Theorem nndivtr 12340

Description: Transitive property of divisibility: if 𝐴 divides 𝐵 and 𝐵 divides 𝐶, then 𝐴 divides 𝐶. Typically, 𝐶 would be an integer, although the theorem holds for complex 𝐶. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nndivtr	⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nndivtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 12317	. . 3 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ)
2		nncn 12301	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3	2	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5		nncn 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		nnne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
7	5, 6	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
8	7	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
9		nnne0 12327	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
10	2, 9	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
12		divmul24 11998	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
13	3, 4, 8, 11, 12	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
14	2, 9	dividd 12068	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
15	14	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
17		divcl 11955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
18	17	3expb 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
19	7, 18	sylan2 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
20	19	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	20	mullidd 11308	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
22	21	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
23	13, 16, 22	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = (𝐶 / 𝐴))
24	23	eleq1d 2829	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
25	1, 24	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
26	25	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   / cdiv 11947  ℕcn 12293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294

This theorem is referenced by:  permnn  14375  infpnlem1  16957