Theorem zsubcl 12631

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12591	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11501	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12624	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12629	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   + caddc 11098   − cmin 11436  -cneg 11437  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  peano2zm  12632  zrevaddcl  12634  znnsub  12635  znn0sub  12636  nzadd  12637  zneo  12674  zsubcld  12700  subeluzsub  12890  fzen  13564  uzsubsubfz  13570  fzrev  13611  fzrev2  13612  fzrevral2  13637  fzshftral  13639  fz0fzdiffz0  13661  difelfzle  13665  difelfznle  13666  fzo0n  13706  fzonfzoufzol  13796  elfzomelpfzo  13797  zmodcl  13920  addmodlteq  13978  fzen2  14001  facndiv  14320  bccmpl  14341  bcval5  14350  bcpasc  14353  hashfz  14460  swrdspsleq  14699  pfxccatin12lem4  14759  pfxccatin12lem2a  14760  pfxccatin12lem1  14761  pfxccatin12lem2  14764  swrdccat  14768  repswswrd  14817  cshwsublen  14829  cshwidxmodr  14837  2cshwid  14847  3cshw  14851  cshweqdif2  14852  2cshwcshw  14858  cshwcshid  14860  seqshft  15118  isercoll2  15716  zfallfaccl  16071  binomrisefac  16091  bpolydiflem  16103  moddvds  16316  modmulconst  16341  dvds2sub  16344  dvdssub2  16354  dvdssubr  16358  fzocongeq  16377  3dvds  16384  odd2np1  16394  omoe  16417  omeo  16419  divalglem0  16446  divalglem4  16449  divalglem9  16454  divalgb  16457  divalgmod  16459  ndvdsadd  16463  nn0seqcvgd  16623  congr  16717  cncongr1  16720  cncongr2  16721  eulerthlem2  16836  prmdiv  16839  prmdiveq  16840  pythagtriplem4  16874  pythagtriplem8  16878  difsqpwdvds  16942  prmgaplem7  17112  mod2xnegi  17126  cshwshashlem2  17151  chnub  18673  mndodcongi  19608  odcong  19614  odf1  19627  odf1o1  19637  efgredleme  19808  srgbinomlem4  20306  plyeq0lem  26367  aaliou3lem1  26505  aaliou3lem2  26506  efif1olem2  26708  wilthlem2  27233  basellem2  27246  dchrptlem1  27428  bposlem6  27453  gausslemma2dlem6  27536  lgsquadlem1  27544  crctcshwlkn0lem7  30165  crctcshwlkn0  30170  clwlkclwwlklem2fv2  30347  ballotlemfelz  34881  fwddifnp1  36657  knoppndvlem2  37102  poimirlem28  38299  lcmineqlem1  42796  irrapxlem1  43549  jm2.24nn  43686  congtr  43692  congadd  43693  congmul  43694  congabseq  43701  acongeq  43710  jm2.26a  43727  jm2.15nn0  43730  jm2.27c  43734  jm3.1  43747  2elfz2melfz  48055  elfzlble  48057  elfzelfzlble  48058  subsubelfzo0  48064  submodaddmod  48084  difltmodne  48085  submodneaddmod  48094  modmkpkne  48104  mod2addne  48107  altgsumbc  49132  altgsumbcALT  49133  zlmodzxzsub  49140