Theorem zsubcl 12531

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12491	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12491	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11427	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12524	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12529	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022   + caddc 11027   − cmin 11362  -cneg 11363  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  peano2zm  12532  zrevaddcl  12534  znnsub  12535  znn0sub  12536  nzadd  12537  zneo  12573  zsubcld  12599  subeluzsub  12782  fzen  13455  uzsubsubfz  13460  fzrev  13501  fzrev2  13502  fzrevral2  13527  fzshftral  13529  fz0fzdiffz0  13551  difelfzle  13555  difelfznle  13556  fzo0n  13595  fzonfzoufzol  13685  elfzomelpfzo  13686  zmodcl  13809  addmodlteq  13867  fzen2  13890  facndiv  14209  bccmpl  14230  bcval5  14239  bcpasc  14242  hashfz  14348  swrdspsleq  14587  pfxccatin12lem4  14647  pfxccatin12lem2a  14648  pfxccatin12lem1  14649  pfxccatin12lem2  14652  swrdccat  14656  repswswrd  14705  cshwsublen  14717  cshwidxmodr  14725  2cshwid  14735  3cshw  14739  cshweqdif2  14740  2cshwcshw  14746  cshwcshid  14748  seqshft  15006  isercoll2  15590  zfallfaccl  15942  binomrisefac  15963  bpolydiflem  15975  moddvds  16188  modmulconst  16213  dvds2sub  16216  dvdssub2  16226  dvdssubr  16230  fzocongeq  16249  3dvds  16256  odd2np1  16266  omoe  16289  omeo  16291  divalglem0  16318  divalglem4  16321  divalglem9  16326  divalgb  16329  divalgmod  16331  ndvdsadd  16335  nn0seqcvgd  16495  congr  16589  cncongr1  16592  cncongr2  16593  eulerthlem2  16707  prmdiv  16710  prmdiveq  16711  pythagtriplem4  16745  pythagtriplem8  16749  difsqpwdvds  16813  prmgaplem7  16983  mod2xnegi  16997  cshwshashlem2  17022  chnub  18543  mndodcongi  19470  odcong  19476  odf1  19489  odf1o1  19499  efgredleme  19670  srgbinomlem4  20162  plyeq0lem  26169  aaliou3lem1  26304  aaliou3lem2  26305  efif1olem2  26506  wilthlem2  27033  basellem2  27046  dchrptlem1  27229  bposlem6  27254  gausslemma2dlem6  27337  lgsquadlem1  27345  crctcshwlkn0lem7  29838  crctcshwlkn0  29843  clwlkclwwlklem2fv2  30020  ballotlemfelz  34597  fwddifnp1  36308  knoppndvlem2  36656  poimirlem28  37788  lcmineqlem1  42222  irrapxlem1  43006  jm2.24nn  43143  congtr  43149  congadd  43150  congmul  43151  congabseq  43158  acongeq  43167  jm2.26a  43184  jm2.15nn0  43187  jm2.27c  43191  jm3.1  43204  2elfz2melfz  47506  elfzlble  47508  elfzelfzlble  47509  subsubelfzo0  47514  submodaddmod  47529  difltmodne  47530  submodneaddmod  47539  modmkpkne  47549  mod2addne  47552  altgsumbc  48540  altgsumbcALT  48541  zlmodzxzsub  48548