Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnwos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnwos 12368
 Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypothesis
Ref Expression
nnwos.1 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
nnwos (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwos
StepHypRef Expression
1 nfrab1 3302 . . 3 𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2 nfcv 2919 . . 3 𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
31, 2nnwof 12367 . 2 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦)
4 ssrab2 3986 . . . 4 {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
54biantrur 534 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6 rabn0 4284 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
75, 6bitr3i 280 . 2 (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
8 df-rex 3076 . . 3 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦))
9 rabid 3296 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
10 df-ral 3075 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦))
11 nnwos.1 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
1211elrab 3604 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
1312imbi1i 353 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦))
14 impexp 454 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1513, 14bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1615albii 1821 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
1710, 16bitri 278 . . . . 5 (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
189, 17anbi12i 629 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
1918exbii 1849 . . 3 (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
20 df-ral 3075 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦)))
2120anbi2i 625 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))))
22 anass 472 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2321, 22bitr3i 280 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2423exbii 1849 . . . 4 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
25 df-rex 3076 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦))))
2624, 25bitr4i 281 . . 3 (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓𝑥𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
278, 19, 263bitri 300 . 2 (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
283, 7, 273imtr3i 294 1 (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓𝑥𝑦)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071  {crab 3074   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227   class class class wbr 5036   ≤ cle 10727  ℕcn 11687 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296 This theorem is referenced by:  indstr  12369  infpnlem2  16316
 Copyright terms: Public domain W3C validator