Theorem hoddi 29885

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 29675 does not require linearity.) (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoddi	⊢ ((𝑅 ∈ LinOp ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem hoddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq1 5703	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)))
2		coeq1 5703	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ 𝑆) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆))
3		coeq1 5703	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ 𝑇) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))
4	2, 3	oveq12d 7174	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)))
5	1, 4	eqeq12d 2774	. 2 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))))
6		oveq1 7163	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (𝑆 −op 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇))
7	6	coeq2d 5708	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)))
8		coeq2 5704	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )))
9	8	oveq1d 7171	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)))
10	7, 9	eqeq12d 2774	. 2 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))))
11		oveq2 7164	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
12	11	coeq2d 5708	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))))
13		coeq2 5704	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
14	13	oveq2d 7172	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))))
15	12, 14	eqeq12d 2774	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))))
16		0lnop 29879	. . . 4 ⊢ 0hop ∈ LinOp
17	16	elimel 4492	. . 3 ⊢ if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∈ LinOp
18		ho0f 29646	. . . 4 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
19	18	elimf 6502	. . 3 ⊢ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
20	18	elimf 6502	. . 3 ⊢ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
21	17, 19, 20	hoddii 29884	. 2 ⊢ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
22	5, 10, 15, 21	dedth3h 4483	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LinOp ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4423   ∘ ccom 5532  ⟶wf 6336  (class class class)co 7156   ℋchba 28814   −_op chod 28835   0_hop ch0o 28838  LinOpclo 28842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-addf 10667  ax-mulf 10668  ax-hilex 28894  ax-hfvadd 28895  ax-hvcom 28896  ax-hvass 28897  ax-hv0cl 28898  ax-hvaddid 28899  ax-hfvmul 28900  ax-hvmulid 28901  ax-hvmulass 28902  ax-hvdistr1 28903  ax-hvdistr2 28904  ax-hvmul0 28905  ax-hfi 28974  ax-his1 28977  ax-his2 28978  ax-his3 28979  ax-his4 28980  ax-hcompl 29097

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-oadd 8122  df-omul 8123  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-fi 8921  df-sup 8952  df-inf 8953  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-ioo 12796  df-ico 12798  df-icc 12799  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-fl 13224  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-rlim 14907  df-sum 15104  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-starv 16651  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-ds 16658  df-unif 16659  df-hom 16660  df-cco 16661  df-rest 16767  df-topn 16768  df-0g 16786  df-gsum 16787  df-topgen 16788  df-pt 16789  df-prds 16792  df-xrs 16846  df-qtop 16851  df-imas 16852  df-xps 16854  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-mulg 18305  df-cntz 18527  df-cmn 18988  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-fbas 20176  df-fg 20177  df-cnfld 20180  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-nei 21811  df-cn 21940  df-cnp 21941  df-lm 21942  df-haus 22028  df-tx 22275  df-hmeo 22468  df-fil 22559  df-fm 22651  df-flim 22652  df-flf 22653  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037  df-cfil 23968  df-cau 23969  df-cmet 23970  df-grpo 28388  df-gid 28389  df-ginv 28390  df-gdiv 28391  df-ablo 28440  df-vc 28454  df-nv 28487  df-va 28490  df-ba 28491  df-sm 28492  df-0v 28493  df-vs 28494  df-nmcv 28495  df-ims 28496  df-dip 28596  df-ssp 28617  df-ph 28708  df-cbn 28758  df-hnorm 28863  df-hba 28864  df-hvsub 28866  df-hlim 28867  df-hcau 28868  df-sh 29102  df-ch 29116  df-oc 29147  df-ch0 29148  df-shs 29203  df-pjh 29290  df-hodif 29627  df-h0op 29643  df-lnop 29736  df-hmop 29739

This theorem is referenced by:  opsqrlem6  30040