Theorem zsubcl 12517

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12476	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12476	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11412	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12510	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12515	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2829	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   + caddc 11012   − cmin 11347  -cneg 11348  ℤcz 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472

This theorem is referenced by:  peano2zm  12518  zrevaddcl  12520  znnsub  12521  znn0sub  12522  nzadd  12523  zneo  12559  zsubcld  12585  eluzsubiOLD  12769  subeluzsub  12772  fzen  13444  uzsubsubfz  13449  fzrev  13490  fzrev2  13491  fzrevral2  13516  fzshftral  13518  fz0fzdiffz0  13540  difelfzle  13544  difelfznle  13545  fzo0n  13584  fzonfzoufzol  13673  elfzomelpfzo  13674  zmodcl  13795  addmodlteq  13853  fzen2  13876  facndiv  14195  bccmpl  14216  bcval5  14225  bcpasc  14228  hashfz  14334  swrdspsleq  14572  pfxccatin12lem4  14632  pfxccatin12lem2a  14633  pfxccatin12lem1  14634  pfxccatin12lem2  14637  swrdccat  14641  repswswrd  14690  cshwsublen  14702  cshwidxmodr  14710  2cshwid  14720  3cshw  14724  cshweqdif2  14725  2cshwcshw  14732  cshwcshid  14734  seqshft  14992  isercoll2  15576  zfallfaccl  15928  binomrisefac  15949  bpolydiflem  15961  moddvds  16174  modmulconst  16199  dvds2sub  16202  dvdssub2  16212  dvdssubr  16216  fzocongeq  16235  3dvds  16242  odd2np1  16252  omoe  16275  omeo  16277  divalglem0  16304  divalglem4  16307  divalglem9  16312  divalgb  16315  divalgmod  16317  ndvdsadd  16321  nn0seqcvgd  16481  congr  16575  cncongr1  16578  cncongr2  16579  eulerthlem2  16693  prmdiv  16696  prmdiveq  16697  pythagtriplem4  16731  pythagtriplem8  16735  difsqpwdvds  16799  prmgaplem7  16969  mod2xnegi  16983  cshwshashlem2  17008  mndodcongi  19422  odcong  19428  odf1  19441  odf1o1  19451  efgredleme  19622  srgbinomlem4  20114  plyeq0lem  26113  aaliou3lem1  26248  aaliou3lem2  26249  efif1olem2  26450  wilthlem2  26977  basellem2  26990  dchrptlem1  27173  bposlem6  27198  gausslemma2dlem6  27281  lgsquadlem1  27289  crctcshwlkn0lem7  29761  crctcshwlkn0  29766  clwlkclwwlklem2fv2  29940  chnub  32954  ballotlemfelz  34459  fwddifnp1  36139  knoppndvlem2  36487  poimirlem28  37628  lcmineqlem1  42002  irrapxlem1  42795  jm2.24nn  42932  congtr  42938  congadd  42939  congmul  42940  congabseq  42947  acongeq  42956  jm2.26a  42973  jm2.15nn0  42976  jm2.27c  42980  jm3.1  42993  2elfz2melfz  47302  elfzlble  47304  elfzelfzlble  47305  subsubelfzo0  47310  submodaddmod  47325  difltmodne  47326  submodneaddmod  47335  modmkpkne  47345  mod2addne  47348  altgsumbc  48336  altgsumbcALT  48337  zlmodzxzsub  48344