Theorem peano2zd 12597

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12530	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  1c1 11025   + caddc 11027  ℤcz 12486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12892  fznatpl1  13492  elfzom1elp1fzo1  13681  flge  13723  2tnp1ge0ge0  13747  uzsup  13781  seqf1olem1  13962  bcp1nk  14238  bcval5  14239  cshimadifsn0  14751  rexuzre  15274  limsupgre  15402  rlimclim1  15466  iseraltlem2  15604  telfsumo  15723  fsumparts  15727  climcnds  15772  geo2sum  15794  clim2prod  15809  clim2div  15810  fprodntriv  15863  dvdsfac  16251  2tp1odd  16277  opoe  16288  bits0o  16355  bitsp1o  16358  bitsinv1lem  16366  smupvallem  16408  smueqlem  16415  hashdvds  16700  prmreclem4  16845  prmreclem5  16846  vdwnnlem3  16923  prmgaplem7  16983  prmgaplem8  16984  chnub  18543  sylow1lem1  19525  telgsumfzs  19916  srgbinomlem3  20161  chfacfscmul0  22800  chfacfpmmul0  22804  ovoliunlem2  25458  ovolicc2lem4  25475  uniioombllem3  25540  dyaddisjlem  25550  dvfsumlem1  25986  dvfsumlem3  25989  plyco0  26151  abelthlem6  26400  birthdaylem2  26916  wilthlem1  27032  wilth  27035  wilthimp  27036  basellem3  27047  chpp1  27119  perfect  27196  bcmono  27242  lgslem1  27262  lgsval2lem  27272  gausslemma2dlem5  27336  lgseisenlem1  27340  lgsquadlem1  27345  m1lgs  27353  2lgslem1a  27356  2lgslem3c  27363  2lgslem3d  27364  2lgslem3b1  27366  2lgslem3c1  27367  2sqblem  27396  rplogsumlem2  27450  rpvmasumlem  27452  dchrisumlema  27453  dchrisumlem2  27455  pntpbnd1  27551  pntpbnd2  27552  pntlemq  27566  pntlemr  27567  pntlemj  27568  pntlemf  27570  axlowdimlem16  28979  crctcshwlkn0lem3  29834  crctcshwlkn0lem6  29837  clwwlkf  30071  eucrct2eupth  30269  cycpmco2lem3  33159  cycpmco2lem4  33160  cycpmco2lem5  33161  cycpmco2lem6  33162  cycpmco2  33164  isarchi3  33218  archirngz  33220  archiabllem1a  33222  archiabllem2c  33226  submateqlem1  33913  ballotlemsf1o  34620  ballotlemsima  34622  signstfvn  34675  fsum2dsub  34713  breprexplemc  34738  dnizphlfeqhlf  36619  dnibndlem13  36633  knoppndvlem10  36664  knoppndvlem14  36668  knoppndvlem15  36669  knoppndvlem17  36671  ltflcei  37748  poimirlem2  37762  poimirlem10  37770  poimirlem15  37775  poimirlem19  37779  poimirlem23  37783  poimirlem28  37788  fdc  37885  incsequz  37888  cntotbnd  37936  lcmineqlem11  42232  lcmineqlem18  42239  lcmineqlem22  42243  aks4d1p7d1  42275  aks6d1c1  42309  2np3bcnp1  42337  sticksstones6  42344  sticksstones7  42345  sticksstones10  42348  sticksstones12a  42350  sticksstones12  42351  sticksstones22  42361  aks6d1c7lem1  42373  fltnltalem  42847  lzunuz  42952  lzenom  42954  ltrmxnn0  43133  jm2.17a  43144  jm2.17b  43145  jm2.17c  43146  jm2.24  43147  rmygeid  43148  jm2.25  43183  jm2.27a  43189  jm3.1lem1  43201  expdiophlem1  43205  monoords  45487  fmul01lt1lem1  45772  climsuselem1  45795  sumnnodd  45818  supcnvlimsup  45926  ioodvbdlimc1lem2  46118  ioodvbdlimc2lem  46120  dvnmul  46129  iblspltprt  46159  itgspltprt  46165  stoweidlem26  46212  wallispilem4  46254  stirlinglem4  46263  stirlinglem8  46267  stirlinglem11  46270  stirlinglem13  46272  dirkertrigeqlem1  46284  dirkercncflem2  46290  fourierdlem11  46304  fourierdlem12  46305  fourierdlem15  46308  fourierdlem41  46334  fourierdlem50  46342  fourierdlem64  46356  fourierdlem65  46357  fourierdlem79  46371  caratheodorylem1  46712  smflimsuplem4  47009  ormkglobd  47061  natglobalincr  47063  iccpartgtprec  47608  iccpartiltu  47610  iccpartgt  47615  iccpartnel  47626  fmtnodvds  47732  fmtnoprmfac2lem1  47754  evenp1odd  47828  oddp1eveni  47829  opoeALTV  47871  evenltle  47905  perfectALTV  47911  gpgiedgdmellem  48234  gpgvtx0  48241  pgnbgreunbgrlem2lem2  48303  fllogbd  48748  nnpw2blen  48768  dignn0flhalflem2  48804  nn0sumshdiglemA  48807  aacllem  49988