Theorem nnwof 12879

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element. This version allows 𝑥 and 𝑦 to be present in 𝐴 as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
nnwof.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nnwof.2	⊢ Ⅎ𝑦𝐴

Assertion

Ref	Expression
nnwof	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nnwof

Dummy variables 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnwo 12878	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣)
2		nfcv 2892	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤𝐴
3		nnwof.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
4		nfv 1914	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ≤ 𝑣
5	3, 4	nfralw 3287	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣
6		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦
7		breq1 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑣))
8	7	ralbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣))
9		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣𝐴
10		nnwof.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
11		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≤ 𝑣
12		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣 𝑥 ≤ 𝑦
13		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑣 ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
14	9, 10, 11, 12, 13	cbvralfw 3280	. . . 4 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
15	8, 14	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
16	2, 3, 5, 6, 15	cbvrexfw 3281	. 2 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 𝑤 ≤ 𝑣 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
17	1, 16	sylib 218	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298   class class class wbr 5109   ≤ cle 11215  ℕcn 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800

This theorem is referenced by:  nnwos  12880