MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2zd 12069
Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
peano2zd (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)

Proof of Theorem peano2zd
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2 peano2z 12002 . 2 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2114  (class class class)co 7133  1c1 10516   + caddc 10518  cz 11960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  12359  fznatpl1  12945  elfzom1elp1fzo1  13121  flge  13159  2tnp1ge0ge0  13183  uzsup  13215  seqf1olem1  13394  bcp1nk  13662  bcval5  13663  cshimadifsn0  14172  rexuzre  14692  limsupgre  14818  rlimclim1  14882  iseraltlem2  15019  telfsumo  15137  fsumparts  15141  climcnds  15186  geo2sum  15209  clim2prod  15224  clim2div  15225  fprodntriv  15276  dvdsfac  15656  2tp1odd  15681  opoe  15692  bits0o  15757  bitsp1o  15760  bitsinv1lem  15768  smupvallem  15810  smueqlem  15817  hashdvds  16090  prmreclem4  16233  prmreclem5  16234  vdwnnlem3  16311  prmgaplem7  16371  prmgaplem8  16372  sylow1lem1  18702  telgsumfzs  19088  srgbinomlem3  19271  chfacfscmul0  21442  chfacfpmmul0  21446  ovoliunlem2  24086  ovolicc2lem4  24103  uniioombllem3  24168  dyaddisjlem  24178  dvfsumlem1  24608  dvfsumlem3  24610  plyco0  24768  abelthlem6  25010  birthdaylem2  25517  wilthlem1  25632  wilth  25635  wilthimp  25636  basellem3  25647  chpp1  25719  perfect  25794  bcmono  25840  lgslem1  25860  lgsval2lem  25870  gausslemma2dlem5  25934  lgseisenlem1  25938  lgsquadlem1  25943  m1lgs  25951  2lgslem1a  25954  2lgslem3c  25961  2lgslem3d  25962  2lgslem3b1  25964  2lgslem3c1  25965  2sqblem  25994  rplogsumlem2  26048  rpvmasumlem  26050  dchrisumlema  26051  dchrisumlem2  26053  pntpbnd1  26149  pntpbnd2  26150  pntlemq  26164  pntlemr  26165  pntlemj  26166  pntlemf  26168  axlowdimlem16  26730  crctcshwlkn0lem3  27577  crctcshwlkn0lem6  27580  clwwlkf  27811  eucrct2eupth  28009  cycpmco2lem3  30778  cycpmco2lem4  30779  cycpmco2lem5  30780  cycpmco2lem6  30781  cycpmco2  30783  isarchi3  30824  archirngz  30826  archiabllem1a  30828  archiabllem2c  30832  submateqlem1  31083  ballotlemsf1o  31779  ballotlemsima  31781  signstfvn  31847  fsum2dsub  31886  breprexplemc  31911  dnizphlfeqhlf  33823  dnibndlem13  33837  knoppndvlem10  33868  knoppndvlem14  33872  knoppndvlem15  33873  knoppndvlem17  33875  ltflcei  34921  poimirlem2  34935  poimirlem10  34943  poimirlem15  34948  poimirlem19  34952  poimirlem23  34956  poimirlem28  34961  fdc  35059  incsequz  35062  cntotbnd  35110  lcmineqlem11  39191  lcmineqlem18  39198  lcmineqlem22  39202  fltnltalem  39411  lzunuz  39502  lzenom  39504  ltrmxnn0  39683  jm2.17a  39694  jm2.17b  39695  jm2.17c  39696  jm2.24  39697  rmygeid  39698  jm2.25  39733  jm2.27a  39739  jm3.1lem1  39751  expdiophlem1  39755  monoords  41718  fmul01lt1lem1  42017  climsuselem1  42040  sumnnodd  42063  supcnvlimsup  42173  ioodvbdlimc1lem2  42365  ioodvbdlimc2lem  42367  dvnmul  42376  iblspltprt  42406  itgspltprt  42412  stoweidlem26  42459  wallispilem4  42501  stirlinglem4  42510  stirlinglem8  42514  stirlinglem11  42517  stirlinglem13  42519  dirkertrigeqlem1  42531  dirkercncflem2  42537  fourierdlem11  42551  fourierdlem12  42552  fourierdlem15  42555  fourierdlem41  42581  fourierdlem50  42589  fourierdlem64  42603  fourierdlem65  42604  fourierdlem79  42618  caratheodorylem1  42956  smflimsuplem4  43245  iccpartgtprec  43728  iccpartiltu  43730  iccpartgt  43735  iccpartnel  43746  fmtnodvds  43852  fmtnoprmfac2lem1  43874  evenp1odd  43950  oddp1eveni  43951  opoeALTV  43993  evenltle  44027  perfectALTV  44033  fllogbd  44765  nnpw2blen  44785  dignn0flhalflem2  44821  nn0sumshdiglemA  44824  aacllem  45089
  Copyright terms: Public domain W3C validator