MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnwos 12899
Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
nnwos (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 3452 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2 nfcv 2904 . . 3 𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
31, 2nnwof 12898 . 2 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦)
4 ssrab2 4078 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
54biantrur 532 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6 rabn0 4386 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
75, 6bitr3i 277 . 2 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
8 df-rex 3072 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦))
9 rabid 3453 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
10 df-ral 3063 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦))
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1211elrab 3684 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
1312imbi1i 350 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦))
14 impexp 452 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1513, 14bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1615albii 1822 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1710, 16bitri 275 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
189, 17anbi12i 628 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
1918exbii 1851 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
20 df-ral 3063 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
2120anbi2i 624 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
22 anass 470 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2321, 22bitr3i 277 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2423exbii 1851 . . . 4 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
25 df-rex 3072 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2624, 25bitr4i 278 . . 3 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
278, 19, 263bitri 297 . 2 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
283, 7, 273imtr3i 291 1 (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wal 1540  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  cle 11249  cn 12212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823
This theorem is referenced by:  indstr  12900  infpnlem2  16844
  Copyright terms: Public domain W3C validator