Theorem nnwof 12938

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows 𝑥 and 𝑦 to be present in 𝐴 as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nnwof.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐴

Assertion

Ref	Expression
nnwof	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nnwof

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 12937	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣)
2		nfcv 2897	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝐴
3		nnwof.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfv 1913	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑣
5	3, 4	nfralw 3294	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣
6		nfv 1913	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
7		breq1 5126	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑣))
8	7	ralbidv 3165	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣))
9		nfcv 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣𝐴
10		nnwof.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
11		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≤ 𝑣
12		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣 𝑥 ≤ 𝑦
13		breq2 5127	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 3287	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15	8, 14	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 3288	. 2 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	1, 16	sylib 218	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnfc 2882   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313   class class class wbr 5123   ≤ cle 11278  ℕcn 12248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861

This theorem is referenced by:  nnwos  12939