Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnennexALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnennexALTV 47103
Description: For each even positive integer there is a positive integer which, multiplied by 2, results in the even positive integer. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
nnennexALTV ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ๐‘ = (2 ยท ๐‘š))
Distinct variable group:   ๐‘š,๐‘

Proof of Theorem nnennexALTV
StepHypRef Expression
1 nneven 47100 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„•)
2 oveq2 7423 . . . 4 (๐‘š = (๐‘ / 2) โ†’ (2 ยท ๐‘š) = (2 ยท (๐‘ / 2)))
32eqeq2d 2736 . . 3 (๐‘š = (๐‘ / 2) โ†’ (๐‘ = (2 ยท ๐‘š) โ†” ๐‘ = (2 ยท (๐‘ / 2))))
43adantl 480 . 2 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โˆง ๐‘š = (๐‘ / 2)) โ†’ (๐‘ = (2 ยท ๐‘š) โ†” ๐‘ = (2 ยท (๐‘ / 2))))
5 nncn 12248 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
6 2cnd 12318 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7 2ne0 12344 . . . . 5 2 โ‰  0
87a1i 11 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰  0)
9 divcan2 11908 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ (2 ยท (๐‘ / 2)) = ๐‘)
109eqcomd 2731 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘ / 2)))
115, 6, 8, 10syl3anc 1368 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘ / 2)))
1211adantr 479 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ ๐‘ = (2 ยท (๐‘ / 2)))
131, 4, 12rspcedvd 3604 1 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ Even ) โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„• ๐‘ = (2 ยท ๐‘š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆƒwrex 3060  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136   ยท cmul 11141   / cdiv 11899  โ„•cn 12240  2c2 12295   Even ceven 47026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-z 12587  df-even 47028
This theorem is referenced by:  fppr2odd  47133
  Copyright terms: Public domain W3C validator