Theorem zsubcl 12575

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12534	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12534	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11470	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12568	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12573	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  peano2zm  12576  zrevaddcl  12578  znnsub  12579  znn0sub  12580  nzadd  12581  zneo  12617  zsubcld  12643  eluzsubiOLD  12827  subeluzsub  12830  fzen  13502  uzsubsubfz  13507  fzrev  13548  fzrev2  13549  fzrevral2  13574  fzshftral  13576  fz0fzdiffz0  13598  difelfzle  13602  difelfznle  13603  fzo0n  13642  fzonfzoufzol  13731  elfzomelpfzo  13732  zmodcl  13853  addmodlteq  13911  fzen2  13934  facndiv  14253  bccmpl  14274  bcval5  14283  bcpasc  14286  hashfz  14392  swrdspsleq  14630  pfxccatin12lem4  14691  pfxccatin12lem2a  14692  pfxccatin12lem1  14693  pfxccatin12lem2  14696  swrdccat  14700  repswswrd  14749  cshwsublen  14761  cshwidxmodr  14769  2cshwid  14779  3cshw  14783  cshweqdif2  14784  2cshwcshw  14791  cshwcshid  14793  seqshft  15051  isercoll2  15635  zfallfaccl  15987  binomrisefac  16008  bpolydiflem  16020  moddvds  16233  modmulconst  16258  dvds2sub  16261  dvdssub2  16271  dvdssubr  16275  fzocongeq  16294  3dvds  16301  odd2np1  16311  omoe  16334  omeo  16336  divalglem0  16363  divalglem4  16366  divalglem9  16371  divalgb  16374  divalgmod  16376  ndvdsadd  16380  nn0seqcvgd  16540  congr  16634  cncongr1  16637  cncongr2  16638  eulerthlem2  16752  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem8  16794  difsqpwdvds  16858  prmgaplem7  17028  mod2xnegi  17042  cshwshashlem2  17067  mndodcongi  19473  odcong  19479  odf1  19492  odf1o1  19502  efgredleme  19673  srgbinomlem4  20138  plyeq0lem  26115  aaliou3lem1  26250  aaliou3lem2  26251  efif1olem2  26452  wilthlem2  26979  basellem2  26992  dchrptlem1  27175  bposlem6  27200  gausslemma2dlem6  27283  lgsquadlem1  27291  crctcshwlkn0lem7  29746  crctcshwlkn0  29751  clwlkclwwlklem2fv2  29925  chnub  32938  ballotlemfelz  34482  fwddifnp1  36153  knoppndvlem2  36501  poimirlem28  37642  lcmineqlem1  42017  irrapxlem1  42810  jm2.24nn  42948  congtr  42954  congadd  42955  congmul  42956  congabseq  42963  acongeq  42972  jm2.26a  42989  jm2.15nn0  42992  jm2.27c  42996  jm3.1  43009  2elfz2melfz  47319  elfzlble  47321  elfzelfzlble  47322  subsubelfzo0  47327  submodaddmod  47342  difltmodne  47343  submodneaddmod  47352  modmkpkne  47362  mod2addne  47365  altgsumbc  48340  altgsumbcALT  48341  zlmodzxzsub  48348