MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qre 12693
Description: A rational number is a real number. (Contributed by NM, 14-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
qre (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem qre
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 12690 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
2 zre 12323 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 nnre 11980 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
4 nnne0 12007 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ≠ 0)
53, 4jca 512 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 0))
6 redivcl 11694 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
763expb 1119 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
82, 5, 7syl2an 596 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ)
9 eleq1 2826 . . . 4 (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℝ))
108, 9syl5ibrcom 246 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ))
1110rexlimivv 3221 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
121, 11sylbi 216 1 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  (class class class)co 7275  cr 10870  0cc0 10871   / cdiv 11632  cn 11973  cz 12319  cq 12688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-z 12320  df-q 12689
This theorem is referenced by:  qred  12695  qssre  12699  irradd  12713  irrmul  12714  qbtwnxr  12934  qsqueeze  12935  qextltlem  12936  xralrple  12939  ixxub  13100  ixxlb  13101  ioo0  13104  ico0  13125  ioc0  13126  qnumgt0  16454  pcabs  16576  blssps  23577  blss  23578  blcld  23661  qdensere  23933  nmoleub2lem3  24278  mbfaddlem  24824  dvlip2  25159  itgsubst  25213  aalioulem2  25493  aalioulem4  25495  aalioulem5  25496  aalioulem6  25497  aaliou  25498  aaliou2b  25501  ipasslem8  29199  irrdifflemf  35496  itg2gt0cn  35832  3cubeslem1  40506  3cubeslem2  40507  3cubeslem3r  40509  3cubeslem4  40511  irrapxlem5  40648  rpnnen3lem  40853  qinioo  43073  qelioo  43084  qndenserrnbllem  43835  smfaddlem1  44298  smfaddlem2  44299
  Copyright terms: Public domain W3C validator