Theorem evenp1odd 46608

Description: The successor of an even number is odd. (Contributed by AV, 16-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
evenp1odd	⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ Odd )

Proof of Theorem evenp1odd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evenz 46598	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even → 𝑍 ∈ ℤ)
2	1	peano2zd 12674	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ ℤ)
3		iseven 46596	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Even ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ))
4		zcn 12568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℂ)
5		pncan1 11643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 ∈ ℂ → ((𝑍 + 1) − 1) = 𝑍)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 + 1) − 1) = 𝑍)
7	6	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 = ((𝑍 + 1) − 1))
8	7	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → (𝑍 / 2) = (((𝑍 + 1) − 1) / 2))
9	8	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → ((𝑍 / 2) ∈ ℤ ↔ (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ))
10	9	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑍 / 2) ∈ ℤ) → (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
11	3, 10	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
12		isodd2 46603	. 2 ⊢ ((𝑍 + 1) ∈ Odd ↔ ((𝑍 + 1) ∈ ℤ ∧ (((𝑍 + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ))
13	2, 11, 12	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑍 ∈ Even → (𝑍 + 1) ∈ Odd )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  1c1 11114   + caddc 11116   − cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  ℤcz 12563   Even ceven 46592   Odd codd 46593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-even 46594  df-odd 46595

This theorem is referenced by:  epee  46673  3odd  46676  5odd  46678  7odd  46680  evenltle  46685  9gbo  46742