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Theorem fppr2odd 45913
Description: A Fermat pseudoprime to the base 2 is odd. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fppr2odd (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )

Proof of Theorem fppr2odd
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12226 . . . 4 2 ∈ ℕ
2 fpprel 45910 . . . 4 (2 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
31, 2ax-mp 5 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))
4 eluz4nn 12811 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → 𝑋 ∈ ℕ)
6 eluzelz 12773 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
7 zeo2ALTV 45853 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ Even ↔ ¬ 𝑋 ∈ Odd ))
109biimprd 247 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Even ))
11 nnennexALTV 45883 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ Even ) → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦))
125, 10, 11syl6an 682 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → ∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦)))
13 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (𝑋 − 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
1413oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (2↑(𝑋 − 1)) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)))
15 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 = (2 · 𝑦))
1614, 15oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 = (2 · 𝑦) → ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)))
1716eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
1817adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1))
19 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
21 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ)
2220, 21nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
23 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑦) ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
25 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2619, 24, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
2722nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℝ+)
28 modmuladdim 13819 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑦) ∈ ℝ+) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
2926, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → ∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
3024adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℕ0)
3119, 30, 25sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℤ)
3231zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ)
33 zcn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
35 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
36 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3835, 37mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
3934, 38mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
40 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
41 subadd 11404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1))))
42 eqcom 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) = (2↑((2 · 𝑦) − 1)) ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1))
4341, 42bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) ∈ ℂ ∧ (𝑚 · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
4432, 39, 40, 43syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1)))
45 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
4645, 36mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
47 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4846, 47subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ)
50 npcan1 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((2 · 𝑦) − 1) ∈ ℂ → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1) = ((2 · 𝑦) − 1))
5251eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) − 1) = ((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1))
5352oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)))
54 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · 1) = 2
5554eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (2 · 1)
5655oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 · 𝑦) − 2) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1))
57 sub1m1 12405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((2 · 𝑦) ∈ ℂ → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5838, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = ((2 · 𝑦) − 2))
5935, 37, 40subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) = ((2 · 𝑦) − (2 · 1)))
6056, 58, 593eqtr4a 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) = (2 · (𝑦 − 1)))
61 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ0)
63 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑦 − 1) ∈ ℕ0)
6562, 64nn0mulcld 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · (𝑦 − 1)) ∈ ℕ0)
6660, 65eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
6735, 66expp1d 14052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2))
6835, 66expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℂ)
6968, 35mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) · 2) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7067, 69eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((((2 · 𝑦) − 1) − 1) + 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7153, 70eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = (2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))))
7234, 35, 37mul12d 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · (2 · 𝑦)) = (2 · (𝑚 · 𝑦)))
7371, 72oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7434, 37mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℂ)
7535, 68, 74subdid 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))))
7675eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1))) − (2 · (𝑚 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7773, 76eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))))
7877eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 ↔ (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1))
79 zexpcl 13982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝑦) − 1) − 1) ∈ ℕ0) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
8019, 66, 79sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) ∈ ℤ)
81 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
82 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
8481, 83zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℤ)
8580, 84zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ)
86 m2even 45836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦)) ∈ ℤ → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even )
88 1oddALTV 45872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ Odd
89 zneoALTV 45851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ∈ Even ∧ 1 ∈ Odd ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
9087, 88, 89sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1)
91 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) ≠ 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9290, 91syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · ((2↑(((2 · 𝑦) − 1) − 1)) − (𝑚 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9378, 92sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) − (𝑚 · (2 · 𝑦))) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9444, 93sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9594rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℕ → (∃𝑚 ∈ ℤ (2↑((2 · 𝑦) − 1)) = ((𝑚 · (2 · 𝑦)) + 1) → 𝑋 ∈ Odd ))
9629, 95syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9897adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑((2 · 𝑦) − 1)) mod (2 · 𝑦)) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
9918, 98sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 = (2 · 𝑦)) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd ))
10099ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
101100rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → 𝑋 ∈ Odd )))
102101com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd )))
103102imp 407 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (∃𝑦 ∈ ℕ 𝑋 = (2 · 𝑦) → 𝑋 ∈ Odd ))
10412, 103syld 47 . . . 4 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1051043adant2 1131 . . 3 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((2↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
1063, 105sylbi 216 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → (¬ 𝑋 ∈ Odd → 𝑋 ∈ Odd ))
107106pm2.18d 127 1 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘2) → 𝑋 ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wnel 3049  wrex 3073  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915   mod cmo 13774  cexp 13967  cprime 16547   Even ceven 45806   Odd codd 45807   FPPr cfppr 45906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-dvds 16137  df-even 45808  df-odd 45809  df-fppr 45907
This theorem is referenced by:  fpprel2  45923
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