Theorem zsubcl 12569

Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zsubcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12529	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
2		zcn 12529	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		negsub 11442	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
5		znegcl 12562	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
6		zaddcl 12567	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
7	5, 6	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 + -𝑁) ∈ ℤ)
8	4, 7	eqeltrrd 2837	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036   + caddc 11041   − cmin 11377  -cneg 11378  ℤcz 12524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525

This theorem is referenced by:  peano2zm  12570  zrevaddcl  12572  znnsub  12573  znn0sub  12574  nzadd  12575  zneo  12612  zsubcld  12638  subeluzsub  12821  fzen  13495  uzsubsubfz  13500  fzrev  13541  fzrev2  13542  fzrevral2  13567  fzshftral  13569  fz0fzdiffz0  13591  difelfzle  13595  difelfznle  13596  fzo0n  13636  fzonfzoufzol  13726  elfzomelpfzo  13727  zmodcl  13850  addmodlteq  13908  fzen2  13931  facndiv  14250  bccmpl  14271  bcval5  14280  bcpasc  14283  hashfz  14389  swrdspsleq  14628  pfxccatin12lem4  14688  pfxccatin12lem2a  14689  pfxccatin12lem1  14690  pfxccatin12lem2  14693  swrdccat  14697  repswswrd  14746  cshwsublen  14758  cshwidxmodr  14766  2cshwid  14776  3cshw  14780  cshweqdif2  14781  2cshwcshw  14787  cshwcshid  14789  seqshft  15047  isercoll2  15631  zfallfaccl  15986  binomrisefac  16007  bpolydiflem  16019  moddvds  16232  modmulconst  16257  dvds2sub  16260  dvdssub2  16270  dvdssubr  16274  fzocongeq  16293  3dvds  16300  odd2np1  16310  omoe  16333  omeo  16335  divalglem0  16362  divalglem4  16365  divalglem9  16370  divalgb  16373  divalgmod  16375  ndvdsadd  16379  nn0seqcvgd  16539  congr  16633  cncongr1  16636  cncongr2  16637  eulerthlem2  16752  prmdiv  16755  prmdiveq  16756  pythagtriplem4  16790  pythagtriplem8  16794  difsqpwdvds  16858  prmgaplem7  17028  mod2xnegi  17042  cshwshashlem2  17067  chnub  18588  mndodcongi  19518  odcong  19524  odf1  19537  odf1o1  19547  efgredleme  19718  srgbinomlem4  20210  plyeq0lem  26175  aaliou3lem1  26308  aaliou3lem2  26309  efif1olem2  26507  wilthlem2  27032  basellem2  27045  dchrptlem1  27227  bposlem6  27252  gausslemma2dlem6  27335  lgsquadlem1  27343  crctcshwlkn0lem7  29884  crctcshwlkn0  29889  clwlkclwwlklem2fv2  30066  ballotlemfelz  34635  fwddifnp1  36347  knoppndvlem2  36773  poimirlem28  37969  lcmineqlem1  42468  irrapxlem1  43250  jm2.24nn  43387  congtr  43393  congadd  43394  congmul  43395  congabseq  43402  acongeq  43411  jm2.26a  43428  jm2.15nn0  43431  jm2.27c  43435  jm3.1  43448  2elfz2melfz  47766  elfzlble  47768  elfzelfzlble  47769  subsubelfzo0  47775  submodaddmod  47795  difltmodne  47796  submodneaddmod  47805  modmkpkne  47815  mod2addne  47818  altgsumbc  48828  altgsumbcALT  48829  zlmodzxzsub  48836