Theorem peano2zd 12729

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12660	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  1c1 11126   + caddc 11128  ℤcz 12616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617

This theorem is used by:  rpnnen1lem5  13032  fznatpl1  13634  elfzom1elp1fzo1  13824  flge  13867  2tnp1ge0ge0  13891  uzsup  13925  seqf1olem1  14106  bcp1nk  14382  bcval5  14383  cshimadifsn0  14902  rexuzre  15441  limsupgre  15569  rlimclim1  15633  iseraltlem2  15771  telfsumo  15890  fsumparts  15894  climcnds  15941  geo2sum  15963  clim2prod  15978  clim2div  15979  fprodntriv  16030  dvdsfac  16417  2tp1odd  16443  opoe  16454  bits0o  16521  bitsp1o  16524  bitsinv1lem  16532  smupvallem  16574  smueqlem  16581  hashdvds  16867  prmreclem4  17012  prmreclem5  17013  vdwnnlem3  17090  prmgaplem7  17150  prmgaplem8  17151  chnub  18711  sylow1lem1  19726  telgsumfzs  20117  srgbinomlem3  20368  chfacfscmul0  23084  chfacfpmmul0  23088  ovoliunlem2  25732  ovolicc2lem4  25749  uniioombllem3  25814  dyaddisjlem  25824  dvfsumlem1  26254  dvfsumlem3  26256  plyco0  26418  abelthlem6  26673  birthdaylem2  27190  wilthlem1  27305  wilth  27308  wilthimp  27309  basellem3  27320  chpp1  27392  perfect  27468  bcmono  27514  lgslem1  27534  lgsval2lem  27544  gausslemma2dlem5  27608  lgseisenlem1  27612  lgsquadlem1  27617  m1lgs  27625  2lgslem1a  27628  2lgslem3c  27635  2lgslem3d  27636  2lgslem3b1  27638  2lgslem3c1  27639  2sqblem  27668  rplogsumlem2  27722  rpvmasumlem  27724  dchrisumlema  27725  dchrisumlem2  27727  pntpbnd1  27823  pntpbnd2  27824  pntlemq  27838  pntlemr  27839  pntlemj  27840  pntlemf  27842  axlowdimlem16  29415  crctcshwlkn0lem3  30281  crctcshwlkn0lem6  30284  clwwlkf  30518  eucrct2eupth  30726  cycpmco2lem3  33569  cycpmco2lem4  33570  cycpmco2lem5  33571  cycpmco2lem6  33572  cycpmco2  33574  isarchi3  33628  archirngz  33630  archiabllem1a  33632  archiabllem2c  33636  submateqlem1  34318  ballotlemsf1o  35026  ballotlemsima  35028  signstfvn  35078  fsum2dsub  35116  breprexplemc  35141  dnizphlfeqhlf  37174  dnibndlem13  37188  knoppndvlem10  37219  knoppndvlem14  37223  knoppndvlem15  37224  knoppndvlem17  37226  ltflcei  38363  poimirlem2  38372  poimirlem10  38380  poimirlem15  38385  poimirlem19  38389  poimirlem23  38393  poimirlem28  38398  fdc  38496  incsequz  38499  cntotbnd  38547  lcmineqlem11  42906  lcmineqlem18  42913  lcmineqlem22  42917  aks4d1p7d1  42949  aks6d1c1  42983  2np3bcnp1  43011  sticksstones6  43018  sticksstones7  43019  sticksstones10  43022  sticksstones12a  43024  sticksstones12  43025  sticksstones22  43035  aks6d1c7lem1  43047  fltnltalem  43509  lzunuz  43614  lzenom  43616  ltrmxnn0  43791  jm2.17a  43802  jm2.17b  43803  jm2.17c  43804  jm2.24  43805  rmygeid  43806  jm2.25  43841  jm2.27a  43847  jm3.1lem1  43859  expdiophlem1  43863  monoords  46131  fmul01lt1lem1  46415  climsuselem1  46438  sumnnodd  46461  supcnvlimsup  46569  ioodvbdlimc1lem2  46761  ioodvbdlimc2lem  46763  dvnmul  46772  iblspltprt  46802  itgspltprt  46808  stoweidlem26  46855  wallispilem4  46897  stirlinglem4  46906  stirlinglem8  46910  stirlinglem11  46913  stirlinglem13  46915  dirkertrigeqlem1  46927  dirkercncflem2  46933  fourierdlem11  46947  fourierdlem12  46948  fourierdlem15  46951  fourierdlem41  46977  fourierdlem50  46985  fourierdlem64  46999  fourierdlem65  47000  fourierdlem79  47014  caratheodorylem1  47355  smflimsuplem4  47652  ormkglobd  47706  iccpartgtprec  48321  iccpartiltu  48323  iccpartgt  48328  iccpartnel  48339  fmtnodvds  48448  fmtnoprmfac2lem1  48470  ppivalnnprm  48529  evenp1odd  48557  oddp1eveni  48558  opoeALTV  48600  evenltle  48634  perfectALTV  48640  gpgiedgdmellem  48963  gpgvtx0  48970  pgnbgreunbgrlem2lem2  49032  fllogbd  49491  nnpw2blen  49511  dignn0flhalflem2  49547  nn0sumshdiglemA  49550  aacllem  50773