Theorem zsubcl 12632

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12591	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12591	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11529	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12625	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12630	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2835	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125   + caddc 11130   − cmin 11464  -cneg 11465  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  peano2zm  12633  zrevaddcl  12635  znnsub  12636  znn0sub  12637  nzadd  12638  zneo  12674  zsubcld  12700  eluzsubiOLD  12884  subeluzsub  12887  fzen  13556  uzsubsubfz  13561  fzrev  13602  fzrev2  13603  fzrevral2  13628  fzshftral  13630  fz0fzdiffz0  13652  difelfzle  13656  difelfznle  13657  fzo0n  13696  fzonfzoufzol  13784  elfzomelpfzo  13785  zmodcl  13906  addmodlteq  13962  fzen2  13985  facndiv  14304  bccmpl  14325  bcval5  14334  bcpasc  14337  hashfz  14443  swrdspsleq  14681  pfxccatin12lem4  14742  pfxccatin12lem2a  14743  pfxccatin12lem1  14744  pfxccatin12lem2  14747  swrdccat  14751  repswswrd  14800  cshwsublen  14812  cshwidxmodr  14820  2cshwid  14830  3cshw  14834  cshweqdif2  14835  2cshwcshw  14842  cshwcshid  14844  seqshft  15102  isercoll2  15683  zfallfaccl  16035  binomrisefac  16056  bpolydiflem  16068  moddvds  16281  modmulconst  16305  dvds2sub  16308  dvdssub2  16318  dvdssubr  16322  fzocongeq  16341  3dvds  16348  odd2np1  16358  omoe  16381  omeo  16383  divalglem0  16410  divalglem4  16413  divalglem9  16418  divalgb  16421  divalgmod  16423  ndvdsadd  16427  nn0seqcvgd  16587  congr  16681  cncongr1  16684  cncongr2  16685  eulerthlem2  16799  prmdiv  16802  prmdiveq  16803  pythagtriplem4  16837  pythagtriplem8  16841  difsqpwdvds  16905  prmgaplem7  17075  mod2xnegi  17089  cshwshashlem2  17114  mndodcongi  19522  odcong  19528  odf1  19541  odf1o1  19551  efgredleme  19722  srgbinomlem4  20187  plyeq0lem  26165  aaliou3lem1  26300  aaliou3lem2  26301  efif1olem2  26502  wilthlem2  27029  basellem2  27042  dchrptlem1  27225  bposlem6  27250  gausslemma2dlem6  27333  lgsquadlem1  27341  crctcshwlkn0lem7  29744  crctcshwlkn0  29749  clwlkclwwlklem2fv2  29923  chnub  32938  ballotlemfelz  34469  fwddifnp1  36129  knoppndvlem2  36477  poimirlem28  37618  lcmineqlem1  41988  irrapxlem1  42792  jm2.24nn  42930  congtr  42936  congadd  42937  congmul  42938  congabseq  42945  acongeq  42954  jm2.26a  42971  jm2.15nn0  42974  jm2.27c  42978  jm3.1  42991  2elfz2melfz  47295  elfzlble  47297  elfzelfzlble  47298  subsubelfzo0  47303  submodaddmod  47318  difltmodne  47319  submodneaddmod  47328  altgsumbc  48275  altgsumbcALT  48276  zlmodzxzsub  48283