Theorem peano2zd 12611

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12544	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12906  fznatpl1  13506  elfzom1elp1fzo1  13695  flge  13737  2tnp1ge0ge0  13761  uzsup  13795  seqf1olem1  13976  bcp1nk  14252  bcval5  14253  cshimadifsn0  14765  rexuzre  15288  limsupgre  15416  rlimclim1  15480  iseraltlem2  15618  telfsumo  15737  fsumparts  15741  climcnds  15786  geo2sum  15808  clim2prod  15823  clim2div  15824  fprodntriv  15877  dvdsfac  16265  2tp1odd  16291  opoe  16302  bits0o  16369  bitsp1o  16372  bitsinv1lem  16380  smupvallem  16422  smueqlem  16429  hashdvds  16714  prmreclem4  16859  prmreclem5  16860  vdwnnlem3  16937  prmgaplem7  16997  prmgaplem8  16998  chnub  18557  sylow1lem1  19539  telgsumfzs  19930  srgbinomlem3  20175  chfacfscmul0  22814  chfacfpmmul0  22818  ovoliunlem2  25472  ovolicc2lem4  25489  uniioombllem3  25554  dyaddisjlem  25564  dvfsumlem1  26000  dvfsumlem3  26003  plyco0  26165  abelthlem6  26414  birthdaylem2  26930  wilthlem1  27046  wilth  27049  wilthimp  27050  basellem3  27061  chpp1  27133  perfect  27210  bcmono  27256  lgslem1  27276  lgsval2lem  27286  gausslemma2dlem5  27350  lgseisenlem1  27354  lgsquadlem1  27359  m1lgs  27367  2lgslem1a  27370  2lgslem3c  27377  2lgslem3d  27378  2lgslem3b1  27380  2lgslem3c1  27381  2sqblem  27410  rplogsumlem2  27464  rpvmasumlem  27466  dchrisumlema  27467  dchrisumlem2  27469  pntpbnd1  27565  pntpbnd2  27566  pntlemq  27580  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  axlowdimlem16  29042  crctcshwlkn0lem3  29897  crctcshwlkn0lem6  29900  clwwlkf  30134  eucrct2eupth  30332  cycpmco2lem3  33222  cycpmco2lem4  33223  cycpmco2lem5  33224  cycpmco2lem6  33225  cycpmco2  33227  isarchi3  33281  archirngz  33283  archiabllem1a  33285  archiabllem2c  33289  submateqlem1  33985  ballotlemsf1o  34692  ballotlemsima  34694  signstfvn  34747  fsum2dsub  34785  breprexplemc  34810  dnizphlfeqhlf  36698  dnibndlem13  36712  knoppndvlem10  36743  knoppndvlem14  36747  knoppndvlem15  36748  knoppndvlem17  36750  ltflcei  37859  poimirlem2  37873  poimirlem10  37881  poimirlem15  37886  poimirlem19  37890  poimirlem23  37894  poimirlem28  37899  fdc  37996  incsequz  37999  cntotbnd  38047  lcmineqlem11  42409  lcmineqlem18  42416  lcmineqlem22  42420  aks4d1p7d1  42452  aks6d1c1  42486  2np3bcnp1  42514  sticksstones6  42521  sticksstones7  42522  sticksstones10  42525  sticksstones12a  42527  sticksstones12  42528  sticksstones22  42538  aks6d1c7lem1  42550  fltnltalem  43020  lzunuz  43125  lzenom  43127  ltrmxnn0  43306  jm2.17a  43317  jm2.17b  43318  jm2.17c  43319  jm2.24  43320  rmygeid  43321  jm2.25  43356  jm2.27a  43362  jm3.1lem1  43374  expdiophlem1  43378  monoords  45659  fmul01lt1lem1  45944  climsuselem1  45967  sumnnodd  45990  supcnvlimsup  46098  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  dvnmul  46301  iblspltprt  46331  itgspltprt  46337  stoweidlem26  46384  wallispilem4  46426  stirlinglem4  46435  stirlinglem8  46439  stirlinglem11  46442  stirlinglem13  46444  dirkertrigeqlem1  46456  dirkercncflem2  46462  fourierdlem11  46476  fourierdlem12  46477  fourierdlem15  46480  fourierdlem41  46506  fourierdlem50  46514  fourierdlem64  46528  fourierdlem65  46529  fourierdlem79  46543  caratheodorylem1  46884  smflimsuplem4  47181  ormkglobd  47233  natglobalincr  47235  iccpartgtprec  47780  iccpartiltu  47782  iccpartgt  47787  iccpartnel  47798  fmtnodvds  47904  fmtnoprmfac2lem1  47926  evenp1odd  48000  oddp1eveni  48001  opoeALTV  48043  evenltle  48077  perfectALTV  48083  gpgiedgdmellem  48406  gpgvtx0  48413  pgnbgreunbgrlem2lem2  48475  fllogbd  48920  nnpw2blen  48940  dignn0flhalflem2  48976  nn0sumshdiglemA  48979  aacllem  50160