MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem2 22696
Description: Lemma 2 for chpdmat 22698. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
chpdmat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chpdmat.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chpdmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1rβ€˜π‘„)
chpdmatlem.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem chpdmatlem2
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
21ply1ring 22121 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . 6 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . 6 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
8 chpdmat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
9 chpdmat.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
10 chpdmat.0 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
11 chpdmat.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
12 chpdmat.m . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
13 chpdmatlem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘„)
15 chpdmatlem.m . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
17163adant3 1129 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
1817ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
19 chpdmatlem.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2019, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 22583 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
2120ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„))
22 simpr 484 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
2322anim1i 614 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
2423ad2antrr 723 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
25 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘„) = (Baseβ€˜π‘„)
26 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-gβ€˜π‘„)
2713, 25, 26, 12matsubgcell 22291 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 Β· 1 ) ∈ (Baseβ€˜π‘„) ∧ (π‘‡β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
284, 18, 21, 24, 27syl121anc 1372 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
293ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
30 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
319, 1, 30vr1cl 22091 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
32313ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
331, 13pmatring 22549 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
34333adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 𝑄 ∈ Ring)
3525, 14ringidcl 20165 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„))
3732, 36jca 511 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3837ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)))
3929, 38, 233jca 1125 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
4039ad2antrr 723 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
41 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
4213, 25, 30, 15, 41matvscacell 22293 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘„)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)))
4340, 42syl 17 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)))
4443oveq1d 7420 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑖(𝑋 Β· 1 )𝑗) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)))
45 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
46 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
47 simpll1 1209 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑁 ∈ Fin)
4822adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑖 ∈ 𝑁)
49 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ 𝑗 ∈ 𝑁)
5013, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14mat1ov 22305 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)))
51 ifnefalse 4535 . . . . . . . 8 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ if(𝑖 = 𝑗, (1rβ€˜π‘ƒ), (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5250, 51sylan9eq 2786 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑖 1 𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5352oveq2d 7421 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)))
542, 31jca 511 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
55543ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
5630, 41, 46ringrz 20193 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5857adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
5958ad2antrr 723 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6053, 59eqtrd 2766 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
6160adantr 480 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
62 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡))
6362, 23jca 511 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
6463ad2antrr 723 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
6519, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 22582 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗) = (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗) = (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)))
6761, 66oveq12d 7423 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗))))
68 fveq2 6885 . . . . . 6 ((𝑖𝑀𝑗) = 0 β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (π‘†β€˜ 0 ))
6968adantl 481 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (π‘†β€˜ 0 ))
701, 7, 10, 46ply1scl0 22164 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
71703ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7271ad4antr 729 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜ 0 ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7369, 72eqtrd 2766 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
7473oveq2d 7421 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (π‘†β€˜(𝑖𝑀𝑗))) = ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)))
75 ringgrp 20143 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
762, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Grp)
7730, 46grpidcl 18895 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
7876, 77jccir 521 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
79783ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
8030, 46, 12grpsubid 18952 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8179, 80syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8281ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((0gβ€˜π‘ƒ) βˆ’ (0gβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8367, 74, 823eqtrd 2770 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ ((𝑋(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑖 1 𝑗)) βˆ’ (𝑖(π‘‡β€˜π‘€)𝑗)) = (0gβ€˜π‘ƒ))
8428, 44, 833eqtrd 2770 1 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 β‰  𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) β†’ (𝑖((𝑋 Β· 1 )𝑍(π‘‡β€˜π‘€))𝑗) = (0gβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  ifcif 4523  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  algSccascl 21747  var1cv1 22050  Poly1cpl1 22051   Mat cmat 22262   matToPolyMat cmat2pmat 22561   CharPlyMat cchpmat 22683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-mat2pmat 22564
This theorem is referenced by:  chpdmat  22698
  Copyright terms: Public domain W3C validator