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Theorem fppr2odd 47718
Description: A Fermat pseudoprime to the base 2 is odd. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fppr2odd (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )

Proof of Theorem fppr2odd
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12339 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 fpprel 47715 . . . 4 (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
4 eluz4nn 12928 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ)
6 eluzelz 12888 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
7 zeo2ALTV 47658 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
98adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
109biimprd 248 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Even ))
11 nnennexALTV 47688 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ Even ) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦))
125, 10, 11syl6an 684 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦)))
13 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (𝑋 − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
1413oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (2↑(𝑋 − 1)) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 = (2 · 𝑦))
1614, 15oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (2 · 𝑦) → ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)))
1716eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
1817adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
19 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2220, 21nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
25 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2619, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2722nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
28 modmuladdim 13955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℝ+) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
3024adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
3119, 30, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
3231zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
33 zcn 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
36 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3835, 37mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
3934, 38mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
40 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
41 subadd 11511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1))))
42 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1))
4341, 42bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
4432, 39, 40, 43syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
45 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4645, 36mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4846, 47subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
50 npcan1 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5251eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1))
5352oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)))
54 2t1e2 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
5554eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (2 · 1)
5655oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 · 𝑦) − 2) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1))
57 sub1m1 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 · 𝑦) ∈ ℂ → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5838, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5935, 37, 40subdid 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1)))
6056, 58, 593eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = (2 · (𝑦 − 1)))
61 2nn0 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
63 nnm1nn0 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6562, 64nn0mulcld 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) ∈ ℕ0)
6660, 65eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
6735, 66expp1d 14187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2))
6835, 66expcld 14186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℂ)
6968, 35mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7067, 69eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7153, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7234, 35, 37mul12d 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) = (2 · (𝑚 · 𝑦)))
7371, 72oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7434, 37mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℂ)
7535, 68, 74subdid 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7675eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7773, 76eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7877eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1))
79 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
8019, 66, 79sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
81 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
82 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
8481, 83zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℤ)
8580, 84zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ)
86 m2even 47641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
88 1oddALTV 47677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ Odd
89 zneoALTV 47656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even ∧ 1 ∈ Odd ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
9087, 88, 89sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
91 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9290, 91syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9378, 92sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9444, 93sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9594rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9629, 95syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9897adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9918, 98sylbid 240 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
10099ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
101100rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
102101com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd )))
103102imp 406 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd ))
10412, 103syld 47 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1051043adant2 1132 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1063, 105sylbi 217 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
107106pm2.18d 127 1 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  wrex 3070  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cmin 11492  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102  cprime 16708   Even ceven 47611   Odd codd 47612   FPPr cfppr 47711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-dvds 16291  df-even 47613  df-odd 47614  df-fppr 47712
This theorem is referenced by:  fpprel2  47728
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