Theorem nnwos 12865

Description: Well-ordering principle: any nonempty set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnwos.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
nnwos	⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem nnwos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfrab1 3409	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
2		nfcv 2898	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑦{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}
3	1, 2	nnwof 12864	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦)
4		ssrab2 4020	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ
5	4	biantrur 530	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅))
6		rabn0 4329	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
7	5, 6	bitr3i 277	. 2 ⊢ (({𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ⊆ ℕ ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑)
8		df-rex 3062	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦))
9		rabid 3410	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑))
10		df-ral 3052	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦))
11		nnwos.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
12	11	elrab 3634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓))
13	12	imbi1i 349	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦))
14		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝜓) → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
15	13, 14	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ (𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
16	15	albii 1821	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	10, 16	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
18	9, 17	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
19	18	exbii 1850	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
20		df-ral 3052	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	20	anbi2i 624	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
22		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
23	21, 22	bitr3i 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
24	23	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
25		df-rex 3062	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))))
26	24, 25	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝜑) ∧ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦))) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
27	8, 19, 26	3bitri 297	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}∀𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝜑}𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))
28	3, 7, 27	3imtr3i 291	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ 𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝜓 → 𝑥 ≤ 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   ≤ cle 11180  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789

This theorem is referenced by:  indstr  12866  infpnlem2  16882