Theorem pw2divsrecd 28833

Description: Relationship between surreal division and reciprocal for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
pw2divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2	1	mulsridd 28500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
3		2no 28805	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsrecd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28817	. . . . . 6 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No)
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No)
7		1no 28196	. . . . . . 7 ⊢ 1s ∈ No
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No)
9	8, 4	pw2divscld 28825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No)
10	6, 1, 9	muls12d 28567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
11	8, 4	pw2divscan2d 28828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = 1s )
12	11	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
13	10, 12	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
14	1, 4	pw2divscan2d 28828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
15	2, 13, 14	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
16	1, 4	pw2divscld 28825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No)
17	1, 9	mulscld 28521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) ∈ No)
18		2ne0s 28806	. . . 4 ⊢ 2s ≠ 0s
19		expsne0 28822	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
20	3, 18, 4, 19	mp3an12i 1494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
21	16, 17, 6, 20	mulscan1d 28566	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
22	15, 21	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  Nocsur 27997   0_s c0s 28191   1_s c1s 28192   ·_s cmuls 28492   /_su cdivs 28573  ℕ_0scn0s 28698  2_sc2s 28796  ↑_scexps 28798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-nadd 8675  df-no 28000  df-lts 28001  df-bday 28002  df-les 28102  df-slts 28144  df-cuts 28146  df-0s 28193  df-1s 28194  df-made 28213  df-old 28214  df-left 28216  df-right 28217  df-norec 28324  df-norec2 28335  df-adds 28346  df-negs 28407  df-subs 28408  df-muls 28493  df-divs 28574  df-seqs 28670  df-n0s 28700  df-nns 28701  df-zs 28765  df-2s 28797  df-exps 28799

This theorem is used by:  pw2divsdird  28834