Theorem peano2zd 12641

Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
peano2zd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		peano2z 12574	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℤcz 12529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12940  fznatpl1  13539  elfzom1elp1fzo1  13728  flge  13767  2tnp1ge0ge0  13791  uzsup  13825  seqf1olem1  14006  bcp1nk  14282  bcval5  14283  cshimadifsn0  14796  rexuzre  15319  limsupgre  15447  rlimclim1  15511  iseraltlem2  15649  telfsumo  15768  fsumparts  15772  climcnds  15817  geo2sum  15839  clim2prod  15854  clim2div  15855  fprodntriv  15908  dvdsfac  16296  2tp1odd  16322  opoe  16333  bits0o  16400  bitsp1o  16403  bitsinv1lem  16411  smupvallem  16453  smueqlem  16460  hashdvds  16745  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  vdwnnlem3  16968  prmgaplem7  17028  prmgaplem8  17029  sylow1lem1  19528  telgsumfzs  19919  srgbinomlem3  20137  chfacfscmul0  22745  chfacfpmmul0  22749  ovoliunlem2  25404  ovolicc2lem4  25421  uniioombllem3  25486  dyaddisjlem  25496  dvfsumlem1  25932  dvfsumlem3  25935  plyco0  26097  abelthlem6  26346  birthdaylem2  26862  wilthlem1  26978  wilth  26981  wilthimp  26982  basellem3  26993  chpp1  27065  perfect  27142  bcmono  27188  lgslem1  27208  lgsval2lem  27218  gausslemma2dlem5  27282  lgseisenlem1  27286  lgsquadlem1  27291  m1lgs  27299  2lgslem1a  27302  2lgslem3c  27309  2lgslem3d  27310  2lgslem3b1  27312  2lgslem3c1  27313  2sqblem  27342  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  dchrisumlem2  27401  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  axlowdimlem16  28884  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem6  29745  clwwlkf  29976  eucrct2eupth  30174  chnub  32938  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2  33090  isarchi3  33141  archirngz  33143  archiabllem1a  33145  archiabllem2c  33149  submateqlem1  33797  ballotlemsf1o  34505  ballotlemsima  34507  signstfvn  34560  fsum2dsub  34598  breprexplemc  34623  dnizphlfeqhlf  36464  dnibndlem13  36478  knoppndvlem10  36509  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem15  36514  knoppndvlem17  36516  ltflcei  37602  poimirlem2  37616  poimirlem10  37624  poimirlem15  37629  poimirlem19  37633  poimirlem23  37637  poimirlem28  37642  fdc  37739  incsequz  37742  cntotbnd  37790  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem18  42034  lcmineqlem22  42038  aks4d1p7d1  42070  aks6d1c1  42104  2np3bcnp1  42132  sticksstones6  42139  sticksstones7  42140  sticksstones10  42143  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  sticksstones22  42156  aks6d1c7lem1  42168  fltnltalem  42650  lzunuz  42756  lzenom  42758  ltrmxnn0  42938  jm2.17a  42949  jm2.17b  42950  jm2.17c  42951  jm2.24  42952  rmygeid  42953  jm2.25  42988  jm2.27a  42994  jm3.1lem1  43006  expdiophlem1  43010  monoords  45295  fmul01lt1lem1  45582  climsuselem1  45605  sumnnodd  45628  supcnvlimsup  45738  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnmul  45941  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  stoweidlem26  46024  wallispilem4  46066  stirlinglem4  46075  stirlinglem8  46079  stirlinglem11  46082  stirlinglem13  46084  dirkertrigeqlem1  46096  dirkercncflem2  46102  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem15  46120  fourierdlem41  46146  fourierdlem50  46154  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem79  46183  caratheodorylem1  46524  smflimsuplem4  46821  ormkglobd  46873  natglobalincr  46875  iccpartgtprec  47421  iccpartiltu  47423  iccpartgt  47428  iccpartnel  47439  fmtnodvds  47545  fmtnoprmfac2lem1  47567  evenp1odd  47641  oddp1eveni  47642  opoeALTV  47684  evenltle  47718  perfectALTV  47724  gpgiedgdmellem  48037  gpgvtx0  48044  pgnbgreunbgrlem2lem2  48105  fllogbd  48549  nnpw2blen  48569  dignn0flhalflem2  48605  nn0sumshdiglemA  48608  aacllem  49790