Theorem peano2zd 12617

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12916  fznatpl1  13515  elfzom1elp1fzo1  13704  flge  13743  2tnp1ge0ge0  13767  uzsup  13801  seqf1olem1  13982  bcp1nk  14258  bcval5  14259  cshimadifsn0  14772  rexuzre  15295  limsupgre  15423  rlimclim1  15487  iseraltlem2  15625  telfsumo  15744  fsumparts  15748  climcnds  15793  geo2sum  15815  clim2prod  15830  clim2div  15831  fprodntriv  15884  dvdsfac  16272  2tp1odd  16298  opoe  16309  bits0o  16376  bitsp1o  16379  bitsinv1lem  16387  smupvallem  16429  smueqlem  16436  hashdvds  16721  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  vdwnnlem3  16944  prmgaplem7  17004  prmgaplem8  17005  sylow1lem1  19512  telgsumfzs  19903  srgbinomlem3  20148  chfacfscmul0  22778  chfacfpmmul0  22782  ovoliunlem2  25437  ovolicc2lem4  25454  uniioombllem3  25519  dyaddisjlem  25529  dvfsumlem1  25965  dvfsumlem3  25968  plyco0  26130  abelthlem6  26379  birthdaylem2  26895  wilthlem1  27011  wilth  27014  wilthimp  27015  basellem3  27026  chpp1  27098  perfect  27175  bcmono  27221  lgslem1  27241  lgsval2lem  27251  gausslemma2dlem5  27315  lgseisenlem1  27319  lgsquadlem1  27324  m1lgs  27332  2lgslem1a  27335  2lgslem3c  27342  2lgslem3d  27343  2lgslem3b1  27345  2lgslem3c1  27346  2sqblem  27375  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrisumlema  27432  dchrisumlem2  27434  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntlemq  27545  pntlemr  27546  pntlemj  27547  pntlemf  27549  axlowdimlem16  28937  crctcshwlkn0lem3  29792  crctcshwlkn0lem6  29795  clwwlkf  30026  eucrct2eupth  30224  chnub  32984  cycpmco2lem3  33100  cycpmco2lem4  33101  cycpmco2lem5  33102  cycpmco2lem6  33103  cycpmco2  33105  isarchi3  33156  archirngz  33158  archiabllem1a  33160  archiabllem2c  33164  submateqlem1  33790  ballotlemsf1o  34498  ballotlemsima  34500  signstfvn  34553  fsum2dsub  34591  breprexplemc  34616  dnizphlfeqhlf  36457  dnibndlem13  36471  knoppndvlem10  36502  knoppndvlem14  36506  knoppndvlem15  36507  knoppndvlem17  36509  ltflcei  37595  poimirlem2  37609  poimirlem10  37617  poimirlem15  37622  poimirlem19  37626  poimirlem23  37630  poimirlem28  37635  fdc  37732  incsequz  37735  cntotbnd  37783  lcmineqlem11  42020  lcmineqlem18  42027  lcmineqlem22  42031  aks4d1p7d1  42063  aks6d1c1  42097  2np3bcnp1  42125  sticksstones6  42132  sticksstones7  42133  sticksstones10  42136  sticksstones12a  42138  sticksstones12  42139  sticksstones22  42149  aks6d1c7lem1  42161  fltnltalem  42643  lzunuz  42749  lzenom  42751  ltrmxnn0  42931  jm2.17a  42942  jm2.17b  42943  jm2.17c  42944  jm2.24  42945  rmygeid  42946  jm2.25  42981  jm2.27a  42987  jm3.1lem1  42999  expdiophlem1  43003  monoords  45288  fmul01lt1lem1  45575  climsuselem1  45598  sumnnodd  45621  supcnvlimsup  45731  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  dvnmul  45934  iblspltprt  45964  itgspltprt  45970  stoweidlem26  46017  wallispilem4  46059  stirlinglem4  46068  stirlinglem8  46072  stirlinglem11  46075  stirlinglem13  46077  dirkertrigeqlem1  46089  dirkercncflem2  46095  fourierdlem11  46109  fourierdlem12  46110  fourierdlem15  46113  fourierdlem41  46139  fourierdlem50  46147  fourierdlem64  46161  fourierdlem65  46162  fourierdlem79  46176  caratheodorylem1  46517  smflimsuplem4  46814  ormkglobd  46866  natglobalincr  46868  iccpartgtprec  47414  iccpartiltu  47416  iccpartgt  47421  iccpartnel  47432  fmtnodvds  47538  fmtnoprmfac2lem1  47560  evenp1odd  47634  oddp1eveni  47635  opoeALTV  47677  evenltle  47711  perfectALTV  47717  gpgiedgdmellem  48030  gpgvtx0  48037  pgnbgreunbgrlem2lem2  48098  fllogbd  48542  nnpw2blen  48562  dignn0flhalflem2  48598  nn0sumshdiglemA  48601  aacllem  49783