MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem2 22761
Description: Lemma 2 for chpdmat 22763. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpdmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpdmat.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1rβ€˜π‘„)
chpdmatlem.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem chpdmatlem2
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22173 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43ad4antr 730 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . 6 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 chpdmat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 chpdmat.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
10 chpdmat.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 chpdmat.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 chpdmat.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 chpdmatlem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘„)
15 chpdmatlem.m . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22759 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
1817ad4antr 730 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
19 chpdmatlem.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2019, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 22648 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2120ad4antr 730 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
22 simpr 483 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
2322anim1i 613 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
2423ad2antrr 724 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
25 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
26 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
2713, 25, 26, 12matsubgcell 22356 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
284, 18, 21, 24, 27syl121anc 1372 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
293ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
30 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
319, 1, 30vr1cl 22143 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
32313ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
331, 13pmatring 22614 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
34333adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
3525, 14ringidcl 20209 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3732, 36jca 510 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3837ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3929, 38, 233jca 1125 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
4039ad2antrr 724 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
41 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4213, 25, 30, 15, 41matvscacell 22358 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)))
4340, 42syl 17 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)))
4443oveq1d 7441 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
45 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
46 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
47 simpll1 1209 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
4822adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
49 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
5013, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14mat1ov 22370 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
51 ifnefalse 4544 . . . . . . . 8 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5250, 51sylan9eq 2788 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑖 1 𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5352oveq2d 7442 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)))
542, 31jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
55543ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
5630, 41, 46ringrz 20237 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5857adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5958ad2antrr 724 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6053, 59eqtrd 2768 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6160adantr 479 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
62 simpll 765 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
6362, 23jca 510 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
6463ad2antrr 724 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
6519, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 22647 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗) = (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗) = (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)))
6761, 66oveq12d 7444 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗))))
68 fveq2 6902 . . . . . 6 ((𝑖𝑀𝑗) = 0 β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (π‘†β€˜ 0 ))
6968adantl 480 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (π‘†β€˜ 0 ))
701, 7, 10, 46ply1scl0 22216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
71703ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7271ad4antr 730 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7369, 72eqtrd 2768 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7473oveq2d 7442 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗))) = ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)))
75 ringgrp 20185 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
762, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
7730, 46grpidcl 18929 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
7876, 77jccir 520 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
79783ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
8030, 46, 12grpsubid 18987 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8179, 80syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8281ad4antr 730 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8367, 74, 823eqtrd 2772 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8428, 44, 833eqtrd 2772 1 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  ifcif 4532  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  Basecbs 17187  .rcmulr 17241   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428  Grpcgrp 18897  -gcsg 18899  mulGrpcmgp 20081  1rcur 20128  Ringcrg 20180  algSccascl 21793  var1cv1 22102  Poly1cpl1 22103   Mat cmat 22327   matToPolyMat cmat2pmat 22626   CharPlyMat cchpmat 22748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mvr 21850  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-vr1 22107  df-ply1 22108  df-mamu 22306  df-mat 22328  df-mat2pmat 22629
This theorem is referenced by:  chpdmat  22763
  Copyright terms: Public domain W3C validator