Theorem pw2divsrecd 28382

Description: Relationship between surreal division and reciprocal for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsrecd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsrecd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsrecd	⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsrecd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsrecd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	mulsridd 28069	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 1s ) = 𝐴)
3		2sno 28357	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ No
4		pw2divsrecd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5		expscl 28369	. . . . . 6 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
6	3, 4, 5	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
7		1sno 27791	. . . . . . 7 ⊢ 1s ∈ No
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
9	8, 4	pw2divscld 28376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
10	6, 1, 9	muls12d 28136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
11	8, 4	pw2divscan2d 28379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = 1s )
12	11	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ((2s↑s𝑁) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
13	10, 12	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) = (𝐴 ·s 1s ))
14	1, 4	pw2divscan2d 28379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
15	2, 13, 14	3eqtr4rd 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
16	1, 4	pw2divscld 28376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
17	1, 9	mulscld 28090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) ∈ No )
18		2ne0s 28358	. . . 4 ⊢ 2s ≠ 0s
19		expsne0 28373	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 2s ≠ 0s ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
20	3, 18, 4, 19	mp3an12i 1467	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ≠ 0s )
21	16, 17, 6, 20	mulscan1d 28135	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))) ↔ (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
22	15, 21	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  (class class class)co 7405   No csur 27603   0_s c0s 27786   1_s c1s 27787   ·_s cmuls 28061   /_su cdivs 28142  ℕ_0scnn0s 28258  2_sc2s 28348  ↑_scexps 28350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-nadd 8678  df-no 27606  df-slt 27607  df-bday 27608  df-sle 27709  df-sslt 27745  df-scut 27747  df-0s 27788  df-1s 27789  df-made 27807  df-old 27808  df-left 27810  df-right 27811  df-norec 27897  df-norec2 27908  df-adds 27919  df-negs 27979  df-subs 27980  df-muls 28062  df-divs 28143  df-seqs 28230  df-n0s 28260  df-nns 28261  df-zs 28319  df-2s 28349  df-exps 28351

This theorem is referenced by:  pw2divsdird  28383