Theorem peano2zd 12727

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  1c1 11157   + caddc 11159  ℤcz 12615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  13024  fznatpl1  13619  elfzom1elp1fzo1  13807  flge  13846  2tnp1ge0ge0  13870  uzsup  13904  seqf1olem1  14083  bcp1nk  14357  bcval5  14358  cshimadifsn0  14870  rexuzre  15392  limsupgre  15518  rlimclim1  15582  iseraltlem2  15720  telfsumo  15839  fsumparts  15843  climcnds  15888  geo2sum  15910  clim2prod  15925  clim2div  15926  fprodntriv  15979  dvdsfac  16364  2tp1odd  16390  opoe  16401  bits0o  16468  bitsp1o  16471  bitsinv1lem  16479  smupvallem  16521  smueqlem  16528  hashdvds  16813  prmreclem4  16958  prmreclem5  16959  vdwnnlem3  17036  prmgaplem7  17096  prmgaplem8  17097  sylow1lem1  19617  telgsumfzs  20008  srgbinomlem3  20226  chfacfscmul0  22865  chfacfpmmul0  22869  ovoliunlem2  25539  ovolicc2lem4  25556  uniioombllem3  25621  dyaddisjlem  25631  dvfsumlem1  26067  dvfsumlem3  26070  plyco0  26232  abelthlem6  26481  birthdaylem2  26996  wilthlem1  27112  wilth  27115  wilthimp  27116  basellem3  27127  chpp1  27199  perfect  27276  bcmono  27322  lgslem1  27342  lgsval2lem  27352  gausslemma2dlem5  27416  lgseisenlem1  27420  lgsquadlem1  27425  m1lgs  27433  2lgslem1a  27436  2lgslem3c  27443  2lgslem3d  27444  2lgslem3b1  27446  2lgslem3c1  27447  2sqblem  27476  rplogsumlem2  27530  rpvmasumlem  27532  dchrisumlema  27533  dchrisumlem2  27535  pntpbnd1  27631  pntpbnd2  27632  pntlemq  27646  pntlemr  27647  pntlemj  27648  pntlemf  27650  axlowdimlem16  28973  crctcshwlkn0lem3  29833  crctcshwlkn0lem6  29836  clwwlkf  30067  eucrct2eupth  30265  chnub  33003  cycpmco2lem3  33149  cycpmco2lem4  33150  cycpmco2lem5  33151  cycpmco2lem6  33152  cycpmco2  33154  isarchi3  33195  archirngz  33197  archiabllem1a  33199  archiabllem2c  33203  submateqlem1  33807  ballotlemsf1o  34517  ballotlemsima  34519  signstfvn  34585  fsum2dsub  34623  breprexplemc  34648  dnizphlfeqhlf  36478  dnibndlem13  36492  knoppndvlem10  36523  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem15  36528  knoppndvlem17  36530  ltflcei  37616  poimirlem2  37630  poimirlem10  37638  poimirlem15  37643  poimirlem19  37647  poimirlem23  37651  poimirlem28  37656  fdc  37753  incsequz  37756  cntotbnd  37804  lcmineqlem11  42041  lcmineqlem18  42048  lcmineqlem22  42052  aks4d1p7d1  42084  aks6d1c1  42118  2np3bcnp1  42146  sticksstones6  42153  sticksstones7  42154  sticksstones10  42157  sticksstones12a  42159  sticksstones12  42160  sticksstones22  42170  aks6d1c7lem1  42182  metakunt2  42208  metakunt4  42210  metakunt12  42218  fltnltalem  42677  lzunuz  42784  lzenom  42786  ltrmxnn0  42966  jm2.17a  42977  jm2.17b  42978  jm2.17c  42979  jm2.24  42980  rmygeid  42981  jm2.25  43016  jm2.27a  43022  jm3.1lem1  43034  expdiophlem1  43038  monoords  45314  fmul01lt1lem1  45604  climsuselem1  45627  sumnnodd  45650  supcnvlimsup  45760  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954  dvnmul  45963  iblspltprt  45993  itgspltprt  45999  stoweidlem26  46046  wallispilem4  46088  stirlinglem4  46097  stirlinglem8  46101  stirlinglem11  46104  stirlinglem13  46106  dirkertrigeqlem1  46118  dirkercncflem2  46124  fourierdlem11  46138  fourierdlem12  46139  fourierdlem15  46142  fourierdlem41  46168  fourierdlem50  46176  fourierdlem64  46190  fourierdlem65  46191  fourierdlem79  46205  caratheodorylem1  46546  smflimsuplem4  46843  ormkglobd  46895  natglobalincr  46897  iccpartgtprec  47412  iccpartiltu  47414  iccpartgt  47419  iccpartnel  47430  fmtnodvds  47536  fmtnoprmfac2lem1  47558  evenp1odd  47632  oddp1eveni  47633  opoeALTV  47675  evenltle  47709  perfectALTV  47715  gpgedgel  48012  gpgvtx0  48013  fllogbd  48486  nnpw2blen  48506  dignn0flhalflem2  48542  nn0sumshdiglemA  48545  aacllem  49375