Theorem irrmul 12924

Description: The product of an irrational with a nonzero rational is irrational. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
irrmul	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem irrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3899	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ))
2		qre 12903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	ad2ant2r 748	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		qdivcl 12920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	3expb 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	expcom 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ))
10		qcn 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		recn 11128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12		divcan4 11836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
13	11, 12	syl3an1 1164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
14	10, 13	syl3an2 1165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
15	14	3expb 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) = 𝐴)
16	15	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴 · 𝐵) / 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
17	9, 16	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
18	17	con3d 152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
19	18	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
20	19	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℚ → ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)))
21	20	imp31 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ)
22	5, 21	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
23	22	3impb 1115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
24	1, 23	syl3an1b 1406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
25		eldif 3899	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℚ))
26	24, 25	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℚ) ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3886  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   / cdiv 11807  ℚcq 12898

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-q 12899

This theorem is referenced by:  2logb9irrALT  26762