Theorem hoddi 32592

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 32382 does not require linearity.) (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hoddi	⊢ ((𝑅 ∈ LinOp ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))

Proof of Theorem hoddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq1 5835	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)))
2		coeq1 5835	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ 𝑆) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆))
3		coeq1 5835	. . . 4 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → (𝑅 ∘ 𝑇) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))
4	2, 3	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)))
5	1, 4	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑅 = if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))))
6		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (𝑆 −op 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇))
7	6	coeq2d 5840	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)))
8		coeq2 5836	. . . 4 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )))
9	8	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)))
10	7, 9	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑆 = if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑆) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇))))
11		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇) = (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
12	11	coeq2d 5840	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))))
13		coeq2 5836	. . . 4 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇) = (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
14	13	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))))
15	12, 14	eqeq12d 2777	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ) → ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op 𝑇)) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ 𝑇)) ↔ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))))
16		0lnop 32586	. . . 4 ⊢ 0hop ∈ LinOp
17	16	elimel 4552	. . 3 ⊢ if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∈ LinOp
18		ho0f 32353	. . . 4 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
19	18	elimf 6708	. . 3 ⊢ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
20	18	elimf 6708	. . 3 ⊢ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ): ℋ⟶ ℋ
21	17, 19, 20	hoddii 32591	. 2 ⊢ (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ (if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop ) −op if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop ))) = ((if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑆: ℋ⟶ ℋ, 𝑆, 0hop )) −op (if(𝑅 ∈ LinOp, 𝑅, 0hop ) ∘ if(𝑇: ℋ⟶ ℋ, 𝑇, 0hop )))
22	5, 10, 15, 21	dedth3h 4543	1 ⊢ ((𝑅 ∈ LinOp ∧ 𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420   ℋchba 31521   −_op chod 31542   0_hop ch0o 31545  LinOpclo 31549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-hilex 31601  ax-hfvadd 31602  ax-hvcom 31603  ax-hvass 31604  ax-hv0cl 31605  ax-hvaddid 31606  ax-hfvmul 31607  ax-hvmulid 31608  ax-hvmulass 31609  ax-hvdistr1 31610  ax-hvdistr2 31611  ax-hvmul0 31612  ax-hfi 31681  ax-his1 31684  ax-his2 31685  ax-his3 31686  ax-his4 31687  ax-hcompl 31804

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-lm 23547  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-dip 31303  df-ssp 31324  df-ph 31415  df-cbn 31465  df-hnorm 31570  df-hba 31571  df-hvsub 31573  df-hlim 31574  df-hcau 31575  df-sh 31809  df-ch 31823  df-oc 31854  df-ch0 31855  df-shs 31910  df-pjh 31997  df-hodif 32334  df-h0op 32350  df-lnop 32443  df-hmop 32446

This theorem is used by:  opsqrlem6  32747