Theorem zsubcl 12731

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12691	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12691	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11599	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12724	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12729	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2862	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191   + caddc 11196   − cmin 11534  -cneg 11535  ℤcz 12686

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687

This theorem is used by:  peano2zm  12732  zrevaddcl  12734  znnsub  12735  znn0sub  12736  nzadd  12737  zneo  12775  zsubcld  12801  subeluzsub  12991  fzen  13667  uzsubsubfz  13673  fzrev  13714  fzrev2  13715  fzrevral2  13740  fzshftral  13742  fz0fzdiffz0  13764  difelfzle  13768  difelfznle  13769  fzo0n  13809  fzonfzoufzol  13899  elfzomelpfzo  13900  zmodcl  14024  addmodlteq  14082  fzen2  14105  facndiv  14425  bccmpl  14446  bcval5  14455  bcpasc  14458  hashfz  14565  swrdspsleq  14808  pfxccatin12lem4  14868  pfxccatin12lem2a  14869  pfxccatin12lem1  14870  pfxccatin12lem2  14873  swrdccat  14877  repswswrd  14928  cshwsublen  14940  cshwidxmodr  14948  2cshwid  14958  3cshw  14962  cshweqdif2  14963  2cshwcshw  14969  cshwcshid  14971  seqshft  15231  isercoll2  15829  zfallfaccl  16181  binomrisefac  16201  bpolydiflem  16213  moddvds  16426  modmulconst  16451  dvds2sub  16454  dvdssub2  16464  dvdssubr  16468  fzocongeq  16487  3dvds  16494  odd2np1  16504  omoe  16527  omeo  16529  divalglem0  16556  divalglem4  16559  divalglem9  16564  divalgb  16567  divalgmod  16569  ndvdsadd  16573  nn0seqcvgd  16738  congr  16832  cncongr1  16835  cncongr2  16836  eulerthlem2  16952  prmdiv  16955  prmdiveq  16956  pythagtriplem4  16990  pythagtriplem8  16994  difsqpwdvds  17058  prmgaplem7  17228  mod2xnegi  17242  cshwshashlem2  17267  chnub  18789  mndodcongi  19750  odcong  19756  odf1  19769  odf1o1  19779  efgredleme  19950  srgbinomlem4  20448  plyeq0lem  26522  aaliou3lem1  26662  aaliou3lem2  26663  efif1olem2  26864  wilthlem2  27389  basellem2  27402  dchrptlem1  27584  bposlem6  27609  gausslemma2dlem6  27692  lgsquadlem1  27700  crctcshwlkn0lem7  30398  crctcshwlkn0  30403  clwlkclwwlklem2fv2  30580  ballotlemfelz  35116  fwddifnp1  36910  knoppndvlem2  37359  poimirlem28  38546  lcmineqlem1  43059  irrapxlem1  43808  jm2.24nn  43945  congtr  43951  congadd  43952  congmul  43953  congabseq  43960  acongeq  43969  jm2.26a  43986  jm2.15nn0  43989  jm2.27c  43993  jm3.1  44006  2elfz2melfz  48357  elfzlble  48359  elfzelfzlble  48360  subsubelfzo0  48366  submodaddmod  48386  difltmodne  48387  submodneaddmod  48396  modmkpkne  48406  mod2addne  48409  altgsumbc  49433  altgsumbcALT  49434  zlmodzxzsub  49441