MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgval 19102
Description: Value of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgval.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgval.p + = (+g𝐺)
mulgval.o 0 = (0g𝐺)
mulgval.i 𝐼 = (invg𝐺)
mulgval.t · = (.g𝐺)
mulgval.s 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
Assertion
Ref Expression
mulgval ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))

Proof of Theorem mulgval
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → 𝑛 = 𝑁)
21eqeq1d 2737 . . 3 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (𝑛 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
31breq2d 5160 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (0 < 𝑛 ↔ 0 < 𝑁))
4 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → 𝑥 = 𝑋)
54sneqd 4643 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → {𝑥} = {𝑋})
65xpeq2d 5719 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (ℕ × {𝑥}) = (ℕ × {𝑋}))
76seqeq3d 14047 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = seq1( + , (ℕ × {𝑋})))
8 mulgval.s . . . . . 6 𝑆 = seq1( + , (ℕ × {𝑋}))
97, 8eqtr4di 2793 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → seq1( + , (ℕ × {𝑥})) = 𝑆)
109, 1fveq12d 6914 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛) = (𝑆𝑁))
111negeqd 11500 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → -𝑛 = -𝑁)
129, 11fveq12d 6914 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛) = (𝑆‘-𝑁))
1312fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)) = (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))
143, 10, 13ifbieq12d 4559 . . 3 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛))) = if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))))
152, 14ifbieq2d 4557 . 2 ((𝑛 = 𝑁𝑥 = 𝑋) → if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))
16 mulgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
17 mulgval.p . . 3 + = (+g𝐺)
18 mulgval.o . . 3 0 = (0g𝐺)
19 mulgval.i . . 3 𝐼 = (invg𝐺)
20 mulgval.t . . 3 · = (.g𝐺)
2116, 17, 18, 19, 20mulgfval 19100 . 2 · = (𝑛 ∈ ℤ, 𝑥𝐵 ↦ if(𝑛 = 0, 0 , if(0 < 𝑛, (seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘𝑛), (𝐼‘(seq1( + , (ℕ × {𝑥}))‘-𝑛)))))
2218fvexi 6921 . . 3 0 ∈ V
23 fvex 6920 . . . 4 (𝑆𝑁) ∈ V
24 fvex 6920 . . . 4 (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)) ∈ V
2523, 24ifex 4581 . . 3 if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁))) ∈ V
2622, 25ifex 4581 . 2 if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))) ∈ V
2715, 21, 26ovmpoa 7588 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) = if(𝑁 = 0, 0 , if(0 < 𝑁, (𝑆𝑁), (𝐼‘(𝑆‘-𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   < clt 11293  -cneg 11491  cn 12264  cz 12611  seqcseq 14039  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  invgcminusg 18965  .gcmg 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-mulg 19099
This theorem is referenced by:  mulg0  19105  mulgnn  19106  mulgnegnn  19115  subgmulg  19171
  Copyright terms: Public domain W3C validator