Theorem zsubcl 12345

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12307	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11252	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12338	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12343	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2841	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   − cmin 11188  -cneg 11189  ℤcz 12302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303

This theorem is referenced by:  peano2zm  12346  zrevaddcl  12348  znnsub  12349  znn0sub  12350  nzadd  12351  zneo  12386  zsubcld  12413  eluzsubi  12594  subeluzsub  12597  fzen  13255  uzsubsubfz  13260  fzrev  13301  fzrev2  13302  fzrevral2  13324  fzshftral  13326  fz0fzdiffz0  13347  difelfzle  13351  difelfznle  13352  fzo0n  13390  fzonfzoufzol  13471  elfzomelpfzo  13472  zmodcl  13592  addmodlteq  13647  fzen2  13670  facndiv  13983  bccmpl  14004  bcval5  14013  bcpasc  14016  hashfz  14123  swrdspsleq  14359  pfxccatin12lem4  14420  pfxccatin12lem2a  14421  pfxccatin12lem1  14422  pfxccatin12lem2  14425  swrdccat  14429  repswswrd  14478  cshwsublen  14490  cshwidxmodr  14498  2cshwid  14508  3cshw  14512  cshweqdif2  14513  2cshwcshw  14519  cshwcshid  14521  seqshft  14777  isercoll2  15361  zfallfaccl  15712  binomrisefac  15733  bpolydiflem  15745  moddvds  15955  modmulconst  15978  dvds2sub  15981  dvdssub2  15991  dvdssubr  15995  fzocongeq  16014  3dvds  16021  odd2np1  16031  omoe  16054  omeo  16056  divalglem0  16083  divalglem4  16086  divalglem9  16091  divalgb  16094  divalgmod  16096  ndvdsadd  16100  nn0seqcvgd  16256  congr  16350  cncongr1  16353  cncongr2  16354  eulerthlem2  16464  prmdiv  16467  prmdiveq  16468  pythagtriplem4  16501  pythagtriplem8  16505  difsqpwdvds  16569  prmgaplem7  16739  mod2xnegi  16753  cshwshashlem2  16779  mndodcongi  19132  odcong  19138  odf1  19150  odf1o1  19158  efgredleme  19330  srgbinomlem4  19760  plyeq0lem  25352  aaliou3lem1  25483  aaliou3lem2  25484  efif1olem2  25680  wilthlem2  26199  basellem2  26212  dchrptlem1  26393  bposlem6  26418  gausslemma2dlem6  26501  lgsquadlem1  26509  crctcshwlkn0lem7  28160  crctcshwlkn0  28165  clwlkclwwlklem2fv2  28339  ballotlemfelz  32436  fwddifnp1  34446  knoppndvlem2  34672  poimirlem28  35784  lcmineqlem1  40017  irrapxlem1  40624  jm2.24nn  40761  congtr  40767  congadd  40768  congmul  40769  congabseq  40776  acongeq  40785  jm2.26a  40802  jm2.15nn0  40805  jm2.27c  40809  jm3.1  40822  2elfz2melfz  44762  elfzlble  44764  elfzelfzlble  44765  subsubelfzo0  44770  altgsumbc  45640  altgsumbcALT  45641  zlmodzxzsub  45648