Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fppr2odd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fppr2odd 46697
Description: A Fermat pseudoprime to the base 2 is odd. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fppr2odd (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd )

Proof of Theorem fppr2odd
Dummy variables ๐‘š ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . 4 2 โˆˆ โ„•
2 fpprel 46694 . . . 4 (2 โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1))
4 eluz4nn 12874 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
54adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
6 eluzelz 12836 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
7 zeo2ALTV 46637 . . . . . . . . 9 (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘‹ โˆˆ Even โ†” ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ Even โ†” ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
98adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ Even โ†” ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
109biimprd 247 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Even ))
11 nnennexALTV 46667 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ Even ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ))
125, 10, 11syl6an 680 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ)))
13 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
1413oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ (2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) = (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ))
1614, 15oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)))
1716eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . 11 (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1))
1817adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1))
19 2z 12598 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„ค
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
2220, 21nnmulcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„•)
23 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
25 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2619, 24, 25sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2722nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+)
28 modmuladdim 13883 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค โˆง (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„+) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1)))
2926, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1 โ†’ โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1)))
3024adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3119, 30, 25sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
33 zcn 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
35 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
36 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3736adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3835, 37mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3934, 38mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚)
40 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
41 subadd 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†” ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) = (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))))
42 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) = (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โ†” (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1))
4341, 42bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†” (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1)))
4432, 39, 40, 43syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†” (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1)))
45 2cnd 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
4645, 36mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
47 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4846, 47subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4948adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
50 npcan1 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1))
5251eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) = ((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1))
5352oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = (2โ†‘((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)))
54 2t1e2 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 ยท 1) = 2
5554eqcomi 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (2 ยท 1)
5655oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 2) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท 1))
57 sub1m1 12468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 2))
5838, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 2))
5935, 37, 40subdid 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ 1)) = ((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ (2 ยท 1)))
6056, 58, 593eqtr4a 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) = (2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ 1)))
61 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 โˆˆ โ„•0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
63 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6562, 64nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„•0)
6660, 65eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6735, 66expp1d 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)) = ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท 2))
6835, 66expcld 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
6968, 35mulcomd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) ยท 2) = (2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))))
7067, 69eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) + 1)) = (2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))))
7153, 70eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = (2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))))
7234, 35, 37mul12d 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) = (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘ฆ)))
7371, 72oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = ((2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โˆ’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘ฆ))))
7434, 37mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
7535, 68, 74subdid 11674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) = ((2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โˆ’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘ฆ))))
7675eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1))) โˆ’ (2 ยท (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) = (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))))
7773, 76eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))))
7877eqeq1d 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†” (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) = 1))
79 zexpcl 14046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง (((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
8019, 66, 79sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
81 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
82 nnz 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
8481, 83zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
8580, 84zsubcld 12675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
86 m2even 46620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โˆˆ Even )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โˆˆ Even )
88 1oddALTV 46656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 โˆˆ Odd
89 zneoALTV 46635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โˆˆ Even โˆง 1 โˆˆ Odd ) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โ‰  1)
9087, 88, 89sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โ‰  1)
91 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) โ‰  1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9290, 91syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9378, 92sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) โˆ’ (๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ))) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9444, 93sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9594rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆƒ๐‘š โˆˆ โ„ค (2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) = ((๐‘š ยท (2 ยท ๐‘ฆ)) + 1) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9629, 95syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9796adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9897adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (((2โ†‘((2 ยท ๐‘ฆ) โˆ’ 1)) mod (2 ยท ๐‘ฆ)) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
9918, 98sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
10099ex 411 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd )))
101100rexlimdva 3153 . . . . . . 7 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd )))
102101com23 86 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd )))
103102imp 405 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ๐‘‹ = (2 ยท ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
10412, 103syld 47 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
1051043adant2 1129 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((2โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
1063, 105sylbi 216 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†’ (ยฌ ๐‘‹ โˆˆ Odd โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd ))
107106pm2.18d 127 1 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜2) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   โˆ‰ wnel 3044  โˆƒwrex 3068  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978   mod cmo 13838  โ†‘cexp 14031  โ„™cprime 16612   Even ceven 46590   Odd codd 46591   FPPr cfppr 46690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-dvds 16202  df-even 46592  df-odd 46593  df-fppr 46691
This theorem is referenced by:  fpprel2  46707
  Copyright terms: Public domain W3C validator