Theorem erlbr2d 33704

Description: Deduce the ring localization equivalence relation. Pairs ⟨𝐸, 𝐺⟩ and ⟨𝑇 · 𝐸, 𝑇 · 𝐺⟩ for 𝑇 ∈ 𝑆 are equivalent under the localization relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
erlbr2d.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
erlbr2d.q	⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
erlbr2d.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
erlbr2d.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
erlbr2d.m	⊢ · = (.r‘𝑅)
erlbr2d.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
erlbr2d.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
erlbr2d.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
erlbr2d.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
erlbr2d.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
erlbr2d.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
erlbr2d.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
erlbr2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
erlbr2d.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
erlbr2d	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

Proof of Theorem erlbr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		erlbr2d.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		erlbr2d.q	. 2 ⊢ ∼ = (𝑅 ~RL 𝑆)
3		erlbr2d.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4, 1	mgpbas 20278	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
6	5	submss 18917	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7	3, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		erlbr2d.m	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
10		eqid 2760	. 2 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
11		erlbr2d.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨𝐸, 𝐺⟩)
12		erlbr2d.v	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ⟨𝐹, 𝐻⟩)
13		erlbr2d.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
14		erlbr2d.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
15		erlbr2d.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑆)
16		erlbr2d.h	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑆)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	4, 17	ringidval 20322	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
19	18	subm0cl 18919	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
20	3, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑆)
21		erlbr2d.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑇 · 𝐺))
22	21	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐻) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
23		erlbr2d.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑇 · 𝐸))
24	23	oveq1d 7428	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺))
25	22, 24	oveq12d 7431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)))
26		erlbr2d.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
27		erlbr2d.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑆)
28	7, 27	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
29	7, 15	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
30	1, 9, 26, 28, 13, 29	crng32d 20399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸))
31	26	crngringd 20385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
32	1, 9, 31, 28, 29	ringcld 20396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝐺) ∈ 𝐵)
33	1, 9, 26, 32, 13	crngcomd 20394	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐺) · 𝐸) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
34	30, 33	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · 𝐸) · 𝐺) = (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)))
35	34	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)((𝑇 · 𝐸) · 𝐺)) = ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))))
36	26	crnggrpd 20386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
37	1, 9, 31, 13, 32	ringcld 20396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵)
38	1, 8, 10	grpsubid 19147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐸 · (𝑇 · 𝐺)) ∈ 𝐵) → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
39	36, 37, 38	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · (𝑇 · 𝐺))(-g‘𝑅)(𝐸 · (𝑇 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
40	25, 35, 39	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺)) = (0g‘𝑅))
41	40	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)))
42	7, 20	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
43	1, 9, 8, 31, 42	ringrzd 20438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
44	41, 43	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · ((𝐸 · 𝐻)(-g‘𝑅)(𝐹 · 𝐺))) = (0g‘𝑅))
45	1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 44	erlbrd 33703	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∼ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  ._rcmulr 17343  0_gc0g 17524  SubMndcsubmnd 18890  Grpcgrp 19057  -_gcsg 19059  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  CRingccrg 20373   ~_RL cerl 33693

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-cring 20375  df-erl 33695

This theorem is used by:  rloccring  33711  rlocinvunit  33715  rlocisunit  33716