Theorem zsubcl 12656

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12615	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11554	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12649	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12654	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150   + caddc 11155   − cmin 11489  -cneg 11490  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is referenced by:  peano2zm  12657  zrevaddcl  12659  znnsub  12660  znn0sub  12661  nzadd  12662  zneo  12698  zsubcld  12724  eluzsubiOLD  12909  subeluzsub  12912  fzen  13577  uzsubsubfz  13582  fzrev  13623  fzrev2  13624  fzrevral2  13649  fzshftral  13651  fz0fzdiffz0  13673  difelfzle  13677  difelfznle  13678  fzo0n  13717  fzonfzoufzol  13805  elfzomelpfzo  13806  zmodcl  13927  addmodlteq  13983  fzen2  14006  facndiv  14323  bccmpl  14344  bcval5  14353  bcpasc  14356  hashfz  14462  swrdspsleq  14699  pfxccatin12lem4  14760  pfxccatin12lem2a  14761  pfxccatin12lem1  14762  pfxccatin12lem2  14765  swrdccat  14769  repswswrd  14818  cshwsublen  14830  cshwidxmodr  14838  2cshwid  14848  3cshw  14852  cshweqdif2  14853  2cshwcshw  14860  cshwcshid  14862  seqshft  15120  isercoll2  15701  zfallfaccl  16053  binomrisefac  16074  bpolydiflem  16086  moddvds  16297  modmulconst  16321  dvds2sub  16324  dvdssub2  16334  dvdssubr  16338  fzocongeq  16357  3dvds  16364  odd2np1  16374  omoe  16397  omeo  16399  divalglem0  16426  divalglem4  16429  divalglem9  16434  divalgb  16437  divalgmod  16439  ndvdsadd  16443  nn0seqcvgd  16603  congr  16697  cncongr1  16700  cncongr2  16701  eulerthlem2  16815  prmdiv  16818  prmdiveq  16819  pythagtriplem4  16852  pythagtriplem8  16856  difsqpwdvds  16920  prmgaplem7  17090  mod2xnegi  17104  cshwshashlem2  17130  mndodcongi  19575  odcong  19581  odf1  19594  odf1o1  19604  efgredleme  19775  srgbinomlem4  20246  plyeq0lem  26263  aaliou3lem1  26398  aaliou3lem2  26399  efif1olem2  26599  wilthlem2  27126  basellem2  27139  dchrptlem1  27322  bposlem6  27347  gausslemma2dlem6  27430  lgsquadlem1  27438  crctcshwlkn0lem7  29845  crctcshwlkn0  29850  clwlkclwwlklem2fv2  30024  chnub  32985  ballotlemfelz  34471  fwddifnp1  36146  knoppndvlem2  36495  poimirlem28  37634  lcmineqlem1  42010  irrapxlem1  42809  jm2.24nn  42947  congtr  42953  congadd  42954  congmul  42955  congabseq  42962  acongeq  42971  jm2.26a  42988  jm2.15nn0  42991  jm2.27c  42995  jm3.1  43008  2elfz2melfz  47267  elfzlble  47269  elfzelfzlble  47270  subsubelfzo0  47275  submodaddmod  47280  difltmodne  47281  submodneaddmod  47290  altgsumbc  48196  altgsumbcALT  48197  zlmodzxzsub  48204