Theorem peano2zd 12669

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12603	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  1c1 11111   + caddc 11113  ℤcz 12558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12965  fznatpl1  13555  elfzom1elp1fzo1  13732  flge  13770  2tnp1ge0ge0  13794  uzsup  13828  seqf1olem1  14007  bcp1nk  14277  bcval5  14278  cshimadifsn0  14781  rexuzre  15299  limsupgre  15425  rlimclim1  15489  iseraltlem2  15629  telfsumo  15748  fsumparts  15752  climcnds  15797  geo2sum  15819  clim2prod  15834  clim2div  15835  fprodntriv  15886  dvdsfac  16269  2tp1odd  16295  opoe  16306  bits0o  16371  bitsp1o  16374  bitsinv1lem  16382  smupvallem  16424  smueqlem  16431  hashdvds  16708  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  vdwnnlem3  16930  prmgaplem7  16990  prmgaplem8  16991  sylow1lem1  19466  telgsumfzs  19857  srgbinomlem3  20051  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  ovoliunlem2  25020  ovolicc2lem4  25037  uniioombllem3  25102  dyaddisjlem  25112  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem3  25545  plyco0  25706  abelthlem6  25948  birthdaylem2  26457  wilthlem1  26572  wilth  26575  wilthimp  26576  basellem3  26587  chpp1  26659  perfect  26734  bcmono  26780  lgslem1  26800  lgsval2lem  26810  gausslemma2dlem5  26874  lgseisenlem1  26878  lgsquadlem1  26883  m1lgs  26891  2lgslem1a  26894  2lgslem3c  26901  2lgslem3d  26902  2lgslem3b1  26904  2lgslem3c1  26905  2sqblem  26934  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  dchrisumlema  26991  dchrisumlem2  26993  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntlemq  27104  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  axlowdimlem16  28215  crctcshwlkn0lem3  29066  crctcshwlkn0lem6  29069  clwwlkf  29300  eucrct2eupth  29498  cycpmco2lem3  32287  cycpmco2lem4  32288  cycpmco2lem5  32289  cycpmco2lem6  32290  cycpmco2  32292  isarchi3  32333  archirngz  32335  archiabllem1a  32337  archiabllem2c  32341  submateqlem1  32787  ballotlemsf1o  33512  ballotlemsima  33514  signstfvn  33580  fsum2dsub  33619  breprexplemc  33644  dnizphlfeqhlf  35352  dnibndlem13  35366  knoppndvlem10  35397  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  ltflcei  36476  poimirlem2  36490  poimirlem10  36498  poimirlem15  36503  poimirlem19  36507  poimirlem23  36511  poimirlem28  36516  fdc  36613  incsequz  36616  cntotbnd  36664  lcmineqlem11  40904  lcmineqlem18  40911  lcmineqlem22  40915  aks4d1p7d1  40947  2np3bcnp1  40960  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt2  40986  metakunt4  40988  metakunt12  40996  fltnltalem  41404  lzunuz  41506  lzenom  41508  ltrmxnn0  41688  jm2.17a  41699  jm2.17b  41700  jm2.17c  41701  jm2.24  41702  rmygeid  41703  jm2.25  41738  jm2.27a  41744  jm3.1lem1  41756  expdiophlem1  41760  monoords  44007  fmul01lt1lem1  44300  climsuselem1  44323  sumnnodd  44346  supcnvlimsup  44456  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnmul  44659  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  stoweidlem26  44742  wallispilem4  44784  stirlinglem4  44793  stirlinglem8  44797  stirlinglem11  44800  stirlinglem13  44802  dirkertrigeqlem1  44814  dirkercncflem2  44820  fourierdlem11  44834  fourierdlem12  44835  fourierdlem15  44838  fourierdlem41  44864  fourierdlem50  44872  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem79  44901  caratheodorylem1  45242  smflimsuplem4  45539  natglobalincr  45591  iccpartgtprec  46088  iccpartiltu  46090  iccpartgt  46095  iccpartnel  46106  fmtnodvds  46212  fmtnoprmfac2lem1  46234  evenp1odd  46308  oddp1eveni  46309  opoeALTV  46351  evenltle  46385  perfectALTV  46391  fllogbd  47246  nnpw2blen  47266  dignn0flhalflem2  47302  nn0sumshdiglemA  47305  aacllem  47848