Theorem peano2zd 12673

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12607	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12969  fznatpl1  13559  elfzom1elp1fzo1  13736  flge  13774  2tnp1ge0ge0  13798  uzsup  13832  seqf1olem1  14011  bcp1nk  14281  bcval5  14282  cshimadifsn0  14785  rexuzre  15303  limsupgre  15429  rlimclim1  15493  iseraltlem2  15633  telfsumo  15752  fsumparts  15756  climcnds  15801  geo2sum  15823  clim2prod  15838  clim2div  15839  fprodntriv  15890  dvdsfac  16273  2tp1odd  16299  opoe  16310  bits0o  16375  bitsp1o  16378  bitsinv1lem  16386  smupvallem  16428  smueqlem  16435  hashdvds  16712  prmreclem4  16856  prmreclem5  16857  vdwnnlem3  16934  prmgaplem7  16994  prmgaplem8  16995  sylow1lem1  19507  telgsumfzs  19898  srgbinomlem3  20122  chfacfscmul0  22580  chfacfpmmul0  22584  ovoliunlem2  25252  ovolicc2lem4  25269  uniioombllem3  25334  dyaddisjlem  25344  dvfsumlem1  25778  dvfsumlem3  25780  plyco0  25941  abelthlem6  26184  birthdaylem2  26693  wilthlem1  26808  wilth  26811  wilthimp  26812  basellem3  26823  chpp1  26895  perfect  26970  bcmono  27016  lgslem1  27036  lgsval2lem  27046  gausslemma2dlem5  27110  lgseisenlem1  27114  lgsquadlem1  27119  m1lgs  27127  2lgslem1a  27130  2lgslem3c  27137  2lgslem3d  27138  2lgslem3b1  27140  2lgslem3c1  27141  2sqblem  27170  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlema  27227  dchrisumlem2  27229  pntpbnd1  27325  pntpbnd2  27326  pntlemq  27340  pntlemr  27341  pntlemj  27342  pntlemf  27344  axlowdimlem16  28482  crctcshwlkn0lem3  29333  crctcshwlkn0lem6  29336  clwwlkf  29567  eucrct2eupth  29765  cycpmco2lem3  32557  cycpmco2lem4  32558  cycpmco2lem5  32559  cycpmco2lem6  32560  cycpmco2  32562  isarchi3  32603  archirngz  32605  archiabllem1a  32607  archiabllem2c  32611  submateqlem1  33085  ballotlemsf1o  33810  ballotlemsima  33812  signstfvn  33878  fsum2dsub  33917  breprexplemc  33942  dnizphlfeqhlf  35655  dnibndlem13  35669  knoppndvlem10  35700  knoppndvlem14  35704  knoppndvlem15  35705  knoppndvlem17  35707  ltflcei  36779  poimirlem2  36793  poimirlem10  36801  poimirlem15  36806  poimirlem19  36810  poimirlem23  36814  poimirlem28  36819  fdc  36916  incsequz  36919  cntotbnd  36967  lcmineqlem11  41210  lcmineqlem18  41217  lcmineqlem22  41221  aks4d1p7d1  41253  2np3bcnp1  41266  sticksstones6  41273  sticksstones7  41274  sticksstones10  41277  sticksstones12a  41279  sticksstones12  41280  sticksstones22  41290  metakunt2  41292  metakunt4  41294  metakunt12  41302  fltnltalem  41706  lzunuz  41808  lzenom  41810  ltrmxnn0  41990  jm2.17a  42001  jm2.17b  42002  jm2.17c  42003  jm2.24  42004  rmygeid  42005  jm2.25  42040  jm2.27a  42046  jm3.1lem1  42058  expdiophlem1  42062  monoords  44305  fmul01lt1lem1  44598  climsuselem1  44621  sumnnodd  44644  supcnvlimsup  44754  ioodvbdlimc1lem2  44946  ioodvbdlimc2lem  44948  dvnmul  44957  iblspltprt  44987  itgspltprt  44993  stoweidlem26  45040  wallispilem4  45082  stirlinglem4  45091  stirlinglem8  45095  stirlinglem11  45098  stirlinglem13  45100  dirkertrigeqlem1  45112  dirkercncflem2  45118  fourierdlem11  45132  fourierdlem12  45133  fourierdlem15  45136  fourierdlem41  45162  fourierdlem50  45170  fourierdlem64  45184  fourierdlem65  45185  fourierdlem79  45199  caratheodorylem1  45540  smflimsuplem4  45837  natglobalincr  45889  iccpartgtprec  46386  iccpartiltu  46388  iccpartgt  46393  iccpartnel  46404  fmtnodvds  46510  fmtnoprmfac2lem1  46532  evenp1odd  46606  oddp1eveni  46607  opoeALTV  46649  evenltle  46683  perfectALTV  46689  fllogbd  47333  nnpw2blen  47353  dignn0flhalflem2  47389  nn0sumshdiglemA  47392  aacllem  47935