Theorem mulgval 19096

Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgval.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgval.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgval.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgval	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Proof of Theorem mulgval

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑁)
2	1	eqeq1d 2763	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑛 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
3	1	breq2d 5111	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0 < 𝑛 ↔ 0 < 𝑁))
4		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
5	4	sneqd 4593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
6	5	xpeq2d 5675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (ℕ × {𝑥}) = (ℕ × {𝑋}))
7	6	seqeq3d 14019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋})))
8		mulgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
9	7, 8	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = 𝑆)
10	9, 1	fveq12d 6870	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) = (𝑆‘𝑁))
11	1	negeqd 11421	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → -𝑛 = -𝑁)
12	9, 11	fveq12d 6870	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛) = (𝑆‘-𝑁))
13	12	fveq2d 6867	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) = (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))
14	3, 10, 13	ifbieq12d 4508	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))))
15	2, 14	ifbieq2d 4506	. 2 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))
16		mulgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		mulgval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18		mulgval.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		mulgval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
20		mulgval.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
21	16, 17, 18, 19, 20	mulgfval 19094	. 2 ⊢ · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
22	18	fvexi 6877	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
23		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
24		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)) ∈ V
25	23, 24	ifex 4530	. . 3 ⊢ if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))) ∈ V
26	22, 25	ifex 4530	. 2 ⊢ if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))) ∈ V
27	15, 21, 26	ovmpoa 7547	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4479  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   < clt 11213  -cneg 11412  ℕcn 12207  ℤcz 12565  seqcseq 14011  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  0_gc0g 17451  inv_gcminusg 18959  ._gcmg 19092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-mulg 19093

This theorem is referenced by:  mulg0  19099  mulgnn  19100  mulgnegnn  19109  subgmulg  19165