Theorem evenp1odd 45510

Description: The successor of an even number is odd. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evenp1odd	⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ Odd )

Proof of Theorem evenp1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 45500	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → 𝑍 ∈ ℤ)
2	1	peano2zd 12534	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ ℤ)
3		iseven 45498	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
4		zcn 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℂ)
5		pncan1 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → ((𝑍 + 1) − 1) = 𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 + 1) − 1) = 𝑍)
7	6	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 = ((𝑍 + 1) − 1))
8	7	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 / 2) = (((𝑍 + 1) − 1) / 2))
9	8	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	biimpa 478	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
11	3, 10	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
12		isodd2 45505	. 2 ⊢ ((𝑍 + 1) ∈ Odd ↔ ((𝑍 + 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ))
13	2, 11, 12	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  1c1 10977   + caddc 10979   − cmin 11310   / cdiv 11737  2c2 12133  ℤcz 12424   Even ceven 45494   Odd codd 45495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-n0 12339  df-z 12425  df-even 45496  df-odd 45497

This theorem is referenced by:  epee  45575  3odd  45578  5odd  45580  7odd  45582  evenltle  45587  9gbo  45644