Theorem zsubcl 12533

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12493	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11429	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12531	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2837	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   − cmin 11364  -cneg 11365  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489

This theorem is referenced by:  peano2zm  12534  zrevaddcl  12536  znnsub  12537  znn0sub  12538  nzadd  12539  zneo  12575  zsubcld  12601  subeluzsub  12784  fzen  13457  uzsubsubfz  13462  fzrev  13503  fzrev2  13504  fzrevral2  13529  fzshftral  13531  fz0fzdiffz0  13553  difelfzle  13557  difelfznle  13558  fzo0n  13597  fzonfzoufzol  13687  elfzomelpfzo  13688  zmodcl  13811  addmodlteq  13869  fzen2  13892  facndiv  14211  bccmpl  14232  bcval5  14241  bcpasc  14244  hashfz  14350  swrdspsleq  14589  pfxccatin12lem4  14649  pfxccatin12lem2a  14650  pfxccatin12lem1  14651  pfxccatin12lem2  14654  swrdccat  14658  repswswrd  14707  cshwsublen  14719  cshwidxmodr  14727  2cshwid  14737  3cshw  14741  cshweqdif2  14742  2cshwcshw  14748  cshwcshid  14750  seqshft  15008  isercoll2  15592  zfallfaccl  15944  binomrisefac  15965  bpolydiflem  15977  moddvds  16190  modmulconst  16215  dvds2sub  16218  dvdssub2  16228  dvdssubr  16232  fzocongeq  16251  3dvds  16258  odd2np1  16268  omoe  16291  omeo  16293  divalglem0  16320  divalglem4  16323  divalglem9  16328  divalgb  16331  divalgmod  16333  ndvdsadd  16337  nn0seqcvgd  16497  congr  16591  cncongr1  16594  cncongr2  16595  eulerthlem2  16709  prmdiv  16712  prmdiveq  16713  pythagtriplem4  16747  pythagtriplem8  16751  difsqpwdvds  16815  prmgaplem7  16985  mod2xnegi  16999  cshwshashlem2  17024  chnub  18545  mndodcongi  19472  odcong  19478  odf1  19491  odf1o1  19501  efgredleme  19672  srgbinomlem4  20164  plyeq0lem  26171  aaliou3lem1  26306  aaliou3lem2  26307  efif1olem2  26508  wilthlem2  27035  basellem2  27048  dchrptlem1  27231  bposlem6  27256  gausslemma2dlem6  27339  lgsquadlem1  27347  crctcshwlkn0lem7  29889  crctcshwlkn0  29894  clwlkclwwlklem2fv2  30071  ballotlemfelz  34648  fwddifnp1  36359  knoppndvlem2  36713  poimirlem28  37849  lcmineqlem1  42283  irrapxlem1  43064  jm2.24nn  43201  congtr  43207  congadd  43208  congmul  43209  congabseq  43216  acongeq  43225  jm2.26a  43242  jm2.15nn0  43245  jm2.27c  43249  jm3.1  43262  2elfz2melfz  47564  elfzlble  47566  elfzelfzlble  47567  subsubelfzo0  47572  submodaddmod  47587  difltmodne  47588  submodneaddmod  47597  modmkpkne  47607  mod2addne  47610  altgsumbc  48598  altgsumbcALT  48599  zlmodzxzsub  48606