Theorem zsubcl 12613

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12573	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12573	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11479	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12606	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12611	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2863	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071   + caddc 11076   − cmin 11414  -cneg 11415  ℤcz 12568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569

This theorem is referenced by:  peano2zm  12614  zrevaddcl  12616  znnsub  12617  znn0sub  12618  nzadd  12619  zneo  12656  zsubcld  12682  subeluzsub  12872  fzen  13546  uzsubsubfz  13551  fzrev  13592  fzrev2  13593  fzrevral2  13618  fzshftral  13620  fz0fzdiffz0  13642  difelfzle  13646  difelfznle  13647  fzo0n  13687  fzonfzoufzol  13777  elfzomelpfzo  13778  zmodcl  13901  addmodlteq  13959  fzen2  13982  facndiv  14301  bccmpl  14322  bcval5  14331  bcpasc  14334  hashfz  14440  swrdspsleq  14679  pfxccatin12lem4  14739  pfxccatin12lem2a  14740  pfxccatin12lem1  14741  pfxccatin12lem2  14744  swrdccat  14748  repswswrd  14797  cshwsublen  14809  cshwidxmodr  14817  2cshwid  14827  3cshw  14831  cshweqdif2  14832  2cshwcshw  14838  cshwcshid  14840  seqshft  15098  isercoll2  15696  zfallfaccl  16051  binomrisefac  16072  bpolydiflem  16084  moddvds  16297  modmulconst  16322  dvds2sub  16325  dvdssub2  16335  dvdssubr  16339  fzocongeq  16358  3dvds  16365  odd2np1  16375  omoe  16398  omeo  16400  divalglem0  16427  divalglem4  16430  divalglem9  16435  divalgb  16438  divalgmod  16440  ndvdsadd  16444  nn0seqcvgd  16604  congr  16698  cncongr1  16701  cncongr2  16702  eulerthlem2  16817  prmdiv  16820  prmdiveq  16821  pythagtriplem4  16855  pythagtriplem8  16859  difsqpwdvds  16923  prmgaplem7  17093  mod2xnegi  17107  cshwshashlem2  17132  chnub  18654  mndodcongi  19583  odcong  19589  odf1  19602  odf1o1  19612  efgredleme  19783  srgbinomlem4  20275  plyeq0lem  26267  aaliou3lem1  26403  aaliou3lem2  26404  efif1olem2  26605  wilthlem2  27130  basellem2  27143  dchrptlem1  27325  bposlem6  27350  gausslemma2dlem6  27433  lgsquadlem1  27441  crctcshwlkn0lem7  30013  crctcshwlkn0  30018  clwlkclwwlklem2fv2  30195  ballotlemfelz  34785  fwddifnp1  36512  knoppndvlem2  36948  poimirlem28  38144  lcmineqlem1  42643  irrapxlem1  43396  jm2.24nn  43533  congtr  43539  congadd  43540  congmul  43541  congabseq  43548  acongeq  43557  jm2.26a  43574  jm2.15nn0  43577  jm2.27c  43581  jm3.1  43594  2elfz2melfz  47909  elfzlble  47911  elfzelfzlble  47912  subsubelfzo0  47918  submodaddmod  47938  difltmodne  47939  submodneaddmod  47948  modmkpkne  47958  mod2addne  47961  altgsumbc  48971  altgsumbcALT  48972  zlmodzxzsub  48979