Theorem absimlere 45826

Description: The absolute value of the imaginary part of a complex number is a lower bound of the distance to any real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
absimlere.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absimlere.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
absimlere	⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem absimlere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absimlere.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absimlere.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 11504	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		absimle 15244	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
7	1, 3	imsubd 15152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
8	2	reim0d 15160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) = 0)
9	8	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
10	1	imcld 15130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtrrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
14	13	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))))
15	3, 1	abssubd 15391	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
16	6, 14, 15	3brtr4d 5132	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℑcim 15033  abscabs 15169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  cnrefiisplem  46176