Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c5lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c5lem3 42118
Description: Lemma for Claim 5, polynomial division with a linear power. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1p5.1 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1p5.2 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c5.3 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c5.4 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c5.5 (𝜑𝐴 < 𝑃)
aks6d1c5.6 𝑋 = (var1𝐾)
aks6d1c5.7 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
aks6d1c5.8 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c5p3.1 (𝜑𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
aks6d1c5p3.2 (𝜑𝑊 ∈ (0...𝐴))
aks6d1c5p3.3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
aks6d1c5p3.4 (𝜑𝐶 ≤ (𝑌𝑊))
aks6d1c5p3.5 𝑄 = (quot1p𝐾)
aks6d1c5p3.6 𝑆 = (algSc‘(Poly1𝐾))
aks6d1c5p3.7 𝑀 = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c5lem3 (𝜑 → ((𝐺𝑌)𝑄(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
Distinct variable groups:   ,𝑔,𝑖   𝐴,𝑔,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑀,𝑖   𝑆,𝑔,𝑖   𝑖,𝑊   𝑔,𝑋,𝑖   𝑔,𝑌,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑔,𝑖)   𝑃(𝑔,𝑖)   𝑄(𝑔,𝑖)   𝐺(𝑔,𝑖)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem aks6d1c5lem3
StepHypRef Expression
1 aks6d1c5p3.7 . . . . . 6 𝑀 = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
2 aks6d1p5.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Field)
32fldcrngd 20758 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
4 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
54ply1crng 22215 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CRing)
7 crngring 20262 . . . . . . . 8 ((Poly1𝐾) ∈ CRing → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
9 eqid 2734 . . . . . . . 8 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
109ringmgp 20256 . . . . . . 7 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
118, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
121, 11eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
131fveq2i 6909 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
14 aks6d1c5.7 . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
15 aks6d1c5p3.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
16 nn0ex 12529 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
19 elmapg 8877 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐴) ∈ V) → (𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
2115, 20mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
22 aks6d1c5p3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ (0...𝐴))
2321, 22ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℕ0)
2423nn0zd 12636 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℤ)
25 aks6d1c5p3.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 12636 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2724, 26zsubcld 12724 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ)
28 aks6d1c5p3.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≤ (𝑌𝑊))
2923nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℝ)
3025nn0red 12585 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3129, 30subge0d 11850 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌𝑊) − 𝐶) ↔ 𝐶 ≤ (𝑌𝑊)))
3228, 31mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌𝑊) − 𝐶))
3327, 32jca 511 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌𝑊) − 𝐶)))
34 elnn0z 12623 . . . . . . 7 (((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌𝑊) − 𝐶)))
3533, 34sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0)
368ringcmnd 20297 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ CMnd)
37 cmnmnd 19829 . . . . . . . . 9 ((Poly1𝐾) ∈ CMnd → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
39 crngring 20262 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
41 aks6d1c5.6 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (var1𝐾)
42 eqid 2734 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
4341, 4, 42vr1cl 22234 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
4440, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
45 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
4645zrhrhm 21539 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
4740, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
48 zringbas 21481 . . . . . . . . . . . 12 ℤ = (Base‘ℤring)
49 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5048, 49rhmf 20501 . . . . . . . . . . 11 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
5147, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
5222elfzelzd 13561 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℤ)
5351, 52ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
54 aks6d1c5p3.6 . . . . . . . . . 10 𝑆 = (algSc‘(Poly1𝐾))
554, 54, 49, 42ply1sclcl 22304 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
5640, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
57 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (+g‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(Poly1𝐾))
5842, 57mndcl 18767 . . . . . . . 8 (((Poly1𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
5938, 44, 56, 58syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
609, 42mgpbas 20157 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
6160eqcomi 2743 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(Poly1𝐾))
6213, 61eqtri 2762 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘(Poly1𝐾))
6359, 62eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝑀))
6413, 14, 11, 35, 63mulgnn0cld 19125 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀))
65 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
669crngmgp 20258 . . . . . . . 8 ((Poly1𝐾) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ CMnd)
676, 66syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ CMnd)
681, 67eqeltrid 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
69 fzfid 14010 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
70 diffi 9213 . . . . . . 7 ((0...𝐴) ∈ Fin → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
7169, 70syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
7211adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
7321adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
74 eldifi 4140 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
7574adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
7673, 75ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑌𝑖) ∈ ℕ0)
7738adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
7844adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
7940adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ Ring)
8079, 46, 503syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
81 elfzelz 13560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
8275, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ ℤ)
8380, 82ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾))
844, 54, 49, 42ply1sclcl 22304 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
8579, 83, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
8642, 57mndcl 18767 . . . . . . . . . 10 (((Poly1𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
8777, 78, 85, 86syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
8887, 62eleqtrrdi 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑀))
8913, 14mulgnn0cl 19120 . . . . . . . 8 (((mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd ∧ (𝑌𝑖) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
9072, 76, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
9190ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
9265, 68, 71, 91gsummptcl 19999 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀))
93 eqid 2734 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
9465, 93mndcl 18767 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀) ∧ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑀))
9512, 64, 92, 94syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑀))
9695, 62eleqtrdi 2848 . . 3 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
9765, 93cmncom 19830 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀) ∧ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
9868, 64, 92, 97syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
9998oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
100 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r‘(Poly1𝐾)) = (.r‘(Poly1𝐾))
1011, 100mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Poly1𝐾)) = (+g𝑀)
102101eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑀) = (.r‘(Poly1𝐾))
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (+g𝑀) = (.r‘(Poly1𝐾)))
104103oveqd 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
105104oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
10692, 62eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
10764, 62eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
10860, 14, 11, 25, 59mulgnn0cld 19125 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
10942, 100, 8, 106, 107, 108ringassd 20274 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
110105, 109eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g𝑀)(((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
11199, 110eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
112111oveq2d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))))
11329recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑊) ∈ ℂ)
11430recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
115113, 114npcand 11621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − 𝐶) + 𝐶) = (𝑌𝑊))
116115eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌𝑊) = (((𝑌𝑊) − 𝐶) + 𝐶))
117116oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) + 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
11860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
11959, 118eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
12035, 25, 1193jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))))
121 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
1229, 100mgpplusg 20155 . . . . . . . . . . . . 13 (.r‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
123121, 14, 122mulgnn0dir 19134 . . . . . . . . . . . 12 (((mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd ∧ (((𝑌𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))) → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) + 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
12411, 120, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) + 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
125117, 124eqtr2d 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
126125oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
127 aks6d1c5.8 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
1291eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = 𝑀
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 = 𝑌) → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = 𝑀)
131 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑔 = 𝑌)
132131fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
13354eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (algSc‘(Poly1𝐾)) = 𝑆
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (algSc‘(Poly1𝐾)) = 𝑆)
135134fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) = (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))
136135oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) = (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))
137132, 136oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))
138137mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑔 = 𝑌) → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
139130, 138oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑔 = 𝑌) → ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
140 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ V)
141128, 139, 15, 140fvmptd 7022 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
14222snssd 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑊} ⊆ (0...𝐴))
143 undifr 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑊} ⊆ (0...𝐴) ↔ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) = (0...𝐴))
144142, 143sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) = (0...𝐴))
145144eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0...𝐴) = (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}))
146145mpteq1d 5242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
147146oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
148141, 147eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑌) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
149 neldifsnd 4797 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}))
15013, 14, 11, 23, 63mulgnn0cld 19125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀))
151 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑊 → (𝑌𝑖) = (𝑌𝑊))
152 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑊 → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) = (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))
153152oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑊 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) = (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))
154151, 153oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑊 → ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
15565, 101, 68, 71, 90, 22, 149, 150, 154gsumunsn 19992 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
156148, 155eqtr2d 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((𝑌𝑊) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (𝐺𝑌))
157126, 156eqtrd 2774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = (𝐺𝑌))
158157oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(𝐺𝑌)))
1598ringgrpd 20259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Grp)
160 aks6d1p5.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
161 aks6d1c5.3 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (chr‘𝐾)
162 aks6d1c5.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
163 aks6d1c5.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝑃)
1642, 160, 161, 162, 163, 41, 14, 127aks6d1c5lem0 42116 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(ℕ0m (0...𝐴))⟶(Base‘(Poly1𝐾)))
165164, 15ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
166 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (0g‘(Poly1𝐾)) = (0g‘(Poly1𝐾))
167 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (-g‘(Poly1𝐾)) = (-g‘(Poly1𝐾))
16842, 166, 167grpsubid 19054 . . . . . . . 8 (((Poly1𝐾) ∈ Grp ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(𝐺𝑌)) = (0g‘(Poly1𝐾)))
169159, 165, 168syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(𝐺𝑌)) = (0g‘(Poly1𝐾)))
170158, 169eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1𝐾))((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = (0g‘(Poly1𝐾)))
171112, 170eqtrd 2774 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = (0g‘(Poly1𝐾)))
172171fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = ((deg1𝐾)‘(0g‘(Poly1𝐾))))
173 eqid 2734 . . . . . . 7 (deg1𝐾) = (deg1𝐾)
174173, 4, 166deg1z 26140 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Ring → ((deg1𝐾)‘(0g‘(Poly1𝐾))) = -∞)
17540, 174syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(0g‘(Poly1𝐾))) = -∞)
1762flddrngd 20757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
177 drngdomn 20765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Domn)
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Domn)
1794ply1domn 26177 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Domn → (Poly1𝐾) ∈ Domn)
180178, 179syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Domn)
1816, 180jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((Poly1𝐾) ∈ CRing ∧ (Poly1𝐾) ∈ Domn))
182 isidom 20741 . . . . . . . . . 10 ((Poly1𝐾) ∈ IDomn ↔ ((Poly1𝐾) ∈ CRing ∧ (Poly1𝐾) ∈ Domn))
183181, 182sylibr 234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ IDomn)
184173, 4, 42deg1xrcl 26135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) → ((deg1𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ℝ*)
18556, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ℝ*)
186 0xr 11305 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
187186a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
188173, 4, 42deg1xrcl 26135 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) → ((deg1𝐾)‘𝑋) ∈ ℝ*)
18944, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘𝑋) ∈ ℝ*)
190173, 4, 49, 54deg1sclle 26165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((deg1𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≤ 0)
19140, 53, 190syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≤ 0)
192 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
19444, 60eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))))
195121, 14mulg1 19111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) → (1 𝑋) = 𝑋)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 𝑋) = 𝑋)
197196fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(1 𝑋)) = ((deg1𝐾)‘𝑋))
198 isfld 20756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
199198biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ Field → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
2002, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
201200simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
202 drngnzr 20764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
203201, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ NzRing)
204 1nn0 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
205204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
206173, 4, 41, 9, 14deg1pw 26174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((deg1𝐾)‘(1 𝑋)) = 1)
207203, 205, 206syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(1 𝑋)) = 1)
208197, 207eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘𝑋) = 1)
209208eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 = ((deg1𝐾)‘𝑋))
210193, 209breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((deg1𝐾)‘𝑋))
211185, 187, 189, 191, 210xrlelttrd 13198 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) < ((deg1𝐾)‘𝑋))
2124, 173, 40, 42, 57, 44, 56, 211deg1add 26156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((deg1𝐾)‘𝑋))
213208, 205eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘𝑋) ∈ ℕ0)
214212, 213eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0)
215173, 4, 166, 42deg1nn0clb 26143 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → ((𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0))
21640, 59, 215syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0))
217214, 216mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
218183, 59, 217, 25, 14idomnnzpownz 42113 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
219173, 4, 166, 42deg1nn0clb 26143 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → ((𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0))
22040, 108, 219syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0))
221218, 220mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0)
222221nn0red 12585 . . . . . 6 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℝ)
223222mnfltd 13163 . . . . 5 (𝜑 → -∞ < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
224175, 223eqbrtrd 5169 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(0g‘(Poly1𝐾))) < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
225172, 224eqbrtrd 5169 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
22696, 225jca 511 . 2 (𝜑 → (((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((deg1𝐾)‘((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
227 eqid 2734 . . . . 5 (Unic1p𝐾) = (Unic1p𝐾)
2284, 42, 166, 227drnguc1p 26227 . . . 4 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾))) → (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p𝐾))
229176, 108, 218, 228syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p𝐾))
230 aks6d1c5p3.5 . . . 4 𝑄 = (quot1p𝐾)
231230, 4, 42, 173, 167, 100, 227q1peqb 26209 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑌) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ (𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p𝐾)) → ((((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((deg1𝐾)‘((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) ↔ ((𝐺𝑌)𝑄(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
23240, 165, 229, 231syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → ((((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((deg1𝐾)‘((𝐺𝑌)(-g‘(Poly1𝐾))(((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1𝐾))(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1𝐾)‘(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) ↔ ((𝐺𝑌)𝑄(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
233226, 232mpbid 232 1 (𝜑 → ((𝐺𝑌)𝑄(𝐶 (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌𝑊) − 𝐶) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌𝑖) (𝑋(+g‘(Poly1𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  m cmap 8864  Fincfn 8983  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  cprime 16704  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  Grpcgrp 18963  -gcsg 18965  .gcmg 19097  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251   RingHom crh 20485  NzRingcnzr 20528  Domncdomn 20708  IDomncidom 20709  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  ringczring 21474  ℤRHomczrh 21527  chrcchr 21529  algSccascl 21889  var1cv1 22192  Poly1cpl1 22193  deg1cdg1 26107  Unic1pcuc1p 26180  quot1pcq1p 26181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-idom 20712  df-drng 20747  df-field 20748  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-ascl 21892  df-psr 21946  df-mvr 21947  df-mpl 21948  df-opsr 21950  df-psr1 22196  df-vr1 22197  df-ply1 22198  df-coe1 22199  df-mdeg 26108  df-deg1 26109  df-uc1p 26185  df-q1p 26186
This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42119
  Copyright terms: Public domain W3C validator