Theorem irrmul 13016

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irrmul	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3961	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 12995	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	ad2ant2r 747	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		qdivcl 13012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	3expb 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
10		qcn 13005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		recn 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		divcan4 11949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
14	10, 13	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
15	14	3expb 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
17	9, 16	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
18	17	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
20	19	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
21	20	imp31 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
22	5, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
23	22	3impb 1115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
24	1, 23	syl3an1b 1405	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
25		eldif 3961	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
26	24, 25	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   · cmul 11160   / cdiv 11920  ℚcq 12990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-q 12991

This theorem is referenced by:  2logb9irrALT  26841