fppr2odd - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem fppr2odd 48219

Description: A Fermat pseudoprime to the base 2 is odd. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
fppr2odd	⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )

Proof of Theorem fppr2odd Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12245	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		fpprel 48216	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
4		eluz4nn 12831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ)
6		eluzelz 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
7		zeo2ALTV 48159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
9	8	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
10	9	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Even ))
11		nnennexALTV 48189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ Even ) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦))
12	5, 10, 11	syl6an 685	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦)))
13		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = (2 · 𝑦) → (𝑋 − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
14	13	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (2 · 𝑦) → (2↑(𝑋 − 1)) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)))
15		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 = (2 · 𝑦))
16	14, 15	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = (2 · 𝑦) → ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)))
17	16	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
19		2z 12550	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
21		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
22	20, 21	nnmulcld 12221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
23		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ₀)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ₀)
25		zexpcl 14029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ₀) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
26	19, 24, 25	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
27	22	nnrpd 12975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ⁺)
28		modmuladdim 13867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℝ⁺) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
29	26, 27, 28	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
30	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ₀)
31	19, 30, 25	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
33		zcn 12520	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
35		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
36		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
38	35, 37	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
39	34, 38	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
40		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
41		subadd 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1))))
42		eqcom 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1))
43	41, 42	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
44	32, 39, 40, 43	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
45		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
46	45, 36	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
48	46, 47	subcld 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
50		npcan1 11566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
52	51	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1))
53	52	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)))
54		2t1e2 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 · 1) = 2
55	54	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 = (2 · 1)
56	55	oveq2i 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 · 𝑦) − 2) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1))
57		sub1m1 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℂ → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
58	38, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
59	35, 37, 40	subdid 11597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1)))
60	56, 58, 59	3eqtr4a 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = (2 · (𝑦 − 1)))
61		2nn0 12445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ₀)
63		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ₀)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 − 1) ∈ ℕ₀)
65	62, 64	nn0mulcld 12494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) ∈ ℕ₀)
66	60, 65	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ₀)
67	35, 66	expp1d 14100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2))
68	35, 66	expcld 14099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℂ)
69	68, 35	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
70	67, 69	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
71	53, 70	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
72	34, 35, 37	mul12d 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) = (2 · (𝑚 · 𝑦)))
73	71, 72	oveq12d 7378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
74	34, 37	mulcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℂ)
75	35, 68, 74	subdid 11597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
76	75	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
77	73, 76	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
78	77	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1))
79		zexpcl 14029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ₀) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
80	19, 66, 79	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
81		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
82		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
84	81, 83	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℤ)
85	80, 84	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ)
86		m2even 48142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
88		1oddALTV 48178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ Odd
89		zneoALTV 48157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even ∧ 1 ∈ Odd ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
90	87, 88, 89	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
91		eqneqall 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
92	90, 91	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
93	78, 92	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
94	44, 93	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
95	94	rexlimdva 3139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
96	29, 95	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
98	97	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
99	18, 98	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
100	99	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
101	100	rexlimdva 3139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
102	101	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd )))
103	102	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd ))
104	12, 103	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
105	104	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ_≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
106	3, 105	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
107	106	pm2.18d 127	1 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∉ wnel 3037 ∃wrex 3062 ‘cfv 6492 (class class class)co 7360 ℂcc 11027 1c1 11030 + caddc 11032 · cmul 11034 − cmin 11368 ℕcn 12165 2c2 12227 4c4 12229 ℕ₀cn0 12428 ℤcz 12515 ℤ_≥cuz 12779 ℝ⁺crp 12933 mod cmo 13819 ↑cexp 14014 ℙcprime 16631 Even ceven 48112 Odd codd 48113 FPPr cfppr 48212

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5231 ax-nul 5241 ax-pow 5302 ax-pr 5370 ax-un 7682 ax-cnex 11085 ax-resscn 11086 ax-1cn 11087 ax-icn 11088 ax-addcl 11089 ax-addrcl 11090 ax-mulcl 11091 ax-mulrcl 11092 ax-mulcom 11093 ax-addass 11094 ax-mulass 11095 ax-distr 11096 ax-i2m1 11097 ax-1ne0 11098 ax-1rid 11099 ax-rnegex 11100 ax-rrecex 11101 ax-cnre 11102 ax-pre-lttri 11103 ax-pre-lttrn 11104 ax-pre-ltadd 11105 ax-pre-mulgt0 11106 ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7317 df-ov 7363 df-oprab 7364 df-mpo 7365 df-om 7811 df-2nd 7936 df-frecs 8224 df-wrecs 8255 df-recs 8304 df-rdg 8342 df-er 8636 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-sup 9348 df-inf 9349 df-pnf 11172 df-mnf 11173 df-xr 11174 df-ltxr 11175 df-le 11176 df-sub 11370 df-neg 11371 df-div 11799 df-nn 12166 df-2 12235 df-3 12236 df-4 12237 df-n0 12429 df-z 12516 df-uz 12780 df-rp 12934 df-ico 13295 df-fl 13742 df-mod 13820 df-seq 13955 df-exp 14015 df-dvds 16213 df-even 48114 df-odd 48115 df-fppr 48213

This theorem is referenced by: fpprel2 48229

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