Theorem nzadd 12614

Description: The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nzadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Proof of Theorem nzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3958	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ))
2		zre 12566	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		zsubcl 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
9		recn 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		zcn 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 11470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
14	8, 13	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
16	15	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
17	16	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
18	17	imp31 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19	5, 18	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
20	1, 19	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
21		eldif 3958	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115   − cmin 11448  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  16254