Theorem nnwos 12958

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3456	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2		nfcv 2904	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
3	1, 2	nnwof 12957	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦)
4		ssrab2 4079	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
5	4	biantrur 530	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		rabn0 4388	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
7	5, 6	bitr3i 277	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
8		df-rex 3070	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦))
9		rabid 3457	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
10		df-ral 3061	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
12	11	elrab 3691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
13	12	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦))
14		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	albii 1818	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	10, 16	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
18	9, 17	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
19	18	exbii 1847	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
20		df-ral 3061	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	20	anbi2i 623	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
22		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
23	21, 22	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	23	exbii 1847	. . . 4 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25		df-rex 3070	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26	24, 25	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
27	8, 19, 26	3bitri 297	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
28	3, 7, 27	3imtr3i 291	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1537  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3435   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332   class class class wbr 5142   ≤ cle 11297  ℕcn 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880

This theorem is referenced by:  indstr  12959  infpnlem2  16950