Theorem nnennex 49148

Description: For each even positive integer there is a positive integer which, multiplied by 2, results in the even positive integer. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnennex	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 = (2 · 𝑚))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nnennex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
2		oveq2 7405	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
3	2	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 / 2) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
5		nncn 12219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cnd 12297	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12325	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
9		divcan2 11854	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1391	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
12	11	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
13	1, 4, 12	rspcedvd 3584	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 = (2 · 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3087  (class class class)co 7397  ℂcc 11072  0cc0 11074   · cmul 11079   / cdiv 11845  ℕcn 12211  2c2 12273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281

This theorem is referenced by: (None)