Theorem pw2divsrecd 28424

Description: Relationship between surreal division and reciprocal for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	mulsridd 28094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
3		2sno 28396	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsrecd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28408	. . . . . 6 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		1sno 27806	. . . . . . 7 ⊢ 1s ∈ No
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
9	8, 4	pw2divscld 28416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
10	6, 1, 9	muls12d 28161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
11	8, 4	pw2divscan2d 28419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = 1s )
12	11	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
13	10, 12	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
14	1, 4	pw2divscan2d 28419	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
15	2, 13, 14	3eqtr4rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
16	1, 4	pw2divscld 28416	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
17	1, 9	mulscld 28115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
18		2ne0s 28397	. . . 4 ⊢ 2s ≠ 0s
19		expsne0 28413	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
20	3, 18, 4, 19	mp3an12i 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
21	16, 17, 6, 20	mulscan1d 28160	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
22	15, 21	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  (class class class)co 7358   No csur 27609   0_s c0s 27801   1_s c1s 27802   ·_s cmuls 28086   /_su cdivs 28167  ℕ_0scnn0s 28291  2_sc2s 28387  ↑_scexps 28389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-nadd 8594  df-no 27612  df-slt 27613  df-bday 27614  df-sle 27715  df-sslt 27756  df-scut 27758  df-0s 27803  df-1s 27804  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27918  df-norec2 27929  df-adds 27940  df-negs 28001  df-subs 28002  df-muls 28087  df-divs 28168  df-seqs 28263  df-n0s 28293  df-nns 28294  df-zs 28356  df-2s 28388  df-exps 28390

This theorem is referenced by:  pw2divsdird  28425