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Theorem fppr2odd 44617
 Description: A Fermat pseudoprime to the base 2 is odd. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fppr2odd (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )

Proof of Theorem fppr2odd
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11748 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 fpprel 44614 . . . 4 (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
4 eluz4nn 12327 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
54adantr 485 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ)
6 eluzelz 12293 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
7 zeo2ALTV 44557 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
98adantr 485 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
109biimprd 251 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Even ))
11 nnennexALTV 44587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ Even ) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦))
125, 10, 11syl6an 684 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦)))
13 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (𝑋 − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
1413oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (2↑(𝑋 − 1)) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 = (2 · 𝑦))
1614, 15oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (2 · 𝑦) → ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)))
1716eqeq1d 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
1817adantl 486 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
19 2z 12054 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2220, 21nnmulcld 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 11976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
25 zexpcl 13495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2619, 24, 25sylancr 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2722nnrpd 12471 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
28 modmuladdim 13332 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℝ+) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
2926, 27, 28syl2anc 588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
3024adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
3119, 30, 25sylancr 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
3231zcnd 12128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
33 zcn 12026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 2cnd 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
36 nncn 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3736adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3835, 37mulcld 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
3934, 38mulcld 10700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
40 1cnd 10675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
41 subadd 10928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1))))
42 eqcom 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1))
4341, 42syl6bb 291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
4432, 39, 40, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
45 2cnd 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4645, 36mulcld 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4846, 47subcld 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
4948adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
50 npcan1 11104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5251eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1))
5352oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)))
54 2t1e2 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
5554eqcomi 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (2 · 1)
5655oveq2i 7162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 · 𝑦) − 2) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1))
57 sub1m1 11927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 · 𝑦) ∈ ℂ → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5838, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5935, 37, 40subdid 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1)))
6056, 58, 593eqtr4a 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = (2 · (𝑦 − 1)))
61 2nn0 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
63 nnm1nn0 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6463adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6562, 64nn0mulcld 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) ∈ ℕ0)
6660, 65eqeltrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
6735, 66expp1d 13562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2))
6835, 66expcld 13561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℂ)
6968, 35mulcomd 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7067, 69eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7153, 70eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7234, 35, 37mul12d 10888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) = (2 · (𝑚 · 𝑦)))
7371, 72oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7434, 37mulcld 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℂ)
7535, 68, 74subdid 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7675eqcomd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7773, 76eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7877eqeq1d 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1))
79 zexpcl 13495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
8019, 66, 79sylancr 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
81 simpr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
82 nnz 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
8382adantr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
8481, 83zmulcld 12133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℤ)
8580, 84zsubcld 12132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ)
86 m2even 44540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
88 1oddALTV 44576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ Odd
89 zneoALTV 44555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even ∧ 1 ∈ Odd ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
9087, 88, 89sylancl 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
91 eqneqall 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9290, 91syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9378, 92sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9444, 93sylbird 263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9594rexlimdva 3209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9629, 95syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9796adantl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9897adantr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9918, 98sylbid 243 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
10099ex 417 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
101100rexlimdva 3209 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
102101com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd )))
103102imp 411 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd ))
10412, 103syld 47 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1051043adant2 1129 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1063, 105sylbi 220 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
107106pm2.18d 127 1 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∉ wnel 3056  ∃wrex 3072  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10574  1c1 10577   + caddc 10579   · cmul 10581   − cmin 10909  ℕcn 11675  2c2 11730  4c4 11732  ℕ0cn0 11935  ℤcz 12021  ℤ≥cuz 12283  ℝ+crp 12431   mod cmo 13287  ↑cexp 13480  ℙcprime 16068   Even ceven 44510   Odd codd 44511   FPPr cfppr 44610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-inf 8941  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-ico 12786  df-fl 13212  df-mod 13288  df-seq 13420  df-exp 13481  df-dvds 15657  df-even 44512  df-odd 44513  df-fppr 44611 This theorem is referenced by:  fpprel2  44627
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