MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnwof 11998
Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows 𝑥 and 𝑦 to be present in 𝐴 as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
nnwof.1 𝑥𝐴
nnwof.2 𝑦𝐴
Assertion
Ref Expression
nnwof ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nnwof
Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnwo 11997 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤𝐴𝑣𝐴 𝑤𝑣)
2 nfcv 2942 . . 3 𝑤𝐴
3 nnwof.1 . . 3 𝑥𝐴
4 nfv 2010 . . . 4 𝑥 𝑤𝑣
53, 4nfral 3127 . . 3 𝑥𝑣𝐴 𝑤𝑣
6 nfv 2010 . . 3 𝑤𝑦𝐴 𝑥𝑦
7 breq1 4847 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑣𝑥𝑣))
87ralbidv 3168 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∀𝑣𝐴 𝑥𝑣))
9 nfcv 2942 . . . . 5 𝑣𝐴
10 nnwof.2 . . . . 5 𝑦𝐴
11 nfv 2010 . . . . 5 𝑦 𝑥𝑣
12 nfv 2010 . . . . 5 𝑣 𝑥𝑦
13 breq2 4848 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥𝑣𝑥𝑦))
149, 10, 11, 12, 13cbvralf 3349 . . . 4 (∀𝑣𝐴 𝑥𝑣 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
158, 14syl6bb 279 . . 3 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
162, 3, 5, 6, 15cbvrexf 3350 . 2 (∃𝑤𝐴𝑣𝐴 𝑤𝑣 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
171, 16sylib 210 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wnfc 2929  wne 2972  wral 3090  wrex 3091  wss 3770  c0 4116   class class class wbr 4844  cle 10365  cn 11313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930
This theorem is referenced by:  nnwos  11999
  Copyright terms: Public domain W3C validator