Theorem zsubcl 12778

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12738	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11645	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12771	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12776	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2865	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237   + caddc 11242   − cmin 11580   -cneg 11581  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734

This theorem is used by:  peano2zm  12779  zrevaddcl  12781  znnsub  12782  znn0sub  12783  nzadd  12784  zneo  12822  zsubcld  12848  subeluzsub  13038  fzen  13714  uzsubsubfz  13720  fzrev  13761  fzrev2  13762  fzrevral2  13787  fzshftral  13789  fz0fzdiffz0  13811  difelfzle  13815  difelfznle  13816  fzo0n  13856  fzonfzoufzol  13946  elfzomelpfzo  13947  zmodcl  14071  addmodlteq  14129  fzen2  14152  facndiv  14473  bccmpl  14494  bcval5  14503  bcpasc  14506  hashfz  14613  swrdspsleq  14857  pfxccatin12lem4  14917  pfxccatin12lem2a  14918  pfxccatin12lem1  14919  pfxccatin12lem2  14922  swrdccat  14926  repswswrd  14977  cshwsublen  14989  cshwidxmodr  14997  2cshwid  15007  3cshw  15011  cshweqdif2  15012  2cshwcshw  15018  cshwcshid  15020  seqshft  15281  isercoll2  15880  zfallfaccl  16232  binomrisefac  16252  bpolydiflem  16264  moddvds  16477  modmulconst  16502  dvds2sub  16505  dvdssub2  16515  dvdssubr  16519  fzocongeq  16538  3dvds  16545  odd2np1  16555  omoe  16578  omeo  16580  divalglem0  16607  divalglem4  16610  divalglem9  16615  divalgb  16618  divalgmod  16620  ndvdsadd  16624  nn0seqcvgd  16789  congr  16883  cncongr1  16886  cncongr2  16887  eulerthlem2  17003  prmdiv  17006  prmdiveq  17007  pythagtriplem4  17041  pythagtriplem8  17045  difsqpwdvds  17109  prmgaplem7  17279  mod2xnegi  17293  cshwshashlem2  17318  chnub  18846  mndodcongi  19808  odcong  19814  odf1  19827  odf1o1  19837  efgredleme  20008  srgbinomlem4  20506  plyeq0lem  26584  aaliou3lem1  26726  aaliou3lem2  26727  efif1olem2  26928  wilthlem2  27453  basellem2  27466  dchrptlem1  27648  bposlem6  27673  gausslemma2dlem6  27756  lgsquadlem1  27764  crctcshwlkn0lem7  30462  crctcshwlkn0  30467  clwlkclwwlklem2fv2  30644  ballotlemfelz  35234  fwddifnp1  37145  knoppndvlem2  37594  poimirlem28  38834  lcmineqlem1  43345  irrapxlem1  44095  jm2.24nn  44232  congtr  44238  congadd  44239  congmul  44240  congabseq  44247  acongeq  44256  jm2.26a  44273  jm2.15nn0  44276  jm2.27c  44280  jm3.1  44293  2elfz2melfz  48661  elfzlble  48663  elfzelfzlble  48664  subsubelfzo0  48670  submodaddmod  48690  difltmodne  48691  submodneaddmod  48700  modmkpkne  48710  mod2addne  48713  altgsumbc  49795  altgsumbcALT  49796  zlmodzxzsub  49803