Theorem zsubcl 12509

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12468	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12468	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11404	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12502	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12507	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2832	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999   + caddc 11004   − cmin 11339  -cneg 11340  ℤcz 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464

This theorem is referenced by:  peano2zm  12510  zrevaddcl  12512  znnsub  12513  znn0sub  12514  nzadd  12515  zneo  12551  zsubcld  12577  eluzsubiOLD  12761  subeluzsub  12764  fzen  13436  uzsubsubfz  13441  fzrev  13482  fzrev2  13483  fzrevral2  13508  fzshftral  13510  fz0fzdiffz0  13532  difelfzle  13536  difelfznle  13537  fzo0n  13576  fzonfzoufzol  13666  elfzomelpfzo  13667  zmodcl  13790  addmodlteq  13848  fzen2  13871  facndiv  14190  bccmpl  14211  bcval5  14220  bcpasc  14223  hashfz  14329  swrdspsleq  14568  pfxccatin12lem4  14628  pfxccatin12lem2a  14629  pfxccatin12lem1  14630  pfxccatin12lem2  14633  swrdccat  14637  repswswrd  14686  cshwsublen  14698  cshwidxmodr  14706  2cshwid  14716  3cshw  14720  cshweqdif2  14721  2cshwcshw  14727  cshwcshid  14729  seqshft  14987  isercoll2  15571  zfallfaccl  15923  binomrisefac  15944  bpolydiflem  15956  moddvds  16169  modmulconst  16194  dvds2sub  16197  dvdssub2  16207  dvdssubr  16211  fzocongeq  16230  3dvds  16237  odd2np1  16247  omoe  16270  omeo  16272  divalglem0  16299  divalglem4  16302  divalglem9  16307  divalgb  16310  divalgmod  16312  ndvdsadd  16316  nn0seqcvgd  16476  congr  16570  cncongr1  16573  cncongr2  16574  eulerthlem2  16688  prmdiv  16691  prmdiveq  16692  pythagtriplem4  16726  pythagtriplem8  16730  difsqpwdvds  16794  prmgaplem7  16964  mod2xnegi  16978  cshwshashlem2  17003  chnub  18523  mndodcongi  19450  odcong  19456  odf1  19469  odf1o1  19479  efgredleme  19650  srgbinomlem4  20142  plyeq0lem  26137  aaliou3lem1  26272  aaliou3lem2  26273  efif1olem2  26474  wilthlem2  27001  basellem2  27014  dchrptlem1  27197  bposlem6  27222  gausslemma2dlem6  27305  lgsquadlem1  27313  crctcshwlkn0lem7  29789  crctcshwlkn0  29794  clwlkclwwlklem2fv2  29968  ballotlemfelz  34496  fwddifnp1  36199  knoppndvlem2  36547  poimirlem28  37688  lcmineqlem1  42062  irrapxlem1  42855  jm2.24nn  42992  congtr  42998  congadd  42999  congmul  43000  congabseq  43007  acongeq  43016  jm2.26a  43033  jm2.15nn0  43036  jm2.27c  43040  jm3.1  43053  2elfz2melfz  47349  elfzlble  47351  elfzelfzlble  47352  subsubelfzo0  47357  submodaddmod  47372  difltmodne  47373  submodneaddmod  47382  modmkpkne  47392  mod2addne  47395  altgsumbc  48383  altgsumbcALT  48384  zlmodzxzsub  48391