Theorem peano2zd 12813

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12744	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424  1c1 11208   + caddc 11210  ℤcz 12700

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701

This theorem is used by:  rpnnen1lem5  13116  fznatpl1  13719  elfzom1elp1fzo1  13909  flge  13952  2tnp1ge0ge0  13976  uzsup  14010  seqf1olem1  14191  bcp1nk  14468  bcval5  14469  cshimadifsn0  14989  rexuzre  15529  limsupgre  15657  rlimclim1  15721  iseraltlem2  15859  telfsumo  15978  fsumparts  15982  climcnds  16029  geo2sum  16051  clim2prod  16066  clim2div  16067  fprodntriv  16118  dvdsfac  16505  2tp1odd  16531  opoe  16542  bits0o  16609  bitsp1o  16612  bitsinv1lem  16620  smupvallem  16662  smueqlem  16669  hashdvds  16961  prmreclem4  17106  prmreclem5  17107  vdwnnlem3  17184  prmgaplem7  17244  prmgaplem8  17245  chnub  18805  sylow1lem1  19821  telgsumfzs  20212  srgbinomlem3  20463  chfacfscmul0  23185  chfacfpmmul0  23189  ovoliunlem2  25833  ovolicc2lem4  25850  uniioombllem3  25915  dyaddisjlem  25925  dvfsumlem1  26355  dvfsumlem3  26357  plyco0  26519  abelthlem6  26772  birthdaylem2  27289  wilthlem1  27404  wilth  27407  wilthimp  27408  basellem3  27419  chpp1  27491  perfect  27567  bcmono  27613  lgslem1  27633  lgsval2lem  27643  gausslemma2dlem5  27707  lgseisenlem1  27711  lgsquadlem1  27716  m1lgs  27724  2lgslem1a  27727  2lgslem3c  27734  2lgslem3d  27735  2lgslem3b1  27737  2lgslem3c1  27738  2sqblem  27767  rplogsumlem2  27821  rpvmasumlem  27823  dchrisumlema  27824  dchrisumlem2  27826  pntpbnd1  27922  pntpbnd2  27923  pntlemq  27937  pntlemr  27938  pntlemj  27939  pntlemf  27941  axlowdimlem16  29544  crctcshwlkn0lem3  30410  crctcshwlkn0lem6  30413  clwwlkf  30647  eucrct2eupth  30855  cycpmco2lem3  33739  cycpmco2lem4  33740  cycpmco2lem5  33741  cycpmco2lem6  33742  cycpmco2  33744  isarchi3  33798  archirngz  33800  archiabllem1a  33802  archiabllem2c  33806  submateqlem1  34489  ballotlemsf1o  35196  ballotlemsima  35198  signstfvn  35248  fsum2dsub  35286  breprexplemc  35311  dnizphlfeqhlf  37466  dnibndlem13  37480  knoppndvlem10  37511  knoppndvlem14  37515  knoppndvlem15  37516  knoppndvlem17  37518  ltflcei  38668  poimirlem2  38677  poimirlem10  38685  poimirlem15  38690  poimirlem19  38694  poimirlem23  38698  poimirlem28  38703  fdc  38816  incsequz  38819  cntotbnd  38867  lcmineqlem11  43226  lcmineqlem18  43233  lcmineqlem22  43237  aks4d1p7d1  43269  aks6d1c1  43303  2np3bcnp1  43331  sticksstones6  43338  sticksstones7  43339  sticksstones10  43342  sticksstones12a  43344  sticksstones12  43345  sticksstones22  43355  aks6d1c7lem1  43367  fltnltalem  43810  lzunuz  43916  lzenom  43918  ltrmxnn0  44093  jm2.17a  44104  jm2.17b  44105  jm2.17c  44106  jm2.24  44107  rmygeid  44108  jm2.25  44143  jm2.27a  44149  jm3.1lem1  44161  expdiophlem1  44165  monoords  46449  fmul01lt1lem1  46732  climsuselem1  46755  sumnnodd  46778  supcnvlimsup  46886  ioodvbdlimc1lem2  47078  ioodvbdlimc2lem  47080  dvnmul  47089  iblspltprt  47119  itgspltprt  47125  stoweidlem26  47172  wallispilem4  47214  stirlinglem4  47223  stirlinglem8  47227  stirlinglem11  47230  stirlinglem13  47232  dirkertrigeqlem1  47244  dirkercncflem2  47250  fourierdlem11  47264  fourierdlem12  47265  fourierdlem15  47268  fourierdlem41  47294  fourierdlem50  47302  fourierdlem64  47316  fourierdlem65  47317  fourierdlem79  47331  caratheodorylem1  47672  smflimsuplem4  47969  ormkglobd  48023  iccpartgtprec  48638  iccpartiltu  48640  iccpartgt  48645  iccpartnel  48656  fmtnodvds  48765  fmtnoprmfac2lem1  48787  ppivalnnprm  48846  evenp1odd  48874  oddp1eveni  48875  opoeALTV  48917  evenltle  48951  perfectALTV  48957  gpgiedgdmellem  49280  gpgvtx0  49287  pgnbgreunbgrlem2lem2  49349  fllogbd  49808  nnpw2blen  49828  dignn0flhalflem2  49864  nn0sumshdiglemA  49867  aacllem  51150