Theorem zsubcl 12685

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12644	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12644	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11584	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12678	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12683	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2845	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182   + caddc 11187   − cmin 11520  -cneg 11521  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640

This theorem is referenced by:  peano2zm  12686  zrevaddcl  12688  znnsub  12689  znn0sub  12690  nzadd  12691  zneo  12726  zsubcld  12752  eluzsubiOLD  12937  subeluzsub  12940  fzen  13601  uzsubsubfz  13606  fzrev  13647  fzrev2  13648  fzrevral2  13670  fzshftral  13672  fz0fzdiffz0  13694  difelfzle  13698  difelfznle  13699  fzo0n  13738  fzonfzoufzol  13820  elfzomelpfzo  13821  zmodcl  13942  addmodlteq  13997  fzen2  14020  facndiv  14337  bccmpl  14358  bcval5  14367  bcpasc  14370  hashfz  14476  swrdspsleq  14713  pfxccatin12lem4  14774  pfxccatin12lem2a  14775  pfxccatin12lem1  14776  pfxccatin12lem2  14779  swrdccat  14783  repswswrd  14832  cshwsublen  14844  cshwidxmodr  14852  2cshwid  14862  3cshw  14866  cshweqdif2  14867  2cshwcshw  14874  cshwcshid  14876  seqshft  15134  isercoll2  15717  zfallfaccl  16069  binomrisefac  16090  bpolydiflem  16102  moddvds  16313  modmulconst  16336  dvds2sub  16339  dvdssub2  16349  dvdssubr  16353  fzocongeq  16372  3dvds  16379  odd2np1  16389  omoe  16412  omeo  16414  divalglem0  16441  divalglem4  16444  divalglem9  16449  divalgb  16452  divalgmod  16454  ndvdsadd  16458  nn0seqcvgd  16617  congr  16711  cncongr1  16714  cncongr2  16715  eulerthlem2  16829  prmdiv  16832  prmdiveq  16833  pythagtriplem4  16866  pythagtriplem8  16870  difsqpwdvds  16934  prmgaplem7  17104  mod2xnegi  17118  cshwshashlem2  17144  mndodcongi  19585  odcong  19591  odf1  19604  odf1o1  19614  efgredleme  19785  srgbinomlem4  20256  plyeq0lem  26269  aaliou3lem1  26402  aaliou3lem2  26403  efif1olem2  26603  wilthlem2  27130  basellem2  27143  dchrptlem1  27326  bposlem6  27351  gausslemma2dlem6  27434  lgsquadlem1  27442  crctcshwlkn0lem7  29849  crctcshwlkn0  29854  clwlkclwwlklem2fv2  30028  chnub  32984  ballotlemfelz  34455  fwddifnp1  36129  knoppndvlem2  36479  poimirlem28  37608  lcmineqlem1  41986  irrapxlem1  42778  jm2.24nn  42916  congtr  42922  congadd  42923  congmul  42924  congabseq  42931  acongeq  42940  jm2.26a  42957  jm2.15nn0  42960  jm2.27c  42964  jm3.1  42977  2elfz2melfz  47233  elfzlble  47235  elfzelfzlble  47236  subsubelfzo0  47241  altgsumbc  48077  altgsumbcALT  48078  zlmodzxzsub  48085