Theorem peano2zd 11837

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 11770	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275  ℤcz 11728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12128  fznatpl1  12712  elfzom1elp1fzo1  12887  flge  12925  2tnp1ge0ge0  12949  uzsup  12981  seqf1olem1  13158  bcp1nk  13422  bcval5  13423  cshimadifsn0  13981  rexuzre  14499  limsupgre  14620  rlimclim1  14684  iseraltlem2  14821  telfsumo  14938  fsumparts  14942  climcnds  14987  geo2sum  15008  clim2prod  15023  clim2div  15024  fprodntriv  15075  dvdsfac  15455  2tp1odd  15480  opoe  15491  bits0o  15558  bitsp1o  15561  bitsinv1lem  15569  smupvallem  15611  smueqlem  15618  hashdvds  15884  prmreclem4  16027  prmreclem5  16028  vdwnnlem3  16105  prmgaplem7  16165  prmgaplem8  16166  sylow1lem1  18397  telgsumfzs  18773  srgbinomlem3  18929  chfacfscmul0  21070  chfacfpmmul0  21074  ovoliunlem2  23707  ovolicc2lem4  23724  uniioombllem3  23789  dyaddisjlem  23799  dvfsumlem1  24226  dvfsumlem3  24228  plyco0  24385  abelthlem6  24627  birthdaylem2  25131  wilthlem1  25246  wilth  25249  wilthimp  25250  basellem3  25261  chpp1  25333  perfect  25408  bcmono  25454  lgslem1  25474  lgsval2lem  25484  gausslemma2dlem5  25548  lgseisenlem1  25552  lgsquadlem1  25557  m1lgs  25565  2lgslem1a  25568  2lgslem3c  25575  2lgslem3d  25576  2lgslem3b1  25578  2lgslem3c1  25579  2sqblem  25608  rplogsumlem2  25626  rpvmasumlem  25628  dchrisumlema  25629  dchrisumlem2  25631  pntpbnd1  25727  pntpbnd2  25728  pntlemq  25742  pntlemr  25743  pntlemj  25744  pntlemf  25746  axlowdimlem16  26306  crctcshwlkn0lem3  27161  crctcshwlkn0lem6  27164  clwwlkfOLD  27438  clwwlkf  27443  eucrct2eupthOLD  27650  eucrct2eupth  27651  isarchi3  30303  archirngz  30305  archiabllem1a  30307  archiabllem2c  30311  submateqlem1  30471  ballotlemsf1o  31174  ballotlemsima  31176  signstfvn  31246  fsum2dsub  31287  breprexplemc  31312  dnizphlfeqhlf  33049  dnibndlem13  33063  knoppndvlem10  33094  knoppndvlem14  33098  knoppndvlem15  33099  knoppndvlem17  33101  ltflcei  34006  poimirlem2  34021  poimirlem10  34029  poimirlem15  34034  poimirlem19  34038  poimirlem23  34042  poimirlem28  34047  fdc  34149  incsequz  34152  cntotbnd  34203  lzunuz  38273  lzenom  38275  ltrmxnn0  38457  jm2.17a  38468  jm2.17b  38469  jm2.17c  38470  jm2.24  38471  rmygeid  38472  jm2.25  38507  jm2.27a  38513  jm3.1lem1  38525  expdiophlem1  38529  monoords  40402  fmul01lt1lem1  40706  climsuselem1  40729  sumnnodd  40752  supcnvlimsup  40862  ioodvbdlimc1lem2  41057  ioodvbdlimc2lem  41059  dvnmul  41068  iblspltprt  41098  itgspltprt  41104  stoweidlem26  41152  wallispilem4  41194  stirlinglem4  41203  stirlinglem8  41207  stirlinglem11  41210  stirlinglem13  41212  dirkertrigeqlem1  41224  dirkercncflem2  41230  fourierdlem11  41244  fourierdlem12  41245  fourierdlem15  41248  fourierdlem41  41274  fourierdlem50  41282  fourierdlem64  41296  fourierdlem65  41297  fourierdlem79  41311  caratheodorylem1  41649  smflimsuplem4  41938  iccpartgtprec  42370  iccpartiltu  42372  iccpartgt  42377  iccpartnel  42388  fmtnodvds  42459  fmtnoprmfac2lem1  42481  evenp1odd  42560  oddp1eveni  42561  opoeALTV  42601  evenltle  42633  perfectALTV  42639  fllogbd  43351  nnpw2blen  43371  dignn0flhalflem2  43407  nn0sumshdiglemA  43410  aacllem  43635