Theorem zmulcl 12654

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12617	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2		elznn0 12617	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		nn0mulcl 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	3	orcd 887	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6		remulcl 11196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8		nn0mulcl 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		recn 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		recn 11201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		mulneg1 11661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
12	9, 10, 11	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
13	12	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
14	8, 13	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15		olc 882	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
16	14, 15	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
17	16, 6	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18		nn0mulcl 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19		mulneg2 11662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
20	9, 10, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
21	20	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
22	18, 21	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
23	22, 15	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
24	23, 6	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25		nn0mulcl 12551	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26		mul2neg 11664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
27	9, 10, 26	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
28	27	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
29	25, 28	imbitrid 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30		orc 881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
31	29, 30	syl6 36	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
32	31, 6	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
33	7, 17, 24, 32	ccased 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34		elznn0 12617	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
35	33, 34	imbitrrdi 255	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
36	35	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37	36	an4s 673	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
38	1, 2, 37	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110   · cmul 11116  -cneg 11453  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603

This theorem is used by:  zdivmul  12680  msqznn  12690  zmulcld  12718  uz2mulcl  12962  qaddcl  13001  qmulcl  13003  qreccl  13005  fzctr  13681  flmulnn0  13874  zexpcl  14126  iexpcyc  14257  zesq  14276  cshweqrep  14878  fprodzcl  16027  zrisefaccl  16093  zfallfaccl  16094  addmulmodb  16341  dvdsmul1  16353  dvdsmul2  16354  muldvds1  16356  muldvds2  16357  dvdscmul  16358  dvdsmulc  16359  dvdscmulr  16360  dvdsmulcr  16361  dvds2ln  16365  dvdstr  16370  dvdsmultr1  16372  dvdsmultr2  16374  3dvdsdec  16408  3dvds2dec  16409  oexpneg  16421  mulsucdiv2z  16429  divalglem0  16469  divalglem2  16471  divalglem4  16472  divalglem8  16476  divalgb  16480  divalgmod  16482  ndvdsi  16488  gcdaddmlem  16600  absmulgcd  16625  dvdsmulgcd  16632  rpmulgcd  16633  lcmcllem  16672  rpmul  16735  cncongr1  16743  cncongr2  16744  eulerthlem2  16859  modprminv  16877  modprminveq  16878  modprm0  16883  pythagtriplem4  16897  pcpremul  16921  pcmul  16929  gzmulcl  17016  pgpfac1lem2  20171  zsubrg  21600  dvdsrzring  21641  mulgrhm  21657  pzriprnglem5  21665  pzriprng1ALT  21676  domnchr  21712  znfld  21740  znunit  21743  mbfi1fseqlem5  25909  dvexp3  26168  basellem2  27277  basellem5  27280  dvdsflf1o  27382  chtub  27407  bposlem1  27479  bposlem5  27483  bposlem6  27484  lgslem3  27494  lgsval4a  27514  lgsneg  27516  lgsdir2  27525  lgsdchr  27550  lgseisenlem1  27570  lgseisenlem2  27571  lgseisenlem3  27572  lgsquadlem1  27575  lgsquad2lem2  27580  2lgsoddprmlem2  27604  chebbnd1lem1  27664  chebbnd1lem3  27666  knoppndvlem2  37135  fzmul  38425  mzpclall  43491  mzpindd  43510  acongrep  43740  acongeq  43743  jm2.18  43748  jm2.21  43754  jm2.26a  43760  jm2.26  43762  jm2.16nn0  43764  jm2.27a  43765  jm2.27c  43767  jm3.1lem3  43779  fourierswlem  46977  sqrtnnaa  47637  muldvdsfacm1  48157  oexpnegALTV  48475  oexpnegnz  48476  tgblthelfgott  48613  2zrngmmgm  49050  zlmodzxzequa  49309  zlmodzxzequap  49312