Theorem nn0enn0ex 48374

Description: For each even nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2, results in the even nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0enn0ex	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0enn0ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
2		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑁 / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
4	3	eqeq2d 2746	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
5		nn0cn 12534	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		2cnd 12342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7		2ne0 12368	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
9		divcan2 11928	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
10	9	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
11	5, 6, 8, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
13	1, 4, 12	rspcedvd 3624	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525

This theorem is referenced by: (None)