Theorem peano2zd 12698

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  1c1 11096   + caddc 11098  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  13000  fznatpl1  13602  elfzom1elp1fzo1  13792  flge  13834  2tnp1ge0ge0  13858  uzsup  13892  seqf1olem1  14073  bcp1nk  14349  bcval5  14350  cshimadifsn0  14863  rexuzre  15400  limsupgre  15528  rlimclim1  15592  iseraltlem2  15730  telfsumo  15850  fsumparts  15854  climcnds  15901  geo2sum  15923  clim2prod  15938  clim2div  15939  fprodntriv  15992  dvdsfac  16379  2tp1odd  16405  opoe  16416  bits0o  16483  bitsp1o  16486  bitsinv1lem  16494  smupvallem  16536  smueqlem  16543  hashdvds  16829  prmreclem4  16974  prmreclem5  16975  vdwnnlem3  17052  prmgaplem7  17112  prmgaplem8  17113  chnub  18673  sylow1lem1  19663  telgsumfzs  20054  srgbinomlem3  20305  chfacfscmul0  23015  chfacfpmmul0  23019  ovoliunlem2  25662  ovolicc2lem4  25679  uniioombllem3  25744  dyaddisjlem  25754  dvfsumlem1  26185  dvfsumlem3  26187  plyco0  26349  abelthlem6  26599  birthdaylem2  27117  wilthlem1  27232  wilth  27235  wilthimp  27236  basellem3  27247  chpp1  27319  perfect  27395  bcmono  27441  lgslem1  27461  lgsval2lem  27471  gausslemma2dlem5  27535  lgseisenlem1  27539  lgsquadlem1  27544  m1lgs  27552  2lgslem1a  27555  2lgslem3c  27562  2lgslem3d  27563  2lgslem3b1  27565  2lgslem3c1  27566  2sqblem  27595  rplogsumlem2  27649  rpvmasumlem  27651  dchrisumlema  27652  dchrisumlem2  27654  pntpbnd1  27750  pntpbnd2  27751  pntlemq  27765  pntlemr  27766  pntlemj  27767  pntlemf  27769  axlowdimlem16  29307  crctcshwlkn0lem3  30161  crctcshwlkn0lem6  30164  clwwlkf  30398  eucrct2eupth  30596  cycpmco2lem3  33448  cycpmco2lem4  33449  cycpmco2lem5  33450  cycpmco2lem6  33451  cycpmco2  33453  isarchi3  33507  archirngz  33509  archiabllem1a  33511  archiabllem2c  33515  submateqlem1  34197  ballotlemsf1o  34904  ballotlemsima  34906  signstfvn  34956  fsum2dsub  34994  breprexplemc  35019  dnizphlfeqhlf  37085  dnibndlem13  37099  knoppndvlem10  37130  knoppndvlem14  37134  knoppndvlem15  37135  knoppndvlem17  37137  ltflcei  38279  poimirlem2  38293  poimirlem10  38301  poimirlem15  38306  poimirlem19  38310  poimirlem23  38314  poimirlem28  38319  fdc  38416  incsequz  38419  cntotbnd  38467  lcmineqlem11  42826  lcmineqlem18  42833  lcmineqlem22  42837  aks4d1p7d1  42869  aks6d1c1  42903  2np3bcnp1  42931  sticksstones6  42938  sticksstones7  42939  sticksstones10  42942  sticksstones12a  42944  sticksstones12  42945  sticksstones22  42955  aks6d1c7lem1  42967  fltnltalem  43414  lzunuz  43519  lzenom  43521  ltrmxnn0  43696  jm2.17a  43707  jm2.17b  43708  jm2.17c  43709  jm2.24  43710  rmygeid  43711  jm2.25  43746  jm2.27a  43752  jm3.1lem1  43764  expdiophlem1  43768  monoords  46036  fmul01lt1lem1  46320  climsuselem1  46343  sumnnodd  46366  supcnvlimsup  46474  ioodvbdlimc1lem2  46666  ioodvbdlimc2lem  46668  dvnmul  46677  iblspltprt  46707  itgspltprt  46713  stoweidlem26  46760  wallispilem4  46802  stirlinglem4  46811  stirlinglem8  46815  stirlinglem11  46818  stirlinglem13  46820  dirkertrigeqlem1  46832  dirkercncflem2  46838  fourierdlem11  46852  fourierdlem12  46853  fourierdlem15  46856  fourierdlem41  46882  fourierdlem50  46890  fourierdlem64  46904  fourierdlem65  46905  fourierdlem79  46919  caratheodorylem1  47260  smflimsuplem4  47557  ormkglobd  47611  natglobalincr  47613  iccpartgtprec  48189  iccpartiltu  48191  iccpartgt  48196  iccpartnel  48207  fmtnodvds  48316  fmtnoprmfac2lem1  48338  ppivalnnprm  48397  evenp1odd  48425  oddp1eveni  48426  opoeALTV  48468  evenltle  48502  perfectALTV  48508  gpgiedgdmellem  48831  gpgvtx0  48838  pgnbgreunbgrlem2lem2  48900  fllogbd  49360  nnpw2blen  49380  dignn0flhalflem2  49416  nn0sumshdiglemA  49419  aacllem  50641