Theorem mulgfn 19090

Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgfn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgfn	⊢ · Fn (ℤ × 𝐵)

Proof of Theorem mulgfn

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgfn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		mulgfn.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfval 19087	. 2 ⊢ · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
7		fvex 6919	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
8		fvex 6919	. . . 4 ⊢ (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) ∈ V
9		fvex 6919	. . . 4 ⊢ ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) ∈ V
10	8, 9	ifex 4576	. . 3 ⊢ if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) ∈ V
11	7, 10	ifex 4576	. 2 ⊢ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) ∈ V
12	6, 11	fnmpoi 8095	1 ⊢ · Fn (ℤ × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1540  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  -cneg 11493  ℕcn 12266  ℤcz 12613  seqcseq 14042  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  inv_gcminusg 18952  ._gcmg 19085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-mulg 19086

This theorem is referenced by:  mulgfvi  19091  tgpmulg2  24102