Theorem pw2divsrecd 28860

Description: Relationship between surreal division and reciprocal for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
pw2divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2	1	mulsridd 28527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
3		2no 28832	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsrecd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28844	. . . . . 6 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No)
7		1no 28223	. . . . . . 7 ⊢ 1s ∈ No
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No)
9	8, 4	pw2divscld 28852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No)
10	6, 1, 9	muls12d 28594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
11	8, 4	pw2divscan2d 28855	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = 1s )
12	11	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
13	10, 12	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
14	1, 4	pw2divscan2d 28855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
15	2, 13, 14	3eqtr4rd 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
16	1, 4	pw2divscld 28852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No)
17	1, 9	mulscld 28548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) ∈ No)
18		2ne0s 28833	. . . 4 ⊢ 2s ≠ 0s
19		expsne0 28849	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
20	3, 18, 4, 19	mp3an12i 1495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
21	16, 17, 6, 20	mulscan1d 28593	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
22	15, 21	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7440  Nocsur 28024   0_s c0s 28218   1_s c1s 28219   ·_s cmuls 28519   /_su cdivs 28600  ℕ_0scn0s 28725  2_sc2s 28823  ↑_scexps 28825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-nadd 8700  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-1s 28221  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-subs 28435  df-muls 28520  df-divs 28601  df-seqs 28697  df-n0s 28727  df-nns 28728  df-zs 28792  df-2s 28824  df-exps 28826

This theorem is used by:  pw2divsdird  28861