Theorem oddp1eveni 43204

Description: The successor of an odd number is even. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
oddp1eveni	⊢ (𝑍 ∈ Odd → (𝑍 + 1) ∈ Even )

Proof of Theorem oddp1eveni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 43194	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → 𝑍 ∈ ℤ)
2	1	peano2zd 11902	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (𝑍 + 1) ∈ ℤ)
3		oddp1div2z 43196	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ)
4		iseven 43191	. 2 ⊢ ((𝑍 + 1) ∈ Even ↔ ((𝑍 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑍 + 1) / 2) ∈ ℤ))
5	2, 3, 4	sylanbrc 575	1 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (𝑍 + 1) ∈ Even )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6975  1c1 10335   + caddc 10337   / cdiv 11097  2c2 11494  ℤcz 11792   Even ceven 43187   Odd codd 43188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-even 43189  df-odd 43190

This theorem is referenced by:  4even  43272