Theorem zsubcl 12659

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12618	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12618	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11557	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12652	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12657	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2842	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158   − cmin 11492  -cneg 11493  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  peano2zm  12660  zrevaddcl  12662  znnsub  12663  znn0sub  12664  nzadd  12665  zneo  12701  zsubcld  12727  eluzsubiOLD  12912  subeluzsub  12915  fzen  13581  uzsubsubfz  13586  fzrev  13627  fzrev2  13628  fzrevral2  13653  fzshftral  13655  fz0fzdiffz0  13677  difelfzle  13681  difelfznle  13682  fzo0n  13721  fzonfzoufzol  13809  elfzomelpfzo  13810  zmodcl  13931  addmodlteq  13987  fzen2  14010  facndiv  14327  bccmpl  14348  bcval5  14357  bcpasc  14360  hashfz  14466  swrdspsleq  14703  pfxccatin12lem4  14764  pfxccatin12lem2a  14765  pfxccatin12lem1  14766  pfxccatin12lem2  14769  swrdccat  14773  repswswrd  14822  cshwsublen  14834  cshwidxmodr  14842  2cshwid  14852  3cshw  14856  cshweqdif2  14857  2cshwcshw  14864  cshwcshid  14866  seqshft  15124  isercoll2  15705  zfallfaccl  16057  binomrisefac  16078  bpolydiflem  16090  moddvds  16301  modmulconst  16325  dvds2sub  16328  dvdssub2  16338  dvdssubr  16342  fzocongeq  16361  3dvds  16368  odd2np1  16378  omoe  16401  omeo  16403  divalglem0  16430  divalglem4  16433  divalglem9  16438  divalgb  16441  divalgmod  16443  ndvdsadd  16447  nn0seqcvgd  16607  congr  16701  cncongr1  16704  cncongr2  16705  eulerthlem2  16819  prmdiv  16822  prmdiveq  16823  pythagtriplem4  16857  pythagtriplem8  16861  difsqpwdvds  16925  prmgaplem7  17095  mod2xnegi  17109  cshwshashlem2  17134  mndodcongi  19561  odcong  19567  odf1  19580  odf1o1  19590  efgredleme  19761  srgbinomlem4  20226  plyeq0lem  26249  aaliou3lem1  26384  aaliou3lem2  26385  efif1olem2  26585  wilthlem2  27112  basellem2  27125  dchrptlem1  27308  bposlem6  27333  gausslemma2dlem6  27416  lgsquadlem1  27424  crctcshwlkn0lem7  29836  crctcshwlkn0  29841  clwlkclwwlklem2fv2  30015  chnub  33002  ballotlemfelz  34493  fwddifnp1  36166  knoppndvlem2  36514  poimirlem28  37655  lcmineqlem1  42030  irrapxlem1  42833  jm2.24nn  42971  congtr  42977  congadd  42978  congmul  42979  congabseq  42986  acongeq  42995  jm2.26a  43012  jm2.15nn0  43015  jm2.27c  43019  jm3.1  43032  2elfz2melfz  47330  elfzlble  47332  elfzelfzlble  47333  subsubelfzo0  47338  submodaddmod  47343  difltmodne  47344  submodneaddmod  47353  altgsumbc  48268  altgsumbcALT  48269  zlmodzxzsub  48276