Theorem nnennex 48792

Description: For each even positive integer there is a positive integer which, multiplied by 2, results in the even positive integer. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnennex	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 = (2 · 𝑚))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nnennex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ)
2		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
3	2	eqeq2d 2747	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 / 2) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
5		nncn 12155	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cnd 12225	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12251	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
9		divcan2 11806	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	eqcomd 2742	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
13	1, 4, 12	rspcedvd 3578	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 = (2 · 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210

This theorem is referenced by: (None)