq1d 2738 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌) ↔ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
9086, 89anbi12d 631 . . . . . 6 (𝜑 → ((((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((algSc‘𝑆)‘(1r𝑌)))‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)) ↔ ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌))))
9182, 90mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ( 1𝐵 ∧ ((𝑂1 )‘(𝐿𝐴)) = (1r𝑌)))
92 lgsqr.m . . . . 5 = (-g𝑆)
93 eqid 2736 . . . . 5 (-g𝑌) = (-g𝑌)
944, 5, 6, 7, 17, 27, 78, 91, 92, 93evl1subd 21708 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌))))
9594simprd 496 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ))‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
963, 95eqtrid 2788 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)))
97 ringgrp 19969 . . . 4 (𝑌 ∈ Ring → 𝑌 ∈ Grp)
9819, 97syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Grp)
99 eqid 2736 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
1006, 99, 93grpsubid 18831 . . 3 ((𝑌 ∈ Grp ∧ (1r𝑌) ∈ (Base‘𝑌)) → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10198, 81, 100syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((1r𝑌)(-g𝑌)(1r𝑌)) = (0g𝑌))
10296, 101eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cdif 3907  {csn 4586   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499   mod cmo 13774  cexp 13967  cdvds 16136  cprime 16547  Basecbs 17083  s cress 17112  0gc0g 17321   MndHom cmhm 18599  SubMndcsubmnd 18600  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965   RingHom crh 20143  Fieldcfield 20186  SubRingcsubrg 20218  Domncdomn 20750  IDomncidom 20751  fldccnfld 20796  ringczring 20869  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  algSccascl 21258  var1cv1 21547  Poly1cpl1 21548  eval1ce1 21680   deg1 cdg1 25416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-imas 17390  df-qus 17391  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-nzr 20728  df-rlreg 20753  df-domn 20754  df-idom 20755  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-evls 21482  df-evl 21483  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-evl1 21682
This theorem is referenced by:  lgsqrlem2  26695  lgsqrlem3  26696
  Copyright terms: Public domain W3C validator