Theorem chpdmatlem2 22188

Description: Lemma 2 for chpdmat 22190. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem2	⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem chpdmatlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 21619	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	ad4antr 730	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 22186	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	ad4antr 730	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 22075	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21	20	ad4antr 730	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23	22	anim1i 615	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
24	23	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
25		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
26		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
27	13, 25, 26, 12	matsubgcell 21783	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
28	4, 18, 21, 24, 27	syl121anc 1375	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
29	3	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
31	9, 1, 30	vr1cl 21588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32	31	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
33	1, 13	pmatring 22041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
34	33	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
35	25, 14	ringidcl 19989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
37	32, 36	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
38	37	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
39	29, 38, 23	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
40	39	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
41		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
42	13, 25, 30, 15, 41	matvscacell 21785	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
43	40, 42	syl 17	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
44	43	oveq1d 7372	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
45		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
46		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
47		simpll1 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
48	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
49		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
50	13, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14	mat1ov 21797	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
51		ifnefalse 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
52	50, 51	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖 1 𝑗) = (0g‘𝑃))
53	52	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)))
54	2, 31	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	30, 41, 46	ringrz 20012	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
59	58	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
60	53, 59	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
61	60	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
62		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
63	62, 23	jca 512	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
64	63	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
65	19, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 22074	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
67	61, 66	oveq12d 7375	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))))
68		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = 0 → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
69	68	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
70	1, 7, 10, 46	ply1scl0 21661	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
71	70	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
72	71	ad4antr 730	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
73	69, 72	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (0g‘𝑃))
74	73	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))) = ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)))
75		ringgrp 19969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
76	2, 75	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
77	30, 46	grpidcl 18778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
78	76, 77	jccir 522	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
79	78	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
80	30, 46, 12	grpsubid 18831	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
81	79, 80	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
82	81	ad4antr 730	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
83	67, 74, 82	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (0g‘𝑃))
84	28, 44, 83	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4486  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -_gcsg 18750  mulGrpcmgp 19896  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  algSccascl 21258  var₁cv1 21547  Poly₁cpl1 21548   Mat cmat 21754   matToPolyMat cmat2pmat 22053   CharPlyMat cchpmat 22175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-opsr 21315  df-psr1 21551  df-vr1 21552  df-ply1 21553  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mat2pmat 22056

This theorem is referenced by:  chpdmat  22190