Theorem aks6d1c5lem3 42330

Description: Lemma for Claim 5, polynomial division with a linear power. (Contributed by metakunt, 5-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks6d1p5.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
aks6d1p5.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c5.3	⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c5.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c5.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑃)
aks6d1c5.6	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
aks6d1c5.7	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
aks6d1c5.8	⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c5p3.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)))
aks6d1c5p3.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (0...𝐴))
aks6d1c5p3.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
aks6d1c5p3.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑌‘𝑊))
aks6d1c5p3.5	⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝐾)
aks6d1c5p3.6	⊢ 𝑆 = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
aks6d1c5p3.7	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
aks6d1c5lem3	⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)𝑄(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   ↑ ,𝑔,𝑖   𝐴,𝑔,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑀,𝑖   𝑆,𝑔,𝑖   𝑖,𝑊   𝑔,𝑋,𝑖   𝑔,𝑌,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑔,𝑖)   𝑃(𝑔,𝑖)   𝑄(𝑔,𝑖)   𝐺(𝑔,𝑖)   𝑊(𝑔)

Proof of Theorem aks6d1c5lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks6d1c5p3.7	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
2		aks6d1p5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Field)
3	2	fldcrngd 20673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ CRing)
4		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Poly1‘𝐾) = (Poly1‘𝐾)
5	4	ply1crng 22137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → (Poly1‘𝐾) ∈ CRing)
6	3, 5	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ CRing)
7		crngring 20178	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ CRing → (Poly1‘𝐾) ∈ Ring)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Ring)
9		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1‘𝐾))
10	9	ringmgp 20172	. . . . . . 7 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd)
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd)
12	1, 11	eqeltrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
13	1	fveq2i 6835	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
14		aks6d1c5.7	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
15		aks6d1c5p3.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)))
16		nn0ex 12405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18		ovexd 7391	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
19		elmapg 8774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ (0...𝐴) ∈ V) → (𝑌 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
20	17, 18, 19	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↔ 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0))
21	15, 20	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
22		aks6d1c5p3.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (0...𝐴))
23	21, 22	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘𝑊) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘𝑊) ∈ ℤ)
25		aks6d1c5p3.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ0)
26	25	nn0zd 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
27	24, 26	zsubcld 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ)
28		aks6d1c5p3.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑌‘𝑊))
29	23	nn0red 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘𝑊) ∈ ℝ)
30	25	nn0red 12461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
31	29, 30	subge0d 11725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↔ 𝐶 ≤ (𝑌‘𝑊)))
32	28, 31	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑌‘𝑊) − 𝐶))
33	27, 32	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌‘𝑊) − 𝐶)))
34		elnn0z 12499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑌‘𝑊) − 𝐶)))
35	33, 34	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0)
36	8	ringcmnd 20217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ CMnd)
37		cmnmnd 19724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ CMnd → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
39		crngring 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Ring)
41		aks6d1c5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐾)
42		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
43	41, 4, 42	vr1cl 22156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
45		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
46	45	zrhrhm 21464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
47	40, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
48		zringbas 21406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
49		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
50	48, 49	rhmf 20418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
51	47, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
52	22	elfzelzd 13439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℤ)
53	51, 52	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
54		aks6d1c5p3.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (algSc‘(Poly1‘𝐾))
55	4, 54, 49, 42	ply1sclcl 22226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
56	40, 53, 55	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
57		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(Poly1‘𝐾))
58	42, 57	mndcl 18665	. . . . . . . 8 ⊢ (((Poly1‘𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
59	38, 44, 56, 58	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
60	9, 42	mgpbas 20078	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
61	60	eqcomi 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
62	13, 61	eqtri 2757	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(Poly1‘𝐾))
63	59, 62	eleqtrrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝑀))
64	13, 14, 11, 35, 63	mulgnn0cld 19023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀))
65		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
66	9	crngmgp 20174	. . . . . . . 8 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ CRing → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ CMnd)
67	6, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ CMnd)
68	1, 67	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
69		fzfid 13894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
70		diffi 9097	. . . . . . 7 ⊢ ((0...𝐴) ∈ Fin → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
71	69, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∈ Fin)
72	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd)
73	21	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑌:(0...𝐴)⟶ℕ0)
74		eldifi 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
75	74	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
76	73, 75	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℕ0)
77	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (Poly1‘𝐾) ∈ Mnd)
78	44	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
79	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝐾 ∈ Ring)
80	79, 46, 50	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
81		elfzelz 13438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (0...𝐴) → 𝑖 ∈ ℤ)
82	75, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → 𝑖 ∈ ℤ)
83	80, 82	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾))
84	4, 54, 49, 42	ply1sclcl 22226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
85	79, 83, 84	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
86	42, 57	mndcl 18665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Poly1‘𝐾) ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
87	77, 78, 85, 86	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
88	87, 62	eleqtrrdi 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑀))
89	13, 14	mulgnn0cl 19018	. . . . . . . 8 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd ∧ (𝑌‘𝑖) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
90	72, 76, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})) → ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
91	90	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊})((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘𝑀))
92	65, 68, 71, 91	gsummptcl 19894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀))
93		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
94	65, 93	mndcl 18665	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀) ∧ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑀))
95	12, 64, 92, 94	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘𝑀))
96	95, 62	eleqtrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
97	65, 93	cmncom 19725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀) ∧ (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘𝑀)) → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
98	68, 64, 92, 97	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
99	98	oveq1d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
100		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝐾)) = (.r‘(Poly1‘𝐾))
101	1, 100	mgpplusg 20077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘𝑀)
102	101	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝑀) = (.r‘(Poly1‘𝐾))
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑀) = (.r‘(Poly1‘𝐾)))
104	103	oveqd 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
105	104	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
106	92, 62	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
107	64, 62	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
108	60, 14, 11, 25, 59	mulgnn0cld 19023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
109	42, 100, 8, 106, 107, 108	ringassd 20190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
110	105, 109	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(+g‘𝑀)(((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
111	99, 110	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
112	111	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))))
113	29	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘𝑊) ∈ ℂ)
114	30	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
115	113, 114	npcand 11494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) + 𝐶) = (𝑌‘𝑊))
116	115	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌‘𝑊) = (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) + 𝐶))
117	116	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) + 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
118	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Poly1‘𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
119	59, 118	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
120	35, 25, 119	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))))
121		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
122	9, 100	mgpplusg 20077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Poly1‘𝐾)) = (+g‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾)))
123	121, 14, 122	mulgnn0dir 19032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) ∈ Mnd ∧ (((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))) → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) + 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
124	11, 120, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) + 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
125	117, 124	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
126	125	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
127		aks6d1c5.8	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0 ↑m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
129	1	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = 𝑀
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) = 𝑀)
131		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑔 = 𝑌)
132	131	fveq1d 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
133	54	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = 𝑆
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (algSc‘(Poly1‘𝐾)) = 𝑆)
135	134	fveq1d 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) = (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))
136	135	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) = (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))
137	132, 136	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))
138	137	mpteq2dva 5189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
139	130, 138	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((mulGrp‘(Poly1‘𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))((algSc‘(Poly1‘𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
140		ovexd 7391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ V)
141	128, 139, 15, 140	fvmptd 6946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
142	22	snssd 4763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (0...𝐴))
143		undifr 4433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑊} ⊆ (0...𝐴) ↔ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) = (0...𝐴))
144	142, 143	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) = (0...𝐴))
145	144	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...𝐴) = (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}))
146	145	mpteq1d 5186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
147	146	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
148	141, 147	eqtrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) = (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
149		neldifsnd 4747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑊 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}))
150	13, 14, 11, 23, 63	mulgnn0cld 19023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘𝑀))
151		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑊 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘𝑊))
152		2fveq3 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑊 → (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) = (𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))
153	152	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑊 → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) = (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))
154	151, 153	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑊 → ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))
155	65, 101, 68, 71, 90, 22, 149, 150, 154	gsumunsn 19887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ (((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ∪ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
156	148, 155	eqtr2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((𝑌‘𝑊) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = (𝐺‘𝑌))
157	126, 156	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = (𝐺‘𝑌))
158	157	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(𝐺‘𝑌)))
159	8	ringgrpd 20175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Grp)
160		aks6d1p5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
161		aks6d1c5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (chr‘𝐾)
162		aks6d1c5.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
163		aks6d1c5.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑃)
164	2, 160, 161, 162, 163, 41, 14, 127	aks6d1c5lem0 42328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(ℕ0 ↑m (0...𝐴))⟶(Base‘(Poly1‘𝐾)))
165	164, 15	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)))
166		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Poly1‘𝐾)) = (0g‘(Poly1‘𝐾))
167		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (-g‘(Poly1‘𝐾)) = (-g‘(Poly1‘𝐾))
168	42, 166, 167	grpsubid 18952	. . . . . . . 8 ⊢ (((Poly1‘𝐾) ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(𝐺‘𝑌)) = (0g‘(Poly1‘𝐾)))
169	159, 165, 168	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(𝐺‘𝑌)) = (0g‘(Poly1‘𝐾)))
170	158, 169	eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))((𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = (0g‘(Poly1‘𝐾)))
171	112, 170	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) = (0g‘(Poly1‘𝐾)))
172	171	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) = ((deg1‘𝐾)‘(0g‘(Poly1‘𝐾))))
173		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (deg1‘𝐾) = (deg1‘𝐾)
174	173, 4, 166	deg1z 26046	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Ring → ((deg1‘𝐾)‘(0g‘(Poly1‘𝐾))) = -∞)
175	40, 174	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(0g‘(Poly1‘𝐾))) = -∞)
176	2	flddrngd 20672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
177		drngdomn 20680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ Domn)
178	176, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Domn)
179	4	ply1domn 26083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ Domn → (Poly1‘𝐾) ∈ Domn)
180	178, 179	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ Domn)
181	6, 180	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((Poly1‘𝐾) ∈ CRing ∧ (Poly1‘𝐾) ∈ Domn))
182		isidom 20656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Poly1‘𝐾) ∈ IDomn ↔ ((Poly1‘𝐾) ∈ CRing ∧ (Poly1‘𝐾) ∈ Domn))
183	181, 182	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Poly1‘𝐾) ∈ IDomn)
184	173, 4, 42	deg1xrcl 26041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) → ((deg1‘𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ℝ*)
185	56, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ ℝ*)
186		0xr 11177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ*
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
188	173, 4, 42	deg1xrcl 26041	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) → ((deg1‘𝐾)‘𝑋) ∈ ℝ*)
189	44, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘𝑋) ∈ ℝ*)
190	173, 4, 49, 54	deg1sclle 26071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((deg1‘𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≤ 0)
191	40, 53, 190	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≤ 0)
192		0lt1 11657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 1
193	192	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
194	44, 60	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))))
195	121, 14	mulg1 19009	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘(Poly1‘𝐾))) → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 ↑ 𝑋) = 𝑋)
197	196	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(1 ↑ 𝑋)) = ((deg1‘𝐾)‘𝑋))
198		isfld 20671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
199	198	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ Field → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
200	2, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
201	200	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ DivRing)
202		drngnzr 20679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ NzRing)
204		1nn0 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℕ0
205	204	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
206	173, 4, 41, 9, 14	deg1pw 26080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((deg1‘𝐾)‘(1 ↑ 𝑋)) = 1)
207	203, 205, 206	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(1 ↑ 𝑋)) = 1)
208	197, 207	eqtr3d 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘𝑋) = 1)
209	208	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 = ((deg1‘𝐾)‘𝑋))
210	193, 209	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < ((deg1‘𝐾)‘𝑋))
211	185, 187, 189, 191, 210	xrlelttrd 13072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) < ((deg1‘𝐾)‘𝑋))
212	4, 173, 40, 42, 57, 44, 56, 211	deg1add 26062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) = ((deg1‘𝐾)‘𝑋))
213	208, 205	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘𝑋) ∈ ℕ0)
214	212, 213	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0)
215	173, 4, 166, 42	deg1nn0clb 26049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → ((𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0))
216	40, 59, 215	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘(𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ ℕ0))
217	214, 216	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)))
218	183, 59, 217, 25, 14	idomnnzpownz 42325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)))
219	173, 4, 166, 42	deg1nn0clb 26049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾))) → ((𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0))
220	40, 108, 219	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾)) ↔ ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0))
221	218, 220	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℕ0)
222	221	nn0red 12461	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) ∈ ℝ)
223	222	mnfltd 13036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -∞ < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
224	175, 223	eqbrtrd 5118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘(0g‘(Poly1‘𝐾))) < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
225	172, 224	eqbrtrd 5118	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg1‘𝐾)‘((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))
226	96, 225	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ((deg1‘𝐾)‘((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))))
227		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Unic1p‘𝐾) = (Unic1p‘𝐾)
228	4, 42, 166, 227	drnguc1p 26133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRing ∧ (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ≠ (0g‘(Poly1‘𝐾))) → (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p‘𝐾))
229	176, 108, 218, 228	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p‘𝐾))
230		aks6d1c5p3.5	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (quot1p‘𝐾)
231	230, 4, 42, 173, 167, 100, 227	q1peqb 26115	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑌) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ (𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))) ∈ (Unic1p‘𝐾)) → ((((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ((deg1‘𝐾)‘((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) ↔ ((𝐺‘𝑌)𝑄(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
232	40, 165, 229, 231	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) ∈ (Base‘(Poly1‘𝐾)) ∧ ((deg1‘𝐾)‘((𝐺‘𝑌)(-g‘(Poly1‘𝐾))(((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))(.r‘(Poly1‘𝐾))(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))))) < ((deg1‘𝐾)‘(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊)))))) ↔ ((𝐺‘𝑌)𝑄(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
233	226, 232	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑌)𝑄(𝐶 ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))) = ((((𝑌‘𝑊) − 𝐶) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑊))))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑖 ∈ ((0...𝐴) ∖ {𝑊}) ↦ ((𝑌‘𝑖) ↑ (𝑋(+g‘(Poly1‘𝐾))(𝑆‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Fincfn 8881  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  -∞cmnf 11162  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ...cfz 13421  ℙcprime 16596  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  ._rcmulr 17176  0_gc0g 17357   Σ_g cgsu 17358  Mndcmnd 18657  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  ._gcmg 18995  CMndccmn 19707  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20166  CRingccrg 20167   RingHom crh 20403  NzRingcnzr 20443  Domncdomn 20623  IDomncidom 20624  DivRingcdr 20660  Fieldcfield 20661  ℤ_ringczring 21399  ℤRHomczrh 21452  chrcchr 21454  algSccascl 21805  var₁cv1 22114  Poly₁cpl1 22115  deg₁cdg1 26013  Unic_1pcuc1p 26086  quot_1pcq1p 26087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103  ax-mulf 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-hash 14252  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18996  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-rhm 20406  df-nzr 20444  df-subrng 20477  df-subrg 20501  df-rlreg 20625  df-domn 20626  df-idom 20627  df-drng 20662  df-field 20663  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-cnfld 21308  df-zring 21400  df-zrh 21456  df-ascl 21808  df-psr 21863  df-mvr 21864  df-mpl 21865  df-opsr 21867  df-psr1 22118  df-vr1 22119  df-ply1 22120  df-coe1 22121  df-mdeg 26014  df-deg1 26015  df-uc1p 26091  df-q1p 26092

This theorem is referenced by:  aks6d1c5lem2  42331