Theorem peano2zd 12599

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  1c1 11027   + caddc 11029  ℤcz 12488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12894  fznatpl1  13494  elfzom1elp1fzo1  13683  flge  13725  2tnp1ge0ge0  13749  uzsup  13783  seqf1olem1  13964  bcp1nk  14240  bcval5  14241  cshimadifsn0  14753  rexuzre  15276  limsupgre  15404  rlimclim1  15468  iseraltlem2  15606  telfsumo  15725  fsumparts  15729  climcnds  15774  geo2sum  15796  clim2prod  15811  clim2div  15812  fprodntriv  15865  dvdsfac  16253  2tp1odd  16279  opoe  16290  bits0o  16357  bitsp1o  16360  bitsinv1lem  16368  smupvallem  16410  smueqlem  16417  hashdvds  16702  prmreclem4  16847  prmreclem5  16848  vdwnnlem3  16925  prmgaplem7  16985  prmgaplem8  16986  chnub  18545  sylow1lem1  19527  telgsumfzs  19918  srgbinomlem3  20163  chfacfscmul0  22802  chfacfpmmul0  22806  ovoliunlem2  25460  ovolicc2lem4  25477  uniioombllem3  25542  dyaddisjlem  25552  dvfsumlem1  25988  dvfsumlem3  25991  plyco0  26153  abelthlem6  26402  birthdaylem2  26918  wilthlem1  27034  wilth  27037  wilthimp  27038  basellem3  27049  chpp1  27121  perfect  27198  bcmono  27244  lgslem1  27264  lgsval2lem  27274  gausslemma2dlem5  27338  lgseisenlem1  27342  lgsquadlem1  27347  m1lgs  27355  2lgslem1a  27358  2lgslem3c  27365  2lgslem3d  27366  2lgslem3b1  27368  2lgslem3c1  27369  2sqblem  27398  rplogsumlem2  27452  rpvmasumlem  27454  dchrisumlema  27455  dchrisumlem2  27457  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntlemq  27568  pntlemr  27569  pntlemj  27570  pntlemf  27572  axlowdimlem16  29030  crctcshwlkn0lem3  29885  crctcshwlkn0lem6  29888  clwwlkf  30122  eucrct2eupth  30320  cycpmco2lem3  33210  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2  33215  isarchi3  33269  archirngz  33271  archiabllem1a  33273  archiabllem2c  33277  submateqlem1  33964  ballotlemsf1o  34671  ballotlemsima  34673  signstfvn  34726  fsum2dsub  34764  breprexplemc  34789  dnizphlfeqhlf  36676  dnibndlem13  36690  knoppndvlem10  36721  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem15  36726  knoppndvlem17  36728  ltflcei  37809  poimirlem2  37823  poimirlem10  37831  poimirlem15  37836  poimirlem19  37840  poimirlem23  37844  poimirlem28  37849  fdc  37946  incsequz  37949  cntotbnd  37997  lcmineqlem11  42293  lcmineqlem18  42300  lcmineqlem22  42304  aks4d1p7d1  42336  aks6d1c1  42370  2np3bcnp1  42398  sticksstones6  42405  sticksstones7  42406  sticksstones10  42409  sticksstones12a  42411  sticksstones12  42412  sticksstones22  42422  aks6d1c7lem1  42434  fltnltalem  42905  lzunuz  43010  lzenom  43012  ltrmxnn0  43191  jm2.17a  43202  jm2.17b  43203  jm2.17c  43204  jm2.24  43205  rmygeid  43206  jm2.25  43241  jm2.27a  43247  jm3.1lem1  43259  expdiophlem1  43263  monoords  45545  fmul01lt1lem1  45830  climsuselem1  45853  sumnnodd  45876  supcnvlimsup  45984  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  dvnmul  46187  iblspltprt  46217  itgspltprt  46223  stoweidlem26  46270  wallispilem4  46312  stirlinglem4  46321  stirlinglem8  46325  stirlinglem11  46328  stirlinglem13  46330  dirkertrigeqlem1  46342  dirkercncflem2  46348  fourierdlem11  46362  fourierdlem12  46363  fourierdlem15  46366  fourierdlem41  46392  fourierdlem50  46400  fourierdlem64  46414  fourierdlem65  46415  fourierdlem79  46429  caratheodorylem1  46770  smflimsuplem4  47067  ormkglobd  47119  natglobalincr  47121  iccpartgtprec  47666  iccpartiltu  47668  iccpartgt  47673  iccpartnel  47684  fmtnodvds  47790  fmtnoprmfac2lem1  47812  evenp1odd  47886  oddp1eveni  47887  opoeALTV  47929  evenltle  47963  perfectALTV  47969  gpgiedgdmellem  48292  gpgvtx0  48299  pgnbgreunbgrlem2lem2  48361  fllogbd  48806  nnpw2blen  48826  dignn0flhalflem2  48862  nn0sumshdiglemA  48865  aacllem  50046