MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdmatlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdmatlem2 22086
Description: Lemma 2 for chpdmat 22088. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdmat.c 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chpdmat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x 𝑋 = (var1𝑅)
chpdmat.0 0 = (0g𝑅)
chpdmat.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m = (-g𝑃)
chpdmatlem.q 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1 1 = (1r𝑄)
chpdmatlem.m · = ( ·𝑠𝑄)
chpdmatlem.z 𝑍 = (-g𝑄)
chpdmatlem.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
chpdmatlem2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = (0g𝑃))

Proof of Theorem chpdmatlem2
StepHypRef Expression
1 chpdmat.p . . . . . 6 𝑃 = (Poly1𝑅)
21ply1ring 21517 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
323ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
43ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → 𝑃 ∈ Ring)
5 chpdmat.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6 chpdmat.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7 chpdmat.s . . . . . 6 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8 chpdmat.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
9 chpdmat.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
10 chpdmat.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
11 chpdmat.g . . . . . 6 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12 chpdmat.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
13 chpdmatlem.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14 chpdmatlem.1 . . . . . 6 1 = (1r𝑄)
15 chpdmatlem.m . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑄)
165, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15chpdmatlem0 22084 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17163adant3 1131 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
1817ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19 chpdmatlem.t . . . . 5 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2019, 6, 8, 1, 13mat2pmatbas 21973 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
2120ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
22 simpr 485 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) → 𝑖𝑁)
2322anim1i 615 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
2423ad2antrr 723 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
25 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
26 chpdmatlem.z . . . 4 𝑍 = (-g𝑄)
2713, 25, 26, 12matsubgcell 21681 . . 3 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
284, 18, 21, 24, 27syl121anc 1374 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
293ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
30 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
319, 1, 30vr1cl 21486 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32313ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
331, 13pmatring 21939 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
34333adant3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
3525, 14ringidcl 19894 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
3732, 36jca 512 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3837ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
3929, 38, 233jca 1127 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
4039ad2antrr 723 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
41 eqid 2736 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
4213, 25, 30, 15, 41matvscacell 21683 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
4340, 42syl 17 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
4443oveq1d 7344 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)))
45 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (1r𝑃) = (1r𝑃)
46 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g𝑃) = (0g𝑃)
47 simpll1 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
4822adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
49 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
5013, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14mat1ov 21695 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)))
51 ifnefalse 4484 . . . . . . . 8 (𝑖𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r𝑃), (0g𝑃)) = (0g𝑃))
5250, 51sylan9eq 2796 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑖 1 𝑗) = (0g𝑃))
5352oveq2d 7345 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)))
542, 31jca 512 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55543ad2ant2 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
5630, 41, 46ringrz 19914 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5857adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
5958ad2antrr 723 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(0g𝑃)) = (0g𝑃))
6053, 59eqtrd 2776 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g𝑃))
6160adantr 481 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g𝑃))
62 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵))
6362, 23jca 512 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
6463ad2antrr 723 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)))
6519, 6, 8, 1, 7mat2pmatvalel 21972 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
6664, 65syl 17 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑇𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
6761, 66oveq12d 7347 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = ((0g𝑃) (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))))
68 fveq2 6819 . . . . . 6 ((𝑖𝑀𝑗) = 0 → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆0 ))
6968adantl 482 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆0 ))
701, 7, 10, 46ply1scl0 21559 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
71703ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
7271ad4antr 729 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆0 ) = (0g𝑃))
7369, 72eqtrd 2776 . . . 4 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (0g𝑃))
7473oveq2d 7345 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g𝑃) (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))) = ((0g𝑃) (0g𝑃)))
75 ringgrp 19875 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
762, 75syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
7730, 46grpidcl 18695 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Grp → (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
7876, 77jccir 522 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
79783ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
8030, 46, 12grpsubid 18747 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0g𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8179, 80syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8281ad4antr 729 . . 3 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g𝑃) (0g𝑃)) = (0g𝑃))
8367, 74, 823eqtrd 2780 . 2 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r𝑃)(𝑖 1 𝑗)) (𝑖(𝑇𝑀)𝑗)) = (0g𝑃))
8428, 44, 833eqtrd 2780 1 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀𝐵) ∧ 𝑖𝑁) ∧ 𝑗𝑁) ∧ 𝑖𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇𝑀))𝑗) = (0g𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  ifcif 4472  cfv 6473  (class class class)co 7329  Fincfn 8796  Basecbs 17001  .rcmulr 17052   ·𝑠 cvsca 17055  0gc0g 17239  Grpcgrp 18665  -gcsg 18667  mulGrpcmgp 19807  1rcur 19824  Ringcrg 19870  algSccascl 21157  var1cv1 21445  Poly1cpl1 21446   Mat cmat 21652   matToPolyMat cmat2pmat 21951   CharPlyMat cchpmat 22073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-isom 6482  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-ofr 7588  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-supp 8040  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-pm 8681  df-ixp 8749  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-fsupp 9219  df-sup 9291  df-oi 9359  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-7 12134  df-8 12135  df-9 12136  df-n0 12327  df-z 12413  df-dec 12531  df-uz 12676  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-seq 13815  df-hash 14138  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-ip 17069  df-tset 17070  df-ple 17071  df-ds 17073  df-hom 17075  df-cco 17076  df-0g 17241  df-gsum 17242  df-prds 17247  df-pws 17249  df-mre 17384  df-mrc 17385  df-acs 17387  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-mhm 18519  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-mulg 18789  df-subg 18840  df-ghm 18920  df-cntz 19011  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-subrg 20119  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-sra 20532  df-rgmod 20533  df-dsmm 21037  df-frlm 21052  df-ascl 21160  df-psr 21210  df-mvr 21211  df-mpl 21212  df-opsr 21214  df-psr1 21449  df-vr1 21450  df-ply1 21451  df-mamu 21631  df-mat 21653  df-mat2pmat 21954
This theorem is referenced by:  chpdmat  22088
  Copyright terms: Public domain W3C validator