Theorem zmulcl 12663

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcl	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 12625	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
2		elznn0 12625	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
3		nn0mulcl 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
4	3	orcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
6		remulcl 11237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
8		nn0mulcl 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
9		recn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
10		recn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
11		mulneg1 11696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · 𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
13	12	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
14	8, 13	imbitrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
15		olc 868	. . . . . . . 8 ⊢ (-(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
16	14, 15	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
17	16, 6	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
18		nn0mulcl 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
19		mulneg2 11697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
20	9, 10, 19	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 · -𝑁) = -(𝑀 · 𝑁))
21	20	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
22	18, 21	imbitrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
23	22, 15	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
24	23, 6	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
25		nn0mulcl 12559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0)
26		mul2neg 11699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
27	9, 10, 26	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (-𝑀 · -𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
28	27	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 · -𝑁) ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
29	25, 28	imbitrid 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
30		orc 867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))
31	29, 30	syl6 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
32	31, 6	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((-𝑀 ∈ ℕ0 ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
33	7, 17, 24, 32	ccased 1038	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0))))
34		elznn0 12625	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ↔ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0 ∨ -(𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)))
35	33, 34	imbitrrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ))
36	35	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
37	36	an4s 660	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0))) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
38	1, 2, 37	syl2anb 598	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151   · cmul 11157  -cneg 11490  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611

This theorem is referenced by:  zdivmul  12687  msqznn  12697  zmulcld  12725  uz2mulcl  12965  qaddcl  13004  qmulcl  13006  qreccl  13008  fzctr  13676  flmulnn0  13863  zexpcl  14113  iexpcyc  14242  zesq  14261  cshweqrep  14855  fprodzcl  15986  zrisefaccl  16052  zfallfaccl  16053  addmulmodb  16299  dvdsmul1  16311  dvdsmul2  16312  muldvds1  16314  muldvds2  16315  dvdscmul  16316  dvdsmulc  16317  dvdscmulr  16318  dvdsmulcr  16319  dvds2ln  16322  dvdstr  16327  dvdsmultr1  16329  dvdsmultr2  16331  3dvdsdec  16365  3dvds2dec  16366  oexpneg  16378  mulsucdiv2z  16386  divalglem0  16426  divalglem2  16428  divalglem4  16429  divalglem8  16433  divalgb  16437  divalgmod  16439  ndvdsi  16445  gcdaddmlem  16557  absmulgcd  16582  dvdsmulgcd  16589  rpmulgcd  16590  lcmcllem  16629  rpmul  16692  cncongr1  16700  cncongr2  16701  eulerthlem2  16815  modprminv  16832  modprminveq  16833  modprm0  16838  pythagtriplem4  16852  pcpremul  16876  pcmul  16884  gzmulcl  16971  pgpfac1lem2  20109  zsubrg  21455  dvdsrzring  21489  mulgrhm  21505  pzriprnglem5  21513  pzriprng1ALT  21524  domnchr  21564  znfld  21596  znunit  21599  mbfi1fseqlem5  25768  dvexp3  26030  basellem2  27139  basellem5  27142  dvdsflf1o  27244  chtub  27270  bposlem1  27342  bposlem5  27346  bposlem6  27347  lgslem3  27357  lgsval4a  27377  lgsneg  27379  lgsdir2  27388  lgsdchr  27413  lgseisenlem1  27433  lgseisenlem2  27434  lgseisenlem3  27435  lgsquadlem1  27438  lgsquad2lem2  27443  2lgsoddprmlem2  27467  chebbnd1lem1  27527  chebbnd1lem3  27529  knoppndvlem2  36495  fzmul  37727  mzpclall  42714  mzpindd  42733  acongrep  42968  acongeq  42971  jm2.18  42976  jm2.21  42982  jm2.26a  42988  jm2.26  42990  jm2.16nn0  42992  jm2.27a  42993  jm2.27c  42995  jm3.1lem3  43007  fourierswlem  46185  oexpnegALTV  47601  oexpnegnz  47602  tgblthelfgott  47739  2zrngmmgm  48095  zlmodzxzequa  48341  zlmodzxzequap  48344