MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem2 20972
Description: Lemma 2 for chpdmat 20974. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = (0g𝑃))

Proof of Theorem chpdmatlem2
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 19940 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1165 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
43ad4antr 725 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8 chpdmat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 chpdmat.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
10 chpdmat.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
11 chpdmat.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12 chpdmat.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
13 chpdmatlem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑄)
15 chpdmatlem.m . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑄)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 20970 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17163adant3 1163 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
1817ad4antr 725 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19 chpdmatlem.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2019, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 20859 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
2120ad4antr 725 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
22 simpr 478 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2322anim1i 609 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
2423ad2antrr 718 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
25 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
26 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-g𝑄)
2713, 25, 26, 12matsubgcell 20565 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
284, 18, 21, 24, 27syl121anc 1495 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
293ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
30 eqid 2799 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
319, 1, 30vr1cl 19909 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32313ad2ant2 1165 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
331, 13pmatring 20826 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
34333adant3 1163 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
3525, 14ringidcl 18884 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3732, 36jca 508 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3837ad2antrr 718 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3929, 38, 233jca 1159 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
4039ad2antrr 718 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
41 eqid 2799 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4213, 25, 30, 15, 41matvscacell 20567 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
4340, 42syl 17 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
4443oveq1d 6893 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
45 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (1r𝑃) = (1r𝑃)
46 eqid 2799 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
47 simpll1 1270 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
4822adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
49 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5013, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14mat1ov 20580 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)))
51 ifnefalse 4289 . . . . . . . 8 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (0g𝑃))
5250, 51sylan9eq 2853 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖 1 𝑗) = (0g𝑃))
5352oveq2d 6894 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)))
542, 31jca 508 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55543ad2ant2 1165 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5630, 41, 46ringrz 18904 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5857adantr 473 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5958ad2antrr 718 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
6053, 59eqtrd 2833 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g𝑃))
6160adantr 473 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g𝑃))
62 simpll 784 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
6362, 23jca 508 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
6463ad2antrr 718 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
6519, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 20858 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
6761, 66oveq12d 6896 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = ((0g𝑃) (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))))
68 fveq2 6411 . . . . . 6 ((𝑖𝑀𝑗) = 0 → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆0 ))
6968adantl 474 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆0 ))
701, 7, 10, 46ply1scl0 19982 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
71703ad2ant2 1165 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
7271ad4antr 725 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
7369, 72eqtrd 2833 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (0g𝑃))
7473oveq2d 6894 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g𝑃) (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))) = ((0g𝑃) (0g𝑃)))
75 ringgrp 18868 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
762, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
7730, 46grpidcl 17766 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Grp → (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
7876, 77jccir 518 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
79783ad2ant2 1165 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
8030, 46, 12grpsubid 17815 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8179, 80syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8281ad4antr 725 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8367, 74, 823eqtrd 2837 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = (0g𝑃))
8428, 44, 833eqtrd 2837 1 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  ifcif 4277  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195  Basecbs 16184  .rcmulr 16268   ·𝑠 cvsca 16271  0gc0g 16415  Grpcgrp 17738  -gcsg 17740  mulGrpcmgp 18805  1rcur 18817  Ringcrg 18863  algSccascl 19634  var1cv1 19868  Poly1cpl1 19869   Mat cmat 20538   matToPolyMat cmat2pmat 20837   CharPlyMat cchpmat 20959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-ascl 19637  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-mamu 20515  df-mat 20539  df-mat2pmat 20840
This theorem is referenced by:  chpdmat  20974
  Copyright terms: Public domain W3C validator