Theorem irradd 12941

Description: The sum of an irrational number and a rational number is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irradd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irradd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3955	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 12921	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		qsubcl 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ))
9		recn 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		qcn 12931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 11450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
14	8, 13	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
16	15	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℚ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
17	16	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → (𝐵 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)))
18	17	imp31 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
19	5, 18	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
20	1, 19	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
21		eldif 3955	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3942  (class class class)co 7394  ℂcc 11092  ℝcr 11093   + caddc 11097   − cmin 11428  ℚcq 12916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-div 11856  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-q 12917

This theorem is referenced by: (None)