Theorem zsubcl 12660

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12620	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12620	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11530	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12653	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12658	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   − cmin 11465  -cneg 11466  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is used by:  peano2zm  12661  zrevaddcl  12663  znnsub  12664  znn0sub  12665  nzadd  12666  zneo  12704  zsubcld  12730  subeluzsub  12920  fzen  13595  uzsubsubfz  13601  fzrev  13642  fzrev2  13643  fzrevral2  13668  fzshftral  13670  fz0fzdiffz0  13692  difelfzle  13696  difelfznle  13697  fzo0n  13737  fzonfzoufzol  13827  elfzomelpfzo  13828  zmodcl  13952  addmodlteq  14010  fzen2  14033  facndiv  14352  bccmpl  14373  bcval5  14382  bcpasc  14385  hashfz  14492  swrdspsleq  14735  pfxccatin12lem4  14795  pfxccatin12lem2a  14796  pfxccatin12lem1  14797  pfxccatin12lem2  14800  swrdccat  14804  repswswrd  14855  cshwsublen  14867  cshwidxmodr  14875  2cshwid  14885  3cshw  14889  cshweqdif2  14890  2cshwcshw  14896  cshwcshid  14898  seqshft  15158  isercoll2  15756  zfallfaccl  16108  binomrisefac  16128  bpolydiflem  16140  moddvds  16353  modmulconst  16378  dvds2sub  16381  dvdssub2  16391  dvdssubr  16395  fzocongeq  16414  3dvds  16421  odd2np1  16431  omoe  16454  omeo  16456  divalglem0  16483  divalglem4  16486  divalglem9  16491  divalgb  16494  divalgmod  16496  ndvdsadd  16500  nn0seqcvgd  16660  congr  16754  cncongr1  16757  cncongr2  16758  eulerthlem2  16873  prmdiv  16876  prmdiveq  16877  pythagtriplem4  16911  pythagtriplem8  16915  difsqpwdvds  16979  prmgaplem7  17149  mod2xnegi  17163  cshwshashlem2  17188  chnub  18710  mndodcongi  19670  odcong  19676  odf1  19689  odf1o1  19699  efgredleme  19870  srgbinomlem4  20368  plyeq0lem  26436  aaliou3lem1  26578  aaliou3lem2  26579  efif1olem2  26780  wilthlem2  27305  basellem2  27318  dchrptlem1  27500  bposlem6  27525  gausslemma2dlem6  27608  lgsquadlem1  27616  crctcshwlkn0lem7  30284  crctcshwlkn0  30289  clwlkclwwlklem2fv2  30466  ballotlemfelz  35002  fwddifnp1  36745  knoppndvlem2  37210  poimirlem28  38397  lcmineqlem1  42895  irrapxlem1  43663  jm2.24nn  43800  congtr  43806  congadd  43807  congmul  43808  congabseq  43815  acongeq  43824  jm2.26a  43841  jm2.15nn0  43844  jm2.27c  43848  jm3.1  43861  2elfz2melfz  48206  elfzlble  48208  elfzelfzlble  48209  subsubelfzo0  48215  submodaddmod  48235  difltmodne  48236  submodneaddmod  48245  modmkpkne  48255  mod2addne  48258  altgsumbc  49282  altgsumbcALT  49283  zlmodzxzsub  49290