Theorem hmopbdoptHIL 30291

Description: A Hermitian operator is a bounded linear operator (Hellinger-Toeplitz Theorem). (Contributed by NM, 18-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopbdoptHIL	⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)

Proof of Theorem hmopbdoptHIL

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmoplin 30245	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
2		hmop 30225	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ HrmOp ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
3	2	3expib 1120	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4	3	ralrimivv 3112	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
5		hilhl 29509	. . 3 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CHilOLD
6		df-hba 29272	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8	7	hhip 29480	. . . 4 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ LnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ LnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	7, 9	hhlnoi 30203	. . . 4 ⊢ LinOp = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ LnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ BLnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩) = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ BLnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
12	7, 11	hhbloi 30205	. . . 4 ⊢ BndLinOp = (⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ BLnOp ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
13	6, 8, 10, 12	htth 29221	. . 3 ⊢ ((⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩ ∈ CHilOLD ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
14	5, 13	mp3an1 1446	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ LinOp ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)) → 𝑇 ∈ BndLinOp)
15	1, 4, 14	syl2anc 583	1 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ⟨cop 4569  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260   LnOp clno 29043   BLnOp cblo 29045  CHil_OLDchlo 29188   ℋchba 29222   +_ℎ cva 29223   ·_ℎ csm 29224   ·_ih csp 29225  norm_ℎcno 29226  LinOpclo 29250  BndLinOpcbo 29251  HrmOpcho 29253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cc 10138  ax-dc 10149  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896  ax-addf 10897  ax-mulf 10898  ax-hilex 29302  ax-hfvadd 29303  ax-hvcom 29304  ax-hvass 29305  ax-hv0cl 29306  ax-hvaddid 29307  ax-hfvmul 29308  ax-hvmulid 29309  ax-hvmulass 29310  ax-hvdistr1 29311  ax-hvdistr2 29312  ax-hvmul0 29313  ax-hfi 29382  ax-his1 29385  ax-his2 29386  ax-his3 29387  ax-his4 29388  ax-hcompl 29505

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-oadd 8276  df-omul 8277  df-er 8461  df-map 8580  df-pm 8581  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fsupp 9075  df-fi 9116  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-card 9644  df-acn 9647  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-ico 13030  df-icc 13031  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-seq 13666  df-exp 13727  df-hash 13989  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-clim 15141  df-rlim 15142  df-sum 15342  df-struct 16792  df-sets 16809  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-ress 16886  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-starv 16921  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-tset 16925  df-ple 16926  df-ds 16928  df-unif 16929  df-hom 16930  df-cco 16931  df-rest 17077  df-topn 17078  df-0g 17096  df-gsum 17097  df-topgen 17098  df-pt 17099  df-prds 17102  df-xrs 17157  df-qtop 17162  df-imas 17163  df-xps 17165  df-mre 17239  df-mrc 17240  df-acs 17242  df-mgm 18270  df-sgrp 18319  df-mnd 18330  df-submnd 18375  df-mulg 18645  df-cntz 18867  df-cmn 19332  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-fbas 20538  df-fg 20539  df-cnfld 20542  df-top 21987  df-topon 22004  df-topsp 22026  df-bases 22040  df-cld 22114  df-ntr 22115  df-cls 22116  df-nei 22193  df-cn 22322  df-cnp 22323  df-lm 22324  df-t1 22409  df-haus 22410  df-cmp 22482  df-tx 22657  df-hmeo 22850  df-fil 22941  df-fm 23033  df-flim 23034  df-flf 23035  df-fcls 23036  df-xms 23417  df-ms 23418  df-tms 23419  df-cncf 23985  df-cfil 24362  df-cau 24363  df-cmet 24364  df-grpo 28796  df-gid 28797  df-ginv 28798  df-gdiv 28799  df-ablo 28848  df-vc 28862  df-nv 28895  df-va 28898  df-ba 28899  df-sm 28900  df-0v 28901  df-vs 28902  df-nmcv 28903  df-ims 28904  df-dip 29004  df-lno 29047  df-nmoo 29048  df-blo 29049  df-0o 29050  df-ph 29116  df-cbn 29166  df-hlo 29189  df-hnorm 29271  df-hba 29272  df-hvsub 29274  df-hlim 29275  df-hcau 29276  df-nmop 30142  df-lnop 30144  df-bdop 30145  df-hmop 30147

This theorem is referenced by:  hmopidmchi  30454