Theorem zsubcl 12432

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12394	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12394	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11339	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12430	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2839	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7313  ℂcc 10939   + caddc 10944   − cmin 11275  -cneg 11276  ℤcz 12389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390

This theorem is referenced by:  peano2zm  12433  zrevaddcl  12435  znnsub  12436  znn0sub  12437  nzadd  12438  zneo  12473  zsubcld  12501  eluzsubi  12682  subeluzsub  12685  fzen  13343  uzsubsubfz  13348  fzrev  13389  fzrev2  13390  fzrevral2  13412  fzshftral  13414  fz0fzdiffz0  13435  difelfzle  13439  difelfznle  13440  fzo0n  13479  fzonfzoufzol  13560  elfzomelpfzo  13561  zmodcl  13681  addmodlteq  13736  fzen2  13759  facndiv  14072  bccmpl  14093  bcval5  14102  bcpasc  14105  hashfz  14211  swrdspsleq  14447  pfxccatin12lem4  14508  pfxccatin12lem2a  14509  pfxccatin12lem1  14510  pfxccatin12lem2  14513  swrdccat  14517  repswswrd  14566  cshwsublen  14578  cshwidxmodr  14586  2cshwid  14596  3cshw  14600  cshweqdif2  14601  2cshwcshw  14607  cshwcshid  14609  seqshft  14865  isercoll2  15449  zfallfaccl  15800  binomrisefac  15821  bpolydiflem  15833  moddvds  16043  modmulconst  16066  dvds2sub  16069  dvdssub2  16079  dvdssubr  16083  fzocongeq  16102  3dvds  16109  odd2np1  16119  omoe  16142  omeo  16144  divalglem0  16171  divalglem4  16174  divalglem9  16179  divalgb  16182  divalgmod  16184  ndvdsadd  16188  nn0seqcvgd  16342  congr  16436  cncongr1  16439  cncongr2  16440  eulerthlem2  16550  prmdiv  16553  prmdiveq  16554  pythagtriplem4  16587  pythagtriplem8  16591  difsqpwdvds  16655  prmgaplem7  16825  mod2xnegi  16839  cshwshashlem2  16865  mndodcongi  19218  odcong  19224  odf1  19236  odf1o1  19244  efgredleme  19416  srgbinomlem4  19846  plyeq0lem  25442  aaliou3lem1  25573  aaliou3lem2  25574  efif1olem2  25770  wilthlem2  26289  basellem2  26302  dchrptlem1  26483  bposlem6  26508  gausslemma2dlem6  26591  lgsquadlem1  26599  crctcshwlkn0lem7  28289  crctcshwlkn0  28294  clwlkclwwlklem2fv2  28468  ballotlemfelz  32563  fwddifnp1  34528  knoppndvlem2  34754  poimirlem28  35865  lcmineqlem1  40249  irrapxlem1  40854  jm2.24nn  40992  congtr  40998  congadd  40999  congmul  41000  congabseq  41007  acongeq  41016  jm2.26a  41033  jm2.15nn0  41036  jm2.27c  41040  jm3.1  41053  2elfz2melfz  45069  elfzlble  45071  elfzelfzlble  45072  subsubelfzo0  45077  altgsumbc  45947  altgsumbcALT  45948  zlmodzxzsub  45955