MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgfn 19103
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgfn.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgfn · Fn (ℤ × 𝐵)

Proof of Theorem mulgfn
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgfn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 eqid 2735 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2735 . . 3 (invg𝐺) = (invg𝐺)
5 mulgfn.t . . 3 · = (.g𝐺)
61, 2, 3, 4, 5mulgfval 19100 . 2 · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
7 fvex 6920 . . 3 (0g𝐺) ∈ V
8 fvex 6920 . . . 4 (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) ∈ V
9 fvex 6920 . . . 4 ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) ∈ V
108, 9ifex 4581 . . 3 if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) ∈ V
117, 10ifex 4581 . 2 if(𝑛 = 0, (0g𝐺), if(0 < 𝑛, (seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), ((invg𝐺)‘(seq1((+g𝐺), (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) ∈ V
126, 11fnmpoi 8094 1 · Fn (ℤ × 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687   Fn wfn 6558  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulgfvi  19104  tgpmulg2  24118
  Copyright terms: Public domain W3C validator