Theorem chpdmatlem2 21896

Description: Lemma 2 for chpdmat 21898. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem2	⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem chpdmatlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21329	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	ad4antr 728	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 21894	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	ad4antr 728	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 21783	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21	20	ad4antr 728	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23	22	anim1i 614	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
24	23	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
26		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
27	13, 25, 26, 12	matsubgcell 21491	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
28	4, 18, 21, 24, 27	syl121anc 1373	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
29	3	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
30		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
31	9, 1, 30	vr1cl 21298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32	31	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
33	1, 13	pmatring 21749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
34	33	3adant3 1130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
35	25, 14	ringidcl 19722	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
37	32, 36	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
38	37	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
39	29, 38, 23	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
40	39	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
41		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
42	13, 25, 30, 15, 41	matvscacell 21493	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
43	40, 42	syl 17	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
44	43	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
45		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
46		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
47		simpll1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
48	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
49		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
50	13, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14	mat1ov 21505	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
51		ifnefalse 4468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
52	50, 51	sylan9eq 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖 1 𝑗) = (0g‘𝑃))
53	52	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)))
54	2, 31	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	30, 41, 46	ringrz 19742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
58	57	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
59	58	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
60	53, 59	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
61	60	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
62		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
63	62, 23	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
64	63	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
65	19, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 21782	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
67	61, 66	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))))
68		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = 0 → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
69	68	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
70	1, 7, 10, 46	ply1scl0 21371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
71	70	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
72	71	ad4antr 728	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
73	69, 72	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (0g‘𝑃))
74	73	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))) = ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)))
75		ringgrp 19703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
76	2, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
77	30, 46	grpidcl 18522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
78	76, 77	jccir 521	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
79	78	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
80	30, 46, 12	grpsubid 18574	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
81	79, 80	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
82	81	ad4antr 728	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
83	67, 74, 82	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (0g‘𝑃))
84	28, 44, 83	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  -_gcsg 18494  mulGrpcmgp 19635  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  algSccascl 20969  var₁cv1 21257  Poly₁cpl1 21258   Mat cmat 21464   matToPolyMat cmat2pmat 21761   CharPlyMat cchpmat 21883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-ascl 20972  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-mamu 21443  df-mat 21465  df-mat2pmat 21764

This theorem is referenced by:  chpdmat  21898