Theorem mulgfn 19114

Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgfn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgfn.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgfn	⊢ · Fn (ℤ × 𝐵)

Proof of Theorem mulgfn

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgfn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
5		mulgfn.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	mulgfval 19111	. 2 ⊢ · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
7		fvex 6880	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) ∈ V
8		fvex 6880	. . . 4 ⊢ (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) ∈ V
9		fvex 6880	. . . 4 ⊢ ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) ∈ V
10	8, 9	ifex 4531	. . 3 ⊢ if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) ∈ V
11	7, 10	ifex 4531	. 2 ⊢ if(𝑛 = 0, (0g‘𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg‘𝐺)‘(seq1((+g‘𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) ∈ V
12	6, 11	fnmpoi 8051	1 ⊢ · Fn (ℤ × 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1560  ifcif 4480  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5645   Fn wfn 6516  ‘cfv 6521  0cc0 11073  1c1 11074   < clt 11216  -cneg 11415  ℕcn 12210  ℤcz 12568  seqcseq 14014  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  inv_gcminusg 18976  ._gcmg 19109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-seq 14015  df-mulg 19110

This theorem is referenced by:  mulgfvi  19115  tgpmulg2  24151