Theorem zsubcl 12545

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12505	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12505	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11441	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12538	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12543	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11376  -cneg 11377  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  peano2zm  12546  zrevaddcl  12548  znnsub  12549  znn0sub  12550  nzadd  12551  zneo  12587  zsubcld  12613  subeluzsub  12796  fzen  13469  uzsubsubfz  13474  fzrev  13515  fzrev2  13516  fzrevral2  13541  fzshftral  13543  fz0fzdiffz0  13565  difelfzle  13569  difelfznle  13570  fzo0n  13609  fzonfzoufzol  13699  elfzomelpfzo  13700  zmodcl  13823  addmodlteq  13881  fzen2  13904  facndiv  14223  bccmpl  14244  bcval5  14253  bcpasc  14256  hashfz  14362  swrdspsleq  14601  pfxccatin12lem4  14661  pfxccatin12lem2a  14662  pfxccatin12lem1  14663  pfxccatin12lem2  14666  swrdccat  14670  repswswrd  14719  cshwsublen  14731  cshwidxmodr  14739  2cshwid  14749  3cshw  14753  cshweqdif2  14754  2cshwcshw  14760  cshwcshid  14762  seqshft  15020  isercoll2  15604  zfallfaccl  15956  binomrisefac  15977  bpolydiflem  15989  moddvds  16202  modmulconst  16227  dvds2sub  16230  dvdssub2  16240  dvdssubr  16244  fzocongeq  16263  3dvds  16270  odd2np1  16280  omoe  16303  omeo  16305  divalglem0  16332  divalglem4  16335  divalglem9  16340  divalgb  16343  divalgmod  16345  ndvdsadd  16349  nn0seqcvgd  16509  congr  16603  cncongr1  16606  cncongr2  16607  eulerthlem2  16721  prmdiv  16724  prmdiveq  16725  pythagtriplem4  16759  pythagtriplem8  16763  difsqpwdvds  16827  prmgaplem7  16997  mod2xnegi  17011  cshwshashlem2  17036  chnub  18557  mndodcongi  19484  odcong  19490  odf1  19503  odf1o1  19513  efgredleme  19684  srgbinomlem4  20176  plyeq0lem  26183  aaliou3lem1  26318  aaliou3lem2  26319  efif1olem2  26520  wilthlem2  27047  basellem2  27060  dchrptlem1  27243  bposlem6  27268  gausslemma2dlem6  27351  lgsquadlem1  27359  crctcshwlkn0lem7  29901  crctcshwlkn0  29906  clwlkclwwlklem2fv2  30083  ballotlemfelz  34669  fwddifnp1  36381  knoppndvlem2  36735  poimirlem28  37899  lcmineqlem1  42399  irrapxlem1  43179  jm2.24nn  43316  congtr  43322  congadd  43323  congmul  43324  congabseq  43331  acongeq  43340  jm2.26a  43357  jm2.15nn0  43360  jm2.27c  43364  jm3.1  43377  2elfz2melfz  47678  elfzlble  47680  elfzelfzlble  47681  subsubelfzo0  47686  submodaddmod  47701  difltmodne  47702  submodneaddmod  47711  modmkpkne  47721  mod2addne  47724  altgsumbc  48712  altgsumbcALT  48713  zlmodzxzsub  48720