MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zsubcl 12012
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 11974 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2 zcn 11974 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3 negsub 10922 . . 3 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
41, 2, 3syl2an 595 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀𝑁))
5 znegcl 12005 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6 zaddcl 12010 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
75, 6sylan2 592 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
84, 7eqeltrrd 2911 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523   + caddc 10528  cmin 10858  -cneg 10859  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  peano2zm  12013  zrevaddcl  12015  znnsub  12016  znn0sub  12017  nzadd  12018  zneo  12053  zsubcld  12080  eluzsubi  12260  subeluzsub  12263  fzen  12912  uzsubsubfz  12917  fzrev  12958  fzrev2  12959  fzrevral2  12981  fzshftral  12983  fz0fzdiffz0  13004  difelfzle  13008  difelfznle  13009  fzo0n  13047  fzonfzoufzol  13128  elfzomelpfzo  13129  zmodcl  13247  addmodlteq  13302  fzen2  13325  facndiv  13636  bccmpl  13657  bcval5  13666  bcpasc  13669  hashfz  13776  swrdspsleq  14015  pfxccatin12lem4  14076  pfxccatin12lem2a  14077  pfxccatin12lem1  14078  pfxccatin12lem2  14081  swrdccat  14085  repswswrd  14134  cshwsublen  14146  cshwidxmodr  14154  2cshwid  14164  3cshw  14168  cshweqdif2  14169  2cshwcshw  14175  cshwcshid  14177  seqshft  14432  isercoll2  15013  zfallfaccl  15363  binomrisefac  15384  bpolydiflem  15396  moddvds  15606  modmulconst  15629  dvds2sub  15632  dvdssub2  15639  dvdssubr  15643  fzocongeq  15662  3dvds  15668  odd2np1  15678  omoe  15701  omeo  15703  divalglem0  15732  divalglem4  15735  divalglem9  15740  divalgb  15743  divalgmod  15745  ndvdsadd  15749  nn0seqcvgd  15902  congr  15996  cncongr1  15999  cncongr2  16000  eulerthlem2  16107  prmdiv  16110  prmdiveq  16111  pythagtriplem4  16144  pythagtriplem8  16148  difsqpwdvds  16211  prmgaplem7  16381  mod2xnegi  16395  cshwshashlem2  16418  mndodcongi  18600  odcong  18606  odf1  18618  odf1o1  18626  efgredleme  18798  srgbinomlem4  19222  plyeq0lem  24727  aaliou3lem1  24858  aaliou3lem2  24859  efif1olem2  25054  wilthlem2  25573  basellem2  25586  dchrptlem1  25767  bposlem6  25792  gausslemma2dlem6  25875  lgsquadlem1  25883  crctcshwlkn0lem7  27521  crctcshwlkn0  27526  clwlkclwwlklem2fv2  27701  ballotlemfelz  31647  fwddifnp1  33523  knoppndvlem2  33749  poimirlem28  34801  irrapxlem1  39297  jm2.24nn  39434  congtr  39440  congadd  39441  congmul  39442  congabseq  39449  acongeq  39458  jm2.26a  39475  jm2.15nn0  39478  jm2.27c  39482  jm3.1  39495  2elfz2melfz  43395  elfzlble  43397  elfzelfzlble  43398  subsubelfzo0  43403  altgsumbc  44328  altgsumbcALT  44329  zlmodzxzsub  44336
  Copyright terms: Public domain W3C validator