![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > nnennexALTV | Structured version Visualization version GIF version |
Description: For each even positive integer there is a positive integer which, multiplied by 2, results in the even positive integer. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
nnennexALTV | โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Even ) โ โ๐ โ โ ๐ = (2 ยท ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | nneven 47100 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Even ) โ (๐ / 2) โ โ) | |
2 | oveq2 7423 | . . . 4 โข (๐ = (๐ / 2) โ (2 ยท ๐) = (2 ยท (๐ / 2))) | |
3 | 2 | eqeq2d 2736 | . . 3 โข (๐ = (๐ / 2) โ (๐ = (2 ยท ๐) โ ๐ = (2 ยท (๐ / 2)))) |
4 | 3 | adantl 480 | . 2 โข (((๐ โ โ โง ๐ โ Even ) โง ๐ = (๐ / 2)) โ (๐ = (2 ยท ๐) โ ๐ = (2 ยท (๐ / 2)))) |
5 | nncn 12248 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | |
6 | 2cnd 12318 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ 2 โ โ) | |
7 | 2ne0 12344 | . . . . 5 โข 2 โ 0 | |
8 | 7 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ โ โ 2 โ 0) |
9 | divcan2 11908 | . . . . 5 โข ((๐ โ โ โง 2 โ โ โง 2 โ 0) โ (2 ยท (๐ / 2)) = ๐) | |
10 | 9 | eqcomd 2731 | . . . 4 โข ((๐ โ โ โง 2 โ โ โง 2 โ 0) โ ๐ = (2 ยท (๐ / 2))) |
11 | 5, 6, 8, 10 | syl3anc 1368 | . . 3 โข (๐ โ โ โ ๐ = (2 ยท (๐ / 2))) |
12 | 11 | adantr 479 | . 2 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Even ) โ ๐ = (2 ยท (๐ / 2))) |
13 | 1, 4, 12 | rspcedvd 3604 | 1 โข ((๐ โ โ โง ๐ โ Even ) โ โ๐ โ โ ๐ = (2 ยท ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2930 โwrex 3060 (class class class)co 7415 โcc 11134 0cc0 11136 ยท cmul 11141 / cdiv 11899 โcn 12240 2c2 12295 Even ceven 47026 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7868 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-er 8721 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-div 11900 df-nn 12241 df-2 12303 df-z 12587 df-even 47028 |
This theorem is referenced by: fppr2odd 47133 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |