MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgval 18884
Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgval.p + = (+gโ€˜๐บ)
mulgval.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgval.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
mulgval.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgval.s ๐‘† = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
Assertion
Ref Expression
mulgval ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, 0 , if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))))

Proof of Theorem mulgval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . 4 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘› = ๐‘)
21eqeq1d 2735 . . 3 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐‘› = 0 โ†” ๐‘ = 0))
31breq2d 5121 . . . 4 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (0 < ๐‘› โ†” 0 < ๐‘))
4 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‹)
54sneqd 4602 . . . . . . . 8 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ {๐‘ฅ} = {๐‘‹})
65xpeq2d 5667 . . . . . . 7 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (โ„• ร— {๐‘ฅ}) = (โ„• ร— {๐‘‹}))
76seqeq3d 13923 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹})))
8 mulgval.s . . . . . 6 ๐‘† = seq1( + , (โ„• ร— {๐‘‹}))
97, 8eqtr4di 2791 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ})) = ๐‘†)
109, 1fveq12d 6853 . . . 4 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›) = (๐‘†โ€˜๐‘))
111negeqd 11403 . . . . . 6 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ -๐‘› = -๐‘)
129, 11fveq12d 6853 . . . . 5 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›) = (๐‘†โ€˜-๐‘))
1312fveq2d 6850 . . . 4 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)) = (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))
143, 10, 13ifbieq12d 4518 . . 3 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›))) = if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘))))
152, 14ifbieq2d 4516 . 2 ((๐‘› = ๐‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘‹) โ†’ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))) = if(๐‘ = 0, 0 , if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))))
16 mulgval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
17 mulgval.p . . 3 + = (+gโ€˜๐บ)
18 mulgval.o . . 3 0 = (0gโ€˜๐บ)
19 mulgval.i . . 3 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
20 mulgval.t . . 3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2116, 17, 18, 19, 20mulgfval 18882 . 2 ยท = (๐‘› โˆˆ โ„ค, ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0 , if(0 < ๐‘›, (seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜๐‘›), (๐ผโ€˜(seq1( + , (โ„• ร— {๐‘ฅ}))โ€˜-๐‘›)))))
2218fvexi 6860 . . 3 0 โˆˆ V
23 fvex 6859 . . . 4 (๐‘†โ€˜๐‘) โˆˆ V
24 fvex 6859 . . . 4 (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)) โˆˆ V
2523, 24ifex 4540 . . 3 if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘))) โˆˆ V
2622, 25ifex 4540 . 2 if(๐‘ = 0, 0 , if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))) โˆˆ V
2715, 21, 26ovmpoa 7514 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = if(๐‘ = 0, 0 , if(0 < ๐‘, (๐‘†โ€˜๐‘), (๐ผโ€˜(๐‘†โ€˜-๐‘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  ifcif 4490  {csn 4590   class class class wbr 5109   ร— cxp 5635  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197  -cneg 11394  โ„•cn 12161  โ„คcz 12507  seqcseq 13915  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  0gc0g 17329  invgcminusg 18757  .gcmg 18880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-mulg 18881
This theorem is referenced by:  mulg0  18887  mulgnn  18888  mulgnegnn  18894  subgmulg  18950
  Copyright terms: Public domain W3C validator