MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivtr 12264
Description: Transitive property of divisibility: if ๐ด divides ๐ต and ๐ต divides ๐ถ, then ๐ด divides ๐ถ. Typically, ๐ถ would be an integer, although the theorem holds for complex ๐ถ. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
nndivtr (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem nndivtr
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 12241 . . 3 (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„•)
2 nncn 12225 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
323ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 simp3 1137 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
5 nncn 12225 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6 nnne0 12251 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐ด โ‰  0)
75, 6jca 511 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
873ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
9 nnne0 12251 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โ‰  0)
102, 9jca 511 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
11103ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
12 divmul24 11923 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)))
133, 4, 8, 11, 12syl22anc 836 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)))
142, 9dividd 11993 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ (๐ต / ๐ต) = 1)
1514oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (1 ยท (๐ถ / ๐ด)))
16153ad2ant2 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ต) ยท (๐ถ / ๐ด)) = (1 ยท (๐ถ / ๐ด)))
17 divcl 11883 . . . . . . . . . 10 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
18173expb 1119 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
197, 18sylan2 592 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2019ancoms 458 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2120mullidd 11237 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ด))
22213adant2 1130 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท (๐ถ / ๐ด)) = (๐ถ / ๐ด))
2313, 16, 223eqtrd 2775 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) = (๐ถ / ๐ด))
2423eleq1d 2817 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต / ๐ด) ยท (๐ถ / ๐ต)) โˆˆ โ„• โ†” (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•))
251, 24imbitrid 243 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•))
2625imp 406 1 (((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โˆง ((๐ต / ๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  0cc0 11113  1c1 11114   ยท cmul 11118   / cdiv 11876  โ„•cn 12217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218
This theorem is referenced by:  permnn  14291  infpnlem1  16848
  Copyright terms: Public domain W3C validator