Theorem nzadd 12368

Description: The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nzadd	⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Proof of Theorem nzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldif 3897	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ))
2		zre 12323	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		readdcl 10954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6		zsubcl 12362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ)
7	6	expcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
8	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
9		recn 10961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10		zcn 12324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11		pncan 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
13	12	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
14	8, 13	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ))
15	14	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
16	15	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
17	16	com23 86	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
18	17	imp31 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
19	5, 18	jca 512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
20	1, 19	sylanb 581	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
21		eldif 3897	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
22	20, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874   − cmin 11205  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320

This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  16016