Theorem erlbr2d 33346

Description: Deduce the ring localization equivalence relation. Pairs ⟨𝐸, 𝐺⟩ and ⟨𝑇 · 𝐸, 𝑇 · 𝐺⟩ for 𝑇 ∈ 𝑆 are equivalent under the localization relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
erlbr2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
erlbr2d.q	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
erlbr2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
erlbr2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
erlbr2d.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
erlbr2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
erlbr2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
erlbr2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
erlbr2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
erlbr2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
erlbr2d.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
erlbr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
erlbr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
erlbr2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
erlbr2d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Proof of Theorem erlbr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erlbr2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		erlbr2d.q	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
3		erlbr2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4, 1	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6	5	submss 18734	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		erlbr2d.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		eqid 2736	. 2 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11		erlbr2d.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
12		erlbr2d.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
13		erlbr2d.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
14		erlbr2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15		erlbr2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
16		erlbr2d.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
17		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidval 20118	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18736	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	3, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21		erlbr2d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))
22	21	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐻) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
23		erlbr2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
24	23	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺))
25	22, 24	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)))
26		erlbr2d.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27		erlbr2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
28	7, 27	sseldd 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
29	7, 15	sseldd 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	1, 9, 26, 28, 13, 29	crng32d 20194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸))
31	26	crngringd 20181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	1, 9, 31, 28, 29	ringcld 20195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 9, 26, 32, 13	crngcomd 20190	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
34	30, 33	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
35	34	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))))
36	26	crnggrpd 20182	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
37	1, 9, 31, 13, 32	ringcld 20195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵)
38	1, 8, 10	grpsubid 18954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵) → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
39	36, 37, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
40	25, 35, 39	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = (0g‘𝑅))
41	40	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)))
42	7, 20	sseldd 3934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	1, 9, 8, 31, 42	ringrzd 20231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	41, 43	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
45	1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 44	erlbrd 33345	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  SubMndcsubmnd 18707  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116  CRingccrg 20169   ~_RL cerl 33335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-erl 33337

This theorem is referenced by:  rloccring  33352