Theorem zsubcl 11873

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 11834	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 11834	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 10782	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 11866	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 11871	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2884	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  (class class class)co 7016  ℂcc 10381   + caddc 10386   − cmin 10717  -cneg 10718  ℤcz 11829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830

This theorem is referenced by:  peano2zm  11874  zrevaddcl  11876  znnsub  11877  znn0sub  11878  nzadd  11879  zneo  11914  zsubcld  11941  eluzsubi  12121  subeluzsub  12124  fzen  12774  uzsubsubfz  12779  fzrev  12820  fzrev2  12821  fzrevral2  12843  fzshftral  12845  fz0fzdiffz0  12866  difelfzle  12870  difelfznle  12871  fzo0n  12909  fzonfzoufzol  12990  elfzomelpfzo  12991  zmodcl  13109  addmodlteq  13164  fzen2  13187  facndiv  13498  bccmpl  13519  bcval5  13528  bcpasc  13531  hashfz  13636  ccatsymb  13780  swrdspsleq  13863  pfxccatin12lem4  13924  pfxccatin12lem2a  13925  pfxccatin12lem1  13926  pfxccatin12lem2  13929  swrdccat  13933  repswswrd  13982  cshwsublen  13994  cshwidxmodr  14002  2cshwid  14012  3cshw  14016  cshweqdif2  14017  2cshwcshw  14023  cshwcshid  14025  seqshft  14278  isercoll2  14859  zfallfaccl  15208  binomrisefac  15229  bpolydiflem  15241  moddvds  15451  modmulconst  15474  dvds2sub  15477  dvdssub2  15484  dvdssubr  15488  fzocongeq  15507  3dvds  15513  odd2np1  15523  omoe  15546  omeo  15548  divalglem0  15577  divalglem4  15580  divalglem9  15585  divalgb  15588  divalgmod  15590  ndvdsadd  15594  nn0seqcvgd  15743  congr  15837  cncongr1  15840  cncongr2  15841  eulerthlem2  15948  prmdiv  15951  prmdiveq  15952  pythagtriplem4  15985  pythagtriplem8  15989  difsqpwdvds  16052  prmgaplem7  16222  mod2xnegi  16236  cshwshashlem2  16259  mndodcongi  18402  odcong  18408  odf1  18419  odf1o1  18427  efgredleme  18596  srgbinomlem4  18983  plyeq0lem  24483  aaliou3lem1  24614  aaliou3lem2  24615  efif1olem2  24808  wilthlem2  25328  basellem2  25341  dchrptlem1  25522  bposlem6  25547  gausslemma2dlem6  25630  lgsquadlem1  25638  crctcshwlkn0lem7  27281  crctcshwlkn0  27286  clwlkclwwlklem2fv2  27461  ballotlemfelz  31365  fwddifnp1  33236  knoppndvlem2  33462  poimirlem28  34470  irrapxlem1  38923  jm2.24nn  39060  congtr  39066  congadd  39067  congmul  39068  congabseq  39075  acongeq  39084  jm2.26a  39101  jm2.15nn0  39104  jm2.27c  39108  jm3.1  39121  2elfz2melfz  43054  elfzlble  43056  elfzelfzlble  43057  subsubelfzo0  43062  altgsumbc  43898  altgsumbcALT  43899  zlmodzxzsub  43906