Theorem zsubcl 12745

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12705	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12705	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11613	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12738	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12743	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2861	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   + caddc 11210   − cmin 11548   -cneg 11549  ℤcz 12700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701

This theorem is used by:  peano2zm  12746  zrevaddcl  12748  znnsub  12749  znn0sub  12750  nzadd  12751  zneo  12789  zsubcld  12815  subeluzsub  13005  fzen  13681  uzsubsubfz  13687  fzrev  13728  fzrev2  13729  fzrevral2  13754  fzshftral  13756  fz0fzdiffz0  13778  difelfzle  13782  difelfznle  13783  fzo0n  13823  fzonfzoufzol  13913  elfzomelpfzo  13914  zmodcl  14038  addmodlteq  14096  fzen2  14119  facndiv  14439  bccmpl  14460  bcval5  14469  bcpasc  14472  hashfz  14579  swrdspsleq  14823  pfxccatin12lem4  14883  pfxccatin12lem2a  14884  pfxccatin12lem1  14885  pfxccatin12lem2  14888  swrdccat  14892  repswswrd  14943  cshwsublen  14955  cshwidxmodr  14963  2cshwid  14973  3cshw  14977  cshweqdif2  14978  2cshwcshw  14984  cshwcshid  14986  seqshft  15247  isercoll2  15845  zfallfaccl  16197  binomrisefac  16217  bpolydiflem  16229  moddvds  16442  modmulconst  16467  dvds2sub  16470  dvdssub2  16480  dvdssubr  16484  fzocongeq  16503  3dvds  16510  odd2np1  16520  omoe  16543  omeo  16545  divalglem0  16572  divalglem4  16575  divalglem9  16580  divalgb  16583  divalgmod  16585  ndvdsadd  16589  nn0seqcvgd  16754  congr  16848  cncongr1  16851  cncongr2  16852  eulerthlem2  16968  prmdiv  16971  prmdiveq  16972  pythagtriplem4  17006  pythagtriplem8  17010  difsqpwdvds  17074  prmgaplem7  17244  mod2xnegi  17258  cshwshashlem2  17283  chnub  18805  mndodcongi  19766  odcong  19772  odf1  19785  odf1o1  19795  efgredleme  19966  srgbinomlem4  20464  plyeq0lem  26538  aaliou3lem1  26678  aaliou3lem2  26679  efif1olem2  26880  wilthlem2  27405  basellem2  27418  dchrptlem1  27600  bposlem6  27625  gausslemma2dlem6  27708  lgsquadlem1  27716  crctcshwlkn0lem7  30414  crctcshwlkn0  30419  clwlkclwwlklem2fv2  30596  ballotlemfelz  35173  fwddifnp1  37026  knoppndvlem2  37475  poimirlem28  38675  lcmineqlem1  43188  irrapxlem1  43938  jm2.24nn  44075  congtr  44081  congadd  44082  congmul  44083  congabseq  44090  acongeq  44099  jm2.26a  44116  jm2.15nn0  44119  jm2.27c  44123  jm3.1  44136  2elfz2melfz  48496  elfzlble  48498  elfzelfzlble  48499  subsubelfzo0  48505  submodaddmod  48525  difltmodne  48526  submodneaddmod  48535  modmkpkne  48545  mod2addne  48548  altgsumbc  49572  altgsumbcALT  49573  zlmodzxzsub  49580