Theorem peano2zd 12078

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12011	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  1c1 10527   + caddc 10529  ℤcz 11969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12368  fznatpl1  12956  elfzom1elp1fzo1  13132  flge  13170  2tnp1ge0ge0  13194  uzsup  13226  seqf1olem1  13405  bcp1nk  13673  bcval5  13674  cshimadifsn0  14183  rexuzre  14704  limsupgre  14830  rlimclim1  14894  iseraltlem2  15031  telfsumo  15149  fsumparts  15153  climcnds  15198  geo2sum  15221  clim2prod  15236  clim2div  15237  fprodntriv  15288  dvdsfac  15668  2tp1odd  15693  opoe  15704  bits0o  15769  bitsp1o  15772  bitsinv1lem  15780  smupvallem  15822  smueqlem  15829  hashdvds  16102  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  vdwnnlem3  16323  prmgaplem7  16383  prmgaplem8  16384  sylow1lem1  18715  telgsumfzs  19102  srgbinomlem3  19285  chfacfscmul0  21463  chfacfpmmul0  21467  ovoliunlem2  24107  ovolicc2lem4  24124  uniioombllem3  24189  dyaddisjlem  24199  dvfsumlem1  24629  dvfsumlem3  24631  plyco0  24789  abelthlem6  25031  birthdaylem2  25538  wilthlem1  25653  wilth  25656  wilthimp  25657  basellem3  25668  chpp1  25740  perfect  25815  bcmono  25861  lgslem1  25881  lgsval2lem  25891  gausslemma2dlem5  25955  lgseisenlem1  25959  lgsquadlem1  25964  m1lgs  25972  2lgslem1a  25975  2lgslem3c  25982  2lgslem3d  25983  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2sqblem  26015  rplogsumlem2  26069  rpvmasumlem  26071  dchrisumlema  26072  dchrisumlem2  26074  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  axlowdimlem16  26751  crctcshwlkn0lem3  27598  crctcshwlkn0lem6  27601  clwwlkf  27832  eucrct2eupth  28030  cycpmco2lem3  30820  cycpmco2lem4  30821  cycpmco2lem5  30822  cycpmco2lem6  30823  cycpmco2  30825  isarchi3  30866  archirngz  30868  archiabllem1a  30870  archiabllem2c  30874  submateqlem1  31160  ballotlemsf1o  31881  ballotlemsima  31883  signstfvn  31949  fsum2dsub  31988  breprexplemc  32013  dnizphlfeqhlf  33928  dnibndlem13  33942  knoppndvlem10  33973  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem15  33978  knoppndvlem17  33980  ltflcei  35045  poimirlem2  35059  poimirlem10  35067  poimirlem15  35072  poimirlem19  35076  poimirlem23  35080  poimirlem28  35085  fdc  35183  incsequz  35186  cntotbnd  35234  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem18  39334  lcmineqlem22  39338  2np3bcnp1  39348  metakunt2  39351  metakunt4  39353  metakunt12  39361  fltnltalem  39618  lzunuz  39709  lzenom  39711  ltrmxnn0  39890  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  jm2.17c  39903  jm2.24  39904  rmygeid  39905  jm2.25  39940  jm2.27a  39946  jm3.1lem1  39958  expdiophlem1  39962  monoords  41929  fmul01lt1lem1  42226  climsuselem1  42249  sumnnodd  42272  supcnvlimsup  42382  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnmul  42585  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem26  42668  wallispilem4  42710  stirlinglem4  42719  stirlinglem8  42723  stirlinglem11  42726  stirlinglem13  42728  dirkertrigeqlem1  42740  dirkercncflem2  42746  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem41  42790  fourierdlem50  42798  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem79  42827  caratheodorylem1  43165  smflimsuplem4  43454  iccpartgtprec  43937  iccpartiltu  43939  iccpartgt  43944  iccpartnel  43955  fmtnodvds  44061  fmtnoprmfac2lem1  44083  evenp1odd  44158  oddp1eveni  44159  opoeALTV  44201  evenltle  44235  perfectALTV  44241  fllogbd  44974  nnpw2blen  44994  dignn0flhalflem2  45030  nn0sumshdiglemA  45033  aacllem  45329