Theorem nnwof 13081

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows 𝑥 and 𝑦 to be present in 𝐴 as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nnwof.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐴

Assertion

Ref	Expression
nnwof	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem nnwof

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 13080	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣)
2		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝐴
3		nnwof.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfv 1949	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑣
5	3, 4	nfralw 3313	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣
6		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
7		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑣))
8	7	ralbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣))
9		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣𝐴
10		nnwof.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
11		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≤ 𝑣
12		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣 𝑥 ≤ 𝑦
13		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 3306	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15	8, 14	bitrdi 290	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 3307	. 2 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	1, 16	sylib 221	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  Ⅎwnfc 2911   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   class class class wbr 5108   ≤ cle 11383  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  nnwos  13082