MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znn0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znn0sub 12365
Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 12281.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
znn0sub ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem znn0sub
StepHypRef Expression
1 zre 12321 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 zre 12321 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3 subge0 11486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
41, 2, 3syl2an 596 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
5 zsubcl 12360 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
65biantrurd 533 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀))))
74, 6bitr3d 280 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀))))
87ancoms 459 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀))))
9 elnn0z 12330 . 2 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁𝑀)))
108, 9bitr4di 289 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7269  cr 10869  0cc0 10870  cle 11009  cmin 11203  0cn0 12231  cz 12317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318
This theorem is referenced by:  peano5uzi  12407  uznn0sub  12614  elfzmlbp  13364  quoremz  13571  sylow1lem1  19199  dyaddisjlem  24755  breprexplemc  32606  lcmineqlem9  40040  metakunt20  40139  lerabdioph  40622
  Copyright terms: Public domain W3C validator