HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjdifnormii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjdifnormii 29788
Description: Theorem 4.5(v)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjdifnormii (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))

Proof of Theorem pjdifnormii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . . 6 𝐺C
2 pjidm.2 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
31, 2pjhclii 29527 . . . . 5 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
43normcli 29236 . . . 4 (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℝ
54resqcli 13780 . . 3 ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
6 pjidm.1 . . . . . 6 𝐻C
76, 2pjhclii 29527 . . . . 5 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
87normcli 29236 . . . 4 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
98resqcli 13780 . . 3 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
105, 9subge0i 11410 . 2 (0 ≤ (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2))
11 his2sub 29197 . . . . 5 ((((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)))
123, 7, 2, 11mp3an 1463 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴))
131, 2pjinormii 29781 . . . . 5 (((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2)
146, 2pjinormii 29781 . . . . 5 (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)
1513, 14oveq12i 7244 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) ·ih 𝐴) − (((proj𝐻)‘𝐴) ·ih 𝐴)) = (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
1612, 15eqtri 2766 . . 3 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) = (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
1716breq2i 5076 . 2 (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ 0 ≤ (((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2) − ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)))
18 normge0 29231 . . . 4 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
197, 18ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))
20 normge0 29231 . . . 4 (((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))
213, 20ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))
228, 4le2sqi 13784 . . 3 ((0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2)))
2319, 21, 22mp2an 692 . 2 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ≤ ((norm‘((proj𝐺)‘𝐴))↑2))
2410, 17, 233bitr4i 306 1 (0 ≤ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐴) ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1543  wcel 2111   class class class wbr 5068  cfv 6398  (class class class)co 7232  0cc0 10754  cle 10893  cmin 11087  2c2 11910  cexp 13660  chba 29024   ·ih csp 29027  normcno 29028   cmv 29030   C cch 29034  projcpjh 29042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281  ax-cc 10074  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832  ax-addf 10833  ax-mulf 10834  ax-hilex 29104  ax-hfvadd 29105  ax-hvcom 29106  ax-hvass 29107  ax-hv0cl 29108  ax-hvaddid 29109  ax-hfvmul 29110  ax-hvmulid 29111  ax-hvmulass 29112  ax-hvdistr1 29113  ax-hvdistr2 29114  ax-hvmul0 29115  ax-hfi 29184  ax-his1 29187  ax-his2 29188  ax-his3 29189  ax-his4 29190  ax-hcompl 29307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-omul 8228  df-er 8412  df-map 8531  df-pm 8532  df-ixp 8600  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-fi 9052  df-sup 9083  df-inf 9084  df-oi 9151  df-card 9580  df-acn 9583  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-xneg 12729  df-xadd 12730  df-xmul 12731  df-ioo 12964  df-ico 12966  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fzo 13264  df-fl 13392  df-seq 13600  df-exp 13661  df-hash 13922  df-cj 14687  df-re 14688  df-im 14689  df-sqrt 14823  df-abs 14824  df-clim 15074  df-rlim 15075  df-sum 15275  df-struct 16725  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-starv 16842  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-ip 16845  df-tset 16846  df-ple 16847  df-ds 16849  df-unif 16850  df-hom 16851  df-cco 16852  df-rest 16952  df-topn 16953  df-0g 16971  df-gsum 16972  df-topgen 16973  df-pt 16974  df-prds 16977  df-xrs 17032  df-qtop 17037  df-imas 17038  df-xps 17040  df-mre 17114  df-mrc 17115  df-acs 17117  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-submnd 18244  df-mulg 18514  df-cntz 18736  df-cmn 19197  df-psmet 20380  df-xmet 20381  df-met 20382  df-bl 20383  df-mopn 20384  df-fbas 20385  df-fg 20386  df-cnfld 20389  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-lm 22150  df-haus 22236  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cfil 24176  df-cau 24177  df-cmet 24178  df-grpo 28598  df-gid 28599  df-ginv 28600  df-gdiv 28601  df-ablo 28650  df-vc 28664  df-nv 28697  df-va 28700  df-ba 28701  df-sm 28702  df-0v 28703  df-vs 28704  df-nmcv 28705  df-ims 28706  df-dip 28806  df-ssp 28827  df-ph 28918  df-cbn 28968  df-hnorm 29073  df-hba 29074  df-hvsub 29076  df-hlim 29077  df-hcau 29078  df-sh 29312  df-ch 29326  df-oc 29357  df-ch0 29358  df-shs 29413  df-pjh 29500
This theorem is referenced by:  pjdifnormi  30272
  Copyright terms: Public domain W3C validator