Theorem mulgval 19059

Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgval.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgval.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgval.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgval.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgval.s	⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))

Assertion

Ref	Expression
mulgval	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Proof of Theorem mulgval

Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑁)
2	1	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑛 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
3	1	breq2d 5136	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (0 < 𝑛 ↔ 0 < 𝑁))
4		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
5	4	sneqd 4618	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
6	5	xpeq2d 5689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (ℕ × {𝑥}) = (ℕ × {𝑋}))
7	6	seqeq3d 14032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋})))
8		mulgval.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
9	7, 8	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = 𝑆)
10	9, 1	fveq12d 6888	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) = (𝑆‘𝑁))
11	1	negeqd 11481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → -𝑛 = -𝑁)
12	9, 11	fveq12d 6888	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛) = (𝑆‘-𝑁))
13	12	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) = (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))
14	3, 10, 13	ifbieq12d 4534	. . 3 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) = if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))))
15	2, 14	ifbieq2d 4532	. 2 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 = 𝑋) → if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))
16		mulgval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
17		mulgval.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
18		mulgval.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
19		mulgval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
20		mulgval.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
21	16, 17, 18, 19, 20	mulgfval 19057	. 2 ⊢ · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
22	18	fvexi 6895	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
23		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝑁) ∈ V
24		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)) ∈ V
25	23, 24	ifex 4556	. . 3 ⊢ if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))) ∈ V
26	22, 25	ifex 4556	. 2 ⊢ if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))) ∈ V
27	15, 21, 26	ovmpoa 7567	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆‘𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5124   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   < clt 11274  -cneg 11472  ℕcn 12245  ℤcz 12593  seqcseq 14024  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  0_gc0g 17458  inv_gcminusg 18922  ._gcmg 19055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-seq 14025  df-mulg 19056

This theorem is referenced by:  mulg0  19062  mulgnn  19063  mulgnegnn  19072  subgmulg  19128