Theorem znn0sub 12540

Description: The nonnegative difference of integers is a nonnegative integer. (Generalization of nn0sub 12453.) (Contributed by NM, 14-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
znn0sub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem znn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12494	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		zre 12494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3		subge0 11652	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
5		zsubcl 12535	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝑀) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
7	4, 6	bitr3d 281	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
8	7	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀))))
9		elnn0z 12503	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑀)))
10	8, 9	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12403  ℤcz 12490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491

This theorem is referenced by:  peano5uzi  12583  uznn0sub  12788  elfzmlbp  13557  quoremz  13777  sylow1lem1  19529  dyaddisjlem  25554  breprexplemc  34768  lcmineqlem9  42326  lerabdioph  43084