Theorem absimlere 46433

Description: The absolute value of the imaginary part of a complex number is a lower bound of the distance to any real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
absimlere.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absimlere.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
absimlere	⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem absimlere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absimlere.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absimlere.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 11650	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		absimle 15456	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
7	1, 3	imsubd 15364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
8	2	reim0d 15372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) = 0)
9	8	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
10	1	imcld 15342	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11639	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtrrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
14	13	fveq2d 6881	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))))
15	3, 1	abssubd 15603	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
16	6, 14, 15	3brtr4d 5137	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℑcim 15245  abscabs 15381

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383

This theorem is used by:  cnrefiisplem  46783