Theorem erlbr2d 33818

Description: Deduce the ring localization equivalence relation. Pairs ⟨𝐸, 𝐺⟩ and ⟨𝑇 · 𝐸, 𝑇 · 𝐺⟩ for 𝑇 ∈ 𝑆 are equivalent under the localization relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
erlbr2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
erlbr2d.q	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
erlbr2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
erlbr2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
erlbr2d.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
erlbr2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
erlbr2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
erlbr2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
erlbr2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
erlbr2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
erlbr2d.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
erlbr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
erlbr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
erlbr2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
erlbr2d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Proof of Theorem erlbr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erlbr2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		erlbr2d.q	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
3		erlbr2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4, 1	mgpbas 20358	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6	5	submss 18997	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2761	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		erlbr2d.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		eqid 2761	. 2 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11		erlbr2d.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
12		erlbr2d.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
13		erlbr2d.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
14		erlbr2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15		erlbr2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
16		erlbr2d.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
17		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidval 20402	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18999	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	3, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21		erlbr2d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))
22	21	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐻) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
23		erlbr2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
24	23	oveq1d 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺))
25	22, 24	oveq12d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)))
26		erlbr2d.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27		erlbr2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
28	7, 27	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
29	7, 15	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	1, 9, 26, 28, 13, 29	crng32d 20480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸))
31	26	crngringd 20466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	1, 9, 31, 28, 29	ringcld 20477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 9, 26, 32, 13	crngcomd 20475	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
34	30, 33	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
35	34	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))))
36	26	crnggrpd 20467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
37	1, 9, 31, 13, 32	ringcld 20477	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵)
38	1, 8, 10	grpsubid 19227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵) → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
39	36, 37, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
40	25, 35, 39	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = (0g‘𝑅))
41	40	oveq2d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)))
42	7, 20	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	1, 9, 8, 31, 42	ringrzd 20520	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	41, 43	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
45	1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 44	erlbrd 33817	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422  0_gc0g 17603  SubMndcsubmnd 18970  Grpcgrp 19137  -_gcsg 19139  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  CRingccrg 20453   ~_RL cerl 33807

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-ring 20454  df-cring 20455  df-erl 33809

This theorem is used by:  rloccring  33825  rlocinvunit  33829  rlocisunit  33830