Theorem peano2zd 12617

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12550	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12916  fznatpl1  13515  elfzom1elp1fzo1  13704  flge  13743  2tnp1ge0ge0  13767  uzsup  13801  seqf1olem1  13982  bcp1nk  14258  bcval5  14259  cshimadifsn0  14772  rexuzre  15295  limsupgre  15423  rlimclim1  15487  iseraltlem2  15625  telfsumo  15744  fsumparts  15748  climcnds  15793  geo2sum  15815  clim2prod  15830  clim2div  15831  fprodntriv  15884  dvdsfac  16272  2tp1odd  16298  opoe  16309  bits0o  16376  bitsp1o  16379  bitsinv1lem  16387  smupvallem  16429  smueqlem  16436  hashdvds  16721  prmreclem4  16866  prmreclem5  16867  vdwnnlem3  16944  prmgaplem7  17004  prmgaplem8  17005  sylow1lem1  19504  telgsumfzs  19895  srgbinomlem3  20113  chfacfscmul0  22721  chfacfpmmul0  22725  ovoliunlem2  25380  ovolicc2lem4  25397  uniioombllem3  25462  dyaddisjlem  25472  dvfsumlem1  25908  dvfsumlem3  25911  plyco0  26073  abelthlem6  26322  birthdaylem2  26838  wilthlem1  26954  wilth  26957  wilthimp  26958  basellem3  26969  chpp1  27041  perfect  27118  bcmono  27164  lgslem1  27184  lgsval2lem  27194  gausslemma2dlem5  27258  lgseisenlem1  27262  lgsquadlem1  27267  m1lgs  27275  2lgslem1a  27278  2lgslem3c  27285  2lgslem3d  27286  2lgslem3b1  27288  2lgslem3c1  27289  2sqblem  27318  rplogsumlem2  27372  rpvmasumlem  27374  dchrisumlema  27375  dchrisumlem2  27377  pntpbnd1  27473  pntpbnd2  27474  pntlemq  27488  pntlemr  27489  pntlemj  27490  pntlemf  27492  axlowdimlem16  28860  crctcshwlkn0lem3  29715  crctcshwlkn0lem6  29718  clwwlkf  29949  eucrct2eupth  30147  chnub  32911  cycpmco2lem3  33058  cycpmco2lem4  33059  cycpmco2lem5  33060  cycpmco2lem6  33061  cycpmco2  33063  isarchi3  33114  archirngz  33116  archiabllem1a  33118  archiabllem2c  33122  submateqlem1  33770  ballotlemsf1o  34478  ballotlemsima  34480  signstfvn  34533  fsum2dsub  34571  breprexplemc  34596  dnizphlfeqhlf  36437  dnibndlem13  36451  knoppndvlem10  36482  knoppndvlem14  36486  knoppndvlem15  36487  knoppndvlem17  36489  ltflcei  37575  poimirlem2  37589  poimirlem10  37597  poimirlem15  37602  poimirlem19  37606  poimirlem23  37610  poimirlem28  37615  fdc  37712  incsequz  37715  cntotbnd  37763  lcmineqlem11  42000  lcmineqlem18  42007  lcmineqlem22  42011  aks4d1p7d1  42043  aks6d1c1  42077  2np3bcnp1  42105  sticksstones6  42112  sticksstones7  42113  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  sticksstones12  42119  sticksstones22  42129  aks6d1c7lem1  42141  fltnltalem  42623  lzunuz  42729  lzenom  42731  ltrmxnn0  42911  jm2.17a  42922  jm2.17b  42923  jm2.17c  42924  jm2.24  42925  rmygeid  42926  jm2.25  42961  jm2.27a  42967  jm3.1lem1  42979  expdiophlem1  42983  monoords  45268  fmul01lt1lem1  45555  climsuselem1  45578  sumnnodd  45601  supcnvlimsup  45711  ioodvbdlimc1lem2  45903  ioodvbdlimc2lem  45905  dvnmul  45914  iblspltprt  45944  itgspltprt  45950  stoweidlem26  45997  wallispilem4  46039  stirlinglem4  46048  stirlinglem8  46052  stirlinglem11  46055  stirlinglem13  46057  dirkertrigeqlem1  46069  dirkercncflem2  46075  fourierdlem11  46089  fourierdlem12  46090  fourierdlem15  46093  fourierdlem41  46119  fourierdlem50  46127  fourierdlem64  46141  fourierdlem65  46142  fourierdlem79  46156  caratheodorylem1  46497  smflimsuplem4  46794  ormkglobd  46846  natglobalincr  46848  iccpartgtprec  47394  iccpartiltu  47396  iccpartgt  47401  iccpartnel  47412  fmtnodvds  47518  fmtnoprmfac2lem1  47540  evenp1odd  47614  oddp1eveni  47615  opoeALTV  47657  evenltle  47691  perfectALTV  47697  gpgiedgdmellem  48010  gpgvtx0  48017  pgnbgreunbgrlem2lem2  48078  fllogbd  48522  nnpw2blen  48542  dignn0flhalflem2  48578  nn0sumshdiglemA  48581  aacllem  49763