Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0enn0ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0enn0ex 43953
Description: For each even nonnegative integer there is a nonnegative integer which, multiplied by 2, results in the even nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0enn0ex ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem nn0enn0ex
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
2 oveq2 6986 . . . 4 (𝑚 = (𝑁 / 2) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
32adantl 474 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (2 · 𝑚) = (2 · (𝑁 / 2)))
43eqeq2d 2788 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = (𝑁 / 2)) → (𝑁 = (2 · 𝑚) ↔ 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2))))
5 nn0cn 11721 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6 2cnd 11521 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
7 2ne0 11554 . . . . 5 2 ≠ 0
87a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
9 divcan2 11109 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109eqcomd 2784 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
115, 6, 8, 10syl3anc 1351 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
1211adantr 473 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → 𝑁 = (2 · (𝑁 / 2)))
131, 4, 12rspcedvd 3542 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ0) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑁 = (2 · 𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wrex 3089  (class class class)co 6978  cc 10335  0cc0 10337   · cmul 10342   / cdiv 11100  2c2 11498  0cn0 11710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-n0 11711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator