Theorem dmatsubcl 22385

Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatsubcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatsubcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matgrp 22317	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ Grp)
4		dmatid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		dmatid.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		dmatid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
7	1, 4, 5, 6	dmatmat 22381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ 𝐵))
8	7	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 4, 5, 6	dmatmat 22381	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ 𝐵))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
14	4, 13	grpsubcl 18952	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
15	3, 9, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
19	7, 10	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
20	19	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
23		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	1, 4, 13, 23	matsubgcell 22321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
25	18, 21, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
27		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 17, 28	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
32		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
33		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
35	1, 4, 5, 6	dmatelnd 22383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗)) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
36	31, 32, 33, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
37		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
38	27, 17, 37	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
41	1, 4, 5, 6	dmatelnd 22383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗)) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
42	40, 32, 33, 34, 41	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
43	36, 42	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) = ( 0 (-g‘𝑅) 0 ))
44		ringgrp 20147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
45		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
46	45, 5	ring0cl 20176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
47	44, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
49	45, 5, 23	grpsubid 18956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	50	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
52	26, 43, 51	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 )
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
54	53	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
55	1, 4, 5, 6	dmatel 22380	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
56	55	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
57	15, 54, 56	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  Ringcrg 20142   Mat cmat 22294   DMat cdmat 22375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295  df-dmat 22377

This theorem is referenced by:  dmatsgrp  22386