Theorem zsubcl 12219

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12181	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11126	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 599	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12212	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12217	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   + caddc 10732   − cmin 11062  -cneg 11063  ℤcz 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177

This theorem is referenced by:  peano2zm  12220  zrevaddcl  12222  znnsub  12223  znn0sub  12224  nzadd  12225  zneo  12260  zsubcld  12287  eluzsubi  12468  subeluzsub  12471  fzen  13129  uzsubsubfz  13134  fzrev  13175  fzrev2  13176  fzrevral2  13198  fzshftral  13200  fz0fzdiffz0  13221  difelfzle  13225  difelfznle  13226  fzo0n  13264  fzonfzoufzol  13345  elfzomelpfzo  13346  zmodcl  13464  addmodlteq  13519  fzen2  13542  facndiv  13854  bccmpl  13875  bcval5  13884  bcpasc  13887  hashfz  13994  swrdspsleq  14230  pfxccatin12lem4  14291  pfxccatin12lem2a  14292  pfxccatin12lem1  14293  pfxccatin12lem2  14296  swrdccat  14300  repswswrd  14349  cshwsublen  14361  cshwidxmodr  14369  2cshwid  14379  3cshw  14383  cshweqdif2  14384  2cshwcshw  14390  cshwcshid  14392  seqshft  14648  isercoll2  15232  zfallfaccl  15583  binomrisefac  15604  bpolydiflem  15616  moddvds  15826  modmulconst  15849  dvds2sub  15852  dvdssub2  15862  dvdssubr  15866  fzocongeq  15885  3dvds  15892  odd2np1  15902  omoe  15925  omeo  15927  divalglem0  15954  divalglem4  15957  divalglem9  15962  divalgb  15965  divalgmod  15967  ndvdsadd  15971  nn0seqcvgd  16127  congr  16221  cncongr1  16224  cncongr2  16225  eulerthlem2  16335  prmdiv  16338  prmdiveq  16339  pythagtriplem4  16372  pythagtriplem8  16376  difsqpwdvds  16440  prmgaplem7  16610  mod2xnegi  16624  cshwshashlem2  16650  mndodcongi  18935  odcong  18941  odf1  18953  odf1o1  18961  efgredleme  19133  srgbinomlem4  19558  plyeq0lem  25104  aaliou3lem1  25235  aaliou3lem2  25236  efif1olem2  25432  wilthlem2  25951  basellem2  25964  dchrptlem1  26145  bposlem6  26170  gausslemma2dlem6  26253  lgsquadlem1  26261  crctcshwlkn0lem7  27900  crctcshwlkn0  27905  clwlkclwwlklem2fv2  28079  ballotlemfelz  32169  fwddifnp1  34204  knoppndvlem2  34430  poimirlem28  35542  lcmineqlem1  39771  irrapxlem1  40347  jm2.24nn  40484  congtr  40490  congadd  40491  congmul  40492  congabseq  40499  acongeq  40508  jm2.26a  40525  jm2.15nn0  40528  jm2.27c  40532  jm3.1  40545  2elfz2melfz  44483  elfzlble  44485  elfzelfzlble  44486  subsubelfzo0  44491  altgsumbc  45361  altgsumbcALT  45362  zlmodzxzsub  45369