Theorem mulgval 18619

Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgval.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgval.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgval.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgval	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Proof of Theorem mulgval

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑁)
2	1	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑛 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
3	1	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0 < 𝑛 ↔ 0 < 𝑁))
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
5	4	sneqd 4570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
6	5	xpeq2d 5610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (ℕ × {𝑥}) = (ℕ × {𝑋}))
7	6	seqeq3d 13657	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋})))
8		mulgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
9	7, 8	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = 𝑆)
10	9, 1	fveq12d 6763	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) = (𝑆‘𝑁))
11	1	negeqd 11145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → -𝑛 = -𝑁)
12	9, 11	fveq12d 6763	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛) = (𝑆‘-𝑁))
13	12	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) = (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))
14	3, 10, 13	ifbieq12d 4484	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))))
15	2, 14	ifbieq2d 4482	. 2 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))
16		mulgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		mulgval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18		mulgval.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		mulgval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
20		mulgval.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
21	16, 17, 18, 19, 20	mulgfval 18617	. 2 ⊢ · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
22	18	fvexi 6770	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
23		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
24		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)) ∈ V
25	23, 24	ifex 4506	. . 3 ⊢ if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))) ∈ V
26	22, 25	ifex 4506	. 2 ⊢ if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))) ∈ V
27	15, 21, 26	ovmpoa 7406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940  -cneg 11136  ℕcn 11903  ℤcz 12249  seqcseq 13649  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  inv_gcminusg 18493  ._gcmg 18615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-mulg 18616

This theorem is referenced by:  mulg0  18622  mulgnn  18623  mulgnegnn  18629  subgmulg  18684