Theorem dmatsubcl 22392

Description: The difference of two diagonal matrices is a diagonal matrix. (Contributed by AV, 19-Aug-2019.) (Revised by AV, 18-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmatid.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
dmatid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
dmatid.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dmatid.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
dmatsubcl	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem dmatsubcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmatid.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2	1	matgrp 22324	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Grp)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝐴 ∈ Grp)
4		dmatid.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		dmatid.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6		dmatid.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑁 DMat 𝑅)
7	1, 4, 5, 6	dmatmat 22388	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑋 ∈ 𝐵))
8	7	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	8	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	1, 4, 5, 6	dmatmat 22388	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌 ∈ 𝐷 → 𝑌 ∈ 𝐵))
11	10	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantrl 716	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (-g‘𝐴) = (-g‘𝐴)
14	4, 13	grpsubcl 18959	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
15	3, 9, 12, 14	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑅 ∈ Ring)
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
19	7, 10	anim12d 609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
20	19	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁))
23		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝑅) = (-g‘𝑅)
24	1, 4, 13, 23	matsubgcell 22328	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
25	18, 21, 22, 24	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)))
27		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑁 ∈ Fin)
28		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 17, 28	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
32		simplrl 776	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ∈ 𝑁)
33		simplrr 777	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑗 ∈ 𝑁)
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → 𝑖 ≠ 𝑗)
35	1, 4, 5, 6	dmatelnd 22390	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗)) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
36	31, 32, 33, 34, 35	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝑋𝑗) = 0 )
37		simprr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
38	27, 17, 37	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
39	38	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
40	39	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
41	1, 4, 5, 6	dmatelnd 22390	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ≠ 𝑗)) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
42	40, 32, 33, 34, 41	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖𝑌𝑗) = 0 )
43	36, 42	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ((𝑖𝑋𝑗)(-g‘𝑅)(𝑖𝑌𝑗)) = ( 0 (-g‘𝑅) 0 ))
44		ringgrp 20154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
45		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
46	45, 5	ring0cl 20183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ (Base‘𝑅))
47	44, 46	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
48	47	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)))
49	45, 5, 23	grpsubid 18963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
51	50	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → ( 0 (-g‘𝑅) 0 ) = 0 )
52	26, 43, 51	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ≠ 𝑗) → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 )
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) ∧ (𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
54	53	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))
55	1, 4, 5, 6	dmatel 22387	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
56	55	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖(𝑋(-g‘𝐴)𝑌)𝑗) = 0 ))))
57	15, 54, 56	mpbir2and 713	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷)) → (𝑋(-g‘𝐴)𝑌) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874  Ringcrg 20149   Mat cmat 22301   DMat cdmat 22382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-subg 19062  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-mat 22302  df-dmat 22384

This theorem is referenced by:  dmatsgrp  22393