Theorem chpdmatlem2 23033

Description: Lemma 2 for chpdmat 23035. (Contributed by AV, 18-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdmat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chpdmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chpdmat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chpdmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpdmat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chpdmat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chpdmat.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
chpdmat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chpdmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpdmatlem.q	⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
chpdmatlem.1	⊢ 1 = (1r‘𝑄)
chpdmatlem.m	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
chpdmatlem.z	⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
chpdmatlem.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chpdmatlem2	⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

Proof of Theorem chpdmatlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdmat.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2	1	ply1ring 22444	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
3	2	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ Ring)
4	3	ad4antr 745	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → 𝑃 ∈ Ring)
5		chpdmat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
6		chpdmat.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
7		chpdmat.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
8		chpdmat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9		chpdmat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
10		chpdmat.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
11		chpdmat.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
12		chpdmat.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑃)
13		chpdmatlem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑁 Mat 𝑃)
14		chpdmatlem.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑄)
15		chpdmatlem.m	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑄)
16	5, 1, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chpdmatlem0 23031	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
17	16	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
18	17	ad4antr 745	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄))
19		chpdmatlem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
20	19, 6, 8, 1, 13	mat2pmatbas 22920	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
21	20	ad4antr 745	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄))
22		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23	22	anim1i 627	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
24	23	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
25		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
26		chpdmatlem.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (-g‘𝑄)
27	13, 25, 26, 12	matsubgcell 22628	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((𝑋 · 1 ) ∈ (Base‘𝑄) ∧ (𝑇‘𝑀) ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
28	4, 18, 21, 24, 27	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
29	3	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑃 ∈ Ring)
30		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
31	9, 1, 30	vr1cl 22414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
32	31	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
33	1, 13	pmatring 22886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ Ring)
34	33	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ Ring)
35	25, 14	ringidcl 20380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑄))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (Base‘𝑄))
37	32, 36	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
38	37	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)))
39	29, 38, 23	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
40	39	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
41		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
42	13, 25, 30, 15, 41	matvscacell 22630	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 1 ∈ (Base‘𝑄)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
43	40, 42	syl 18	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) = (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)))
44	43	oveq1d 7438	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑖(𝑋 · 1 )𝑗) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)))
45		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
46		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
47		simpll1 1231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
48	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
49		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
50	13, 45, 46, 47, 29, 48, 49, 14	mat1ov 22642	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖 1 𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)))
51		ifnefalse 4504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ≠ 𝑗 → if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑃), (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
52	50, 51	sylan9eq 2821	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖 1 𝑗) = (0g‘𝑃))
53	52	oveq2d 7439	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)))
54	2, 31	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
55	54	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)))
56	30, 41, 46	ringrz 20410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
57	55, 56	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
58	57	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
59	58	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
60	53, 59	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
61	60	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) = (0g‘𝑃))
62		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
63	62, 23	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
64	63	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)))
65	19, 6, 8, 1, 7	mat2pmatvalel 22919	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
66	64, 65	syl 18	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗) = (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)))
67	61, 66	oveq12d 7441	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))))
68		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖𝑀𝑗) = 0 → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
69	68	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (𝑆‘ 0 ))
70	1, 7, 10, 46	ply1scl0 22488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
71	70	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
72	71	ad4antr 745	. . . . 5 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘ 0 ) = (0g‘𝑃))
73	69, 72	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗)) = (0g‘𝑃))
74	73	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (𝑆‘(𝑖𝑀𝑗))) = ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)))
75		ringgrp 20351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
76	2, 75	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
77	30, 46	grpidcl 19063	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Grp → (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃))
78	76, 77	jccir 531	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
79	78	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)))
80	30, 46, 12	grpsubid 19121	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑃) ∈ (Base‘𝑃)) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
81	79, 80	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
82	81	ad4antr 745	. . 3 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((0g‘𝑃) − (0g‘𝑃)) = (0g‘𝑃))
83	67, 74, 82	3eqtrd 2805	. 2 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑃)(𝑖 1 𝑗)) − (𝑖(𝑇‘𝑀)𝑗)) = (0g‘𝑃))
84	28, 44, 83	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) ∧ (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝑖((𝑋 · 1 )𝑍(𝑇‘𝑀))𝑗) = (0g‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ifcif 4492  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  Basecbs 17294  ._rcmulr 17336   ·_𝑠 cvsca 17339  0_gc0g 17517  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033  mulGrpcmgp 20247  1_rcur 20294  Ringcrg 20346  algSccascl 22039  var₁cv1 22373  Poly₁cpl1 22374   Mat cmat 22601   matToPolyMat cmat2pmat 22898   CharPlyMat cchpmat 23020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-mhm 18872  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-mulg 19165  df-subg 19220  df-ghm 19315  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-ascl 22042  df-psr 22096  df-mvr 22097  df-mpl 22098  df-opsr 22100  df-psr1 22377  df-vr1 22378  df-ply1 22379  df-mamu 22585  df-mat 22602  df-mat2pmat 22901

This theorem is used by:  chpdmat  23035