Theorem zsubcl 12604

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12563	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12563	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11508	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12597	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12602	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   + caddc 11113   − cmin 11444  -cneg 11445  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559

This theorem is referenced by:  peano2zm  12605  zrevaddcl  12607  znnsub  12608  znn0sub  12609  nzadd  12610  zneo  12645  zsubcld  12671  eluzsubiOLD  12856  subeluzsub  12859  fzen  13518  uzsubsubfz  13523  fzrev  13564  fzrev2  13565  fzrevral2  13587  fzshftral  13589  fz0fzdiffz0  13610  difelfzle  13614  difelfznle  13615  fzo0n  13654  fzonfzoufzol  13735  elfzomelpfzo  13736  zmodcl  13856  addmodlteq  13911  fzen2  13934  facndiv  14248  bccmpl  14269  bcval5  14278  bcpasc  14281  hashfz  14387  swrdspsleq  14615  pfxccatin12lem4  14676  pfxccatin12lem2a  14677  pfxccatin12lem1  14678  pfxccatin12lem2  14681  swrdccat  14685  repswswrd  14734  cshwsublen  14746  cshwidxmodr  14754  2cshwid  14764  3cshw  14768  cshweqdif2  14769  2cshwcshw  14776  cshwcshid  14778  seqshft  15032  isercoll2  15615  zfallfaccl  15965  binomrisefac  15986  bpolydiflem  15998  moddvds  16208  modmulconst  16231  dvds2sub  16234  dvdssub2  16244  dvdssubr  16248  fzocongeq  16267  3dvds  16274  odd2np1  16284  omoe  16307  omeo  16309  divalglem0  16336  divalglem4  16339  divalglem9  16344  divalgb  16347  divalgmod  16349  ndvdsadd  16353  nn0seqcvgd  16507  congr  16601  cncongr1  16604  cncongr2  16605  eulerthlem2  16715  prmdiv  16718  prmdiveq  16719  pythagtriplem4  16752  pythagtriplem8  16756  difsqpwdvds  16820  prmgaplem7  16990  mod2xnegi  17004  cshwshashlem2  17030  mndodcongi  19411  odcong  19417  odf1  19430  odf1o1  19440  efgredleme  19611  srgbinomlem4  20052  plyeq0lem  25724  aaliou3lem1  25855  aaliou3lem2  25856  efif1olem2  26052  wilthlem2  26573  basellem2  26586  dchrptlem1  26767  bposlem6  26792  gausslemma2dlem6  26875  lgsquadlem1  26883  crctcshwlkn0lem7  29070  crctcshwlkn0  29075  clwlkclwwlklem2fv2  29249  ballotlemfelz  33489  fwddifnp1  35137  knoppndvlem2  35389  poimirlem28  36516  lcmineqlem1  40894  irrapxlem1  41560  jm2.24nn  41698  congtr  41704  congadd  41705  congmul  41706  congabseq  41713  acongeq  41722  jm2.26a  41739  jm2.15nn0  41742  jm2.27c  41746  jm3.1  41759  2elfz2melfz  46026  elfzlble  46028  elfzelfzlble  46029  subsubelfzo0  46034  altgsumbc  47028  altgsumbcALT  47029  zlmodzxzsub  47036