Theorem peano2zd 12580

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12513	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12879  fznatpl1  13478  elfzom1elp1fzo1  13667  flge  13709  2tnp1ge0ge0  13733  uzsup  13767  seqf1olem1  13948  bcp1nk  14224  bcval5  14225  cshimadifsn0  14737  rexuzre  15260  limsupgre  15388  rlimclim1  15452  iseraltlem2  15590  telfsumo  15709  fsumparts  15713  climcnds  15758  geo2sum  15780  clim2prod  15795  clim2div  15796  fprodntriv  15849  dvdsfac  16237  2tp1odd  16263  opoe  16274  bits0o  16341  bitsp1o  16344  bitsinv1lem  16352  smupvallem  16394  smueqlem  16401  hashdvds  16686  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  vdwnnlem3  16909  prmgaplem7  16969  prmgaplem8  16970  chnub  18528  sylow1lem1  19510  telgsumfzs  19901  srgbinomlem3  20146  chfacfscmul0  22773  chfacfpmmul0  22777  ovoliunlem2  25431  ovolicc2lem4  25448  uniioombllem3  25513  dyaddisjlem  25523  dvfsumlem1  25959  dvfsumlem3  25962  plyco0  26124  abelthlem6  26373  birthdaylem2  26889  wilthlem1  27005  wilth  27008  wilthimp  27009  basellem3  27020  chpp1  27092  perfect  27169  bcmono  27215  lgslem1  27235  lgsval2lem  27245  gausslemma2dlem5  27309  lgseisenlem1  27313  lgsquadlem1  27318  m1lgs  27326  2lgslem1a  27329  2lgslem3c  27336  2lgslem3d  27337  2lgslem3b1  27339  2lgslem3c1  27340  2sqblem  27369  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlema  27426  dchrisumlem2  27428  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemq  27539  pntlemr  27540  pntlemj  27541  pntlemf  27543  axlowdimlem16  28935  crctcshwlkn0lem3  29790  crctcshwlkn0lem6  29793  clwwlkf  30027  eucrct2eupth  30225  cycpmco2lem3  33097  cycpmco2lem4  33098  cycpmco2lem5  33099  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2  33102  isarchi3  33156  archirngz  33158  archiabllem1a  33160  archiabllem2c  33164  submateqlem1  33820  ballotlemsf1o  34527  ballotlemsima  34529  signstfvn  34582  fsum2dsub  34620  breprexplemc  34645  dnizphlfeqhlf  36520  dnibndlem13  36534  knoppndvlem10  36565  knoppndvlem14  36569  knoppndvlem15  36570  knoppndvlem17  36572  ltflcei  37658  poimirlem2  37672  poimirlem10  37680  poimirlem15  37685  poimirlem19  37689  poimirlem23  37693  poimirlem28  37698  fdc  37795  incsequz  37798  cntotbnd  37846  lcmineqlem11  42142  lcmineqlem18  42149  lcmineqlem22  42153  aks4d1p7d1  42185  aks6d1c1  42219  2np3bcnp1  42247  sticksstones6  42254  sticksstones7  42255  sticksstones10  42258  sticksstones12a  42260  sticksstones12  42261  sticksstones22  42271  aks6d1c7lem1  42283  fltnltalem  42765  lzunuz  42871  lzenom  42873  ltrmxnn0  43052  jm2.17a  43063  jm2.17b  43064  jm2.17c  43065  jm2.24  43066  rmygeid  43067  jm2.25  43102  jm2.27a  43108  jm3.1lem1  43120  expdiophlem1  43124  monoords  45408  fmul01lt1lem1  45694  climsuselem1  45717  sumnnodd  45740  supcnvlimsup  45848  ioodvbdlimc1lem2  46040  ioodvbdlimc2lem  46042  dvnmul  46051  iblspltprt  46081  itgspltprt  46087  stoweidlem26  46134  wallispilem4  46176  stirlinglem4  46185  stirlinglem8  46189  stirlinglem11  46192  stirlinglem13  46194  dirkertrigeqlem1  46206  dirkercncflem2  46212  fourierdlem11  46226  fourierdlem12  46227  fourierdlem15  46230  fourierdlem41  46256  fourierdlem50  46264  fourierdlem64  46278  fourierdlem65  46279  fourierdlem79  46293  caratheodorylem1  46634  smflimsuplem4  46931  ormkglobd  46983  natglobalincr  46985  iccpartgtprec  47530  iccpartiltu  47532  iccpartgt  47537  iccpartnel  47548  fmtnodvds  47654  fmtnoprmfac2lem1  47676  evenp1odd  47750  oddp1eveni  47751  opoeALTV  47793  evenltle  47827  perfectALTV  47833  gpgiedgdmellem  48156  gpgvtx0  48163  pgnbgreunbgrlem2lem2  48225  fllogbd  48671  nnpw2blen  48691  dignn0flhalflem2  48727  nn0sumshdiglemA  48730  aacllem  49912