Theorem erlbr2d 33565

Description: Deduce the ring localization equivalence relation. Pairs ⟨𝐸, 𝐺⟩ and ⟨𝑇 · 𝐸, 𝑇 · 𝐺⟩ for 𝑇 ∈ 𝑆 are equivalent under the localization relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
erlbr2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
erlbr2d.q	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
erlbr2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
erlbr2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
erlbr2d.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
erlbr2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
erlbr2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
erlbr2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
erlbr2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
erlbr2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
erlbr2d.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
erlbr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
erlbr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
erlbr2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
erlbr2d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Proof of Theorem erlbr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erlbr2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		erlbr2d.q	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
3		erlbr2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4, 1	mgpbas 20222	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6	5	submss 18868	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		erlbr2d.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		eqid 2763	. 2 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11		erlbr2d.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
12		erlbr2d.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
13		erlbr2d.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
14		erlbr2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15		erlbr2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
16		erlbr2d.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
17		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidval 20266	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18870	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	3, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21		erlbr2d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))
22	21	oveq2d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐻) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
23		erlbr2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
24	23	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺))
25	22, 24	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)))
26		erlbr2d.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27		erlbr2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
28	7, 27	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
29	7, 15	sseldd 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	1, 9, 26, 28, 13, 29	crng32d 20342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸))
31	26	crngringd 20329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	1, 9, 31, 28, 29	ringcld 20343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 9, 26, 32, 13	crngcomd 20338	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
34	30, 33	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
35	34	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))))
36	26	crnggrpd 20330	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
37	1, 9, 31, 13, 32	ringcld 20343	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵)
38	1, 8, 10	grpsubid 19091	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵) → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
39	36, 37, 38	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
40	25, 35, 39	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = (0g‘𝑅))
41	40	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)))
42	7, 20	sseldd 3939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	1, 9, 8, 31, 42	ringrzd 20380	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	41, 43	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
45	1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 44	erlbrd 33564	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4596   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17493  SubMndcsubmnd 18841  Grpcgrp 19001  -_gcsg 19003  mulGrpcmgp 20217  1_rcur 20264  CRingccrg 20317   ~_RL cerl 33554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-erl 33556

This theorem is referenced by:  rloccring  33572  rlocinvunit  33576  rlocisunit  33577