Theorem nzadd 12654

Description: The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nzadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Proof of Theorem nzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3957	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ))
2		zre 12606	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 11230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		zsubcl 12648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	expcom 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
8	7	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
9		recn 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		zcn 12607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 11505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
14	8, 13	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
16	15	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
17	16	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
18	17	imp31 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19	5, 18	jca 510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
20	1, 19	sylanb 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
21		eldif 3957	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944  (class class class)co 7414  ℂcc 11145  ℝcr 11146   + caddc 11150   − cmin 11483  ℤcz 12602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12257  df-n0 12517  df-z 12603

This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  16302