Theorem nnwos 12906

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3428	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2		nfcv 2918	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
3	1, 2	nnwof 12905	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦)
4		ssrab2 4028	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
5	4	biantrur 537	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		rabn0 4337	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
7	5, 6	bitr3i 279	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
8		df-rex 3081	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦))
9		rabid 3429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
10		df-ral 3071	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
12	11	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
13	12	imbi1i 351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦))
14		impexp 453	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
15	13, 14	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	albii 1833	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	10, 16	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
18	9, 17	anbi12i 636	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
19	18	exbii 1862	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
20		df-ral 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	20	anbi2i 631	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
22		anass 471	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
23	21, 22	bitr3i 279	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	23	exbii 1862	. . . 4 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25		df-rex 3081	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26	24, 25	bitr4i 280	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
27	8, 19, 26	3bitri 299	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
28	3, 7, 27	3imtr3i 293	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1552  ∃wex 1793   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3080  {crab 3408   ⊆ wss 3899  ∅c0 4280   class class class wbr 5094   ≤ cle 11207  ℕcn 12200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830

This theorem is referenced by:  indstr  12907  infpnlem2  16923