Theorem peano2zd 12358

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  ℤcz 12249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12650  fznatpl1  13239  elfzom1elp1fzo1  13415  flge  13453  2tnp1ge0ge0  13477  uzsup  13511  seqf1olem1  13690  bcp1nk  13959  bcval5  13960  cshimadifsn0  14471  rexuzre  14992  limsupgre  15118  rlimclim1  15182  iseraltlem2  15322  telfsumo  15442  fsumparts  15446  climcnds  15491  geo2sum  15513  clim2prod  15528  clim2div  15529  fprodntriv  15580  dvdsfac  15963  2tp1odd  15989  opoe  16000  bits0o  16065  bitsp1o  16068  bitsinv1lem  16076  smupvallem  16118  smueqlem  16125  hashdvds  16404  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  vdwnnlem3  16626  prmgaplem7  16686  prmgaplem8  16687  sylow1lem1  19118  telgsumfzs  19505  srgbinomlem3  19693  chfacfscmul0  21915  chfacfpmmul0  21919  ovoliunlem2  24572  ovolicc2lem4  24589  uniioombllem3  24654  dyaddisjlem  24664  dvfsumlem1  25095  dvfsumlem3  25097  plyco0  25258  abelthlem6  25500  birthdaylem2  26007  wilthlem1  26122  wilth  26125  wilthimp  26126  basellem3  26137  chpp1  26209  perfect  26284  bcmono  26330  lgslem1  26350  lgsval2lem  26360  gausslemma2dlem5  26424  lgseisenlem1  26428  lgsquadlem1  26433  m1lgs  26441  2lgslem1a  26444  2lgslem3c  26451  2lgslem3d  26452  2lgslem3b1  26454  2lgslem3c1  26455  2sqblem  26484  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisumlema  26541  dchrisumlem2  26543  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntlemq  26654  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  axlowdimlem16  27228  crctcshwlkn0lem3  28078  crctcshwlkn0lem6  28081  clwwlkf  28312  eucrct2eupth  28510  cycpmco2lem3  31297  cycpmco2lem4  31298  cycpmco2lem5  31299  cycpmco2lem6  31300  cycpmco2  31302  isarchi3  31343  archirngz  31345  archiabllem1a  31347  archiabllem2c  31351  submateqlem1  31659  ballotlemsf1o  32380  ballotlemsima  32382  signstfvn  32448  fsum2dsub  32487  breprexplemc  32512  dnizphlfeqhlf  34583  dnibndlem13  34597  knoppndvlem10  34628  knoppndvlem14  34632  knoppndvlem15  34633  knoppndvlem17  34635  ltflcei  35692  poimirlem2  35706  poimirlem10  35714  poimirlem15  35719  poimirlem19  35723  poimirlem23  35727  poimirlem28  35732  fdc  35830  incsequz  35833  cntotbnd  35881  lcmineqlem11  39975  lcmineqlem18  39982  lcmineqlem22  39986  aks4d1p7d1  40018  2np3bcnp1  40028  sticksstones6  40035  sticksstones7  40036  sticksstones10  40039  sticksstones12a  40041  sticksstones12  40042  sticksstones22  40052  metakunt2  40054  metakunt4  40056  metakunt12  40064  fltnltalem  40415  lzunuz  40506  lzenom  40508  ltrmxnn0  40687  jm2.17a  40698  jm2.17b  40699  jm2.17c  40700  jm2.24  40701  rmygeid  40702  jm2.25  40737  jm2.27a  40743  jm3.1lem1  40755  expdiophlem1  40759  monoords  42726  fmul01lt1lem1  43015  climsuselem1  43038  sumnnodd  43061  supcnvlimsup  43171  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  dvnmul  43374  iblspltprt  43404  itgspltprt  43410  stoweidlem26  43457  wallispilem4  43499  stirlinglem4  43508  stirlinglem8  43512  stirlinglem11  43515  stirlinglem13  43517  dirkertrigeqlem1  43529  dirkercncflem2  43535  fourierdlem11  43549  fourierdlem12  43550  fourierdlem15  43553  fourierdlem41  43579  fourierdlem50  43587  fourierdlem64  43601  fourierdlem65  43602  fourierdlem79  43616  caratheodorylem1  43954  smflimsuplem4  44243  iccpartgtprec  44760  iccpartiltu  44762  iccpartgt  44767  iccpartnel  44778  fmtnodvds  44884  fmtnoprmfac2lem1  44906  evenp1odd  44980  oddp1eveni  44981  opoeALTV  45023  evenltle  45057  perfectALTV  45063  fllogbd  45794  nnpw2blen  45814  dignn0flhalflem2  45850  nn0sumshdiglemA  45853  aacllem  46391