MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logbrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbrec 25363
Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 25344. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
logbrec ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Proof of Theorem logbrec
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpreccld 12444 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3 relogbval 25353 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
42, 3syldan 593 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
5 relogbval 25353 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
65negeqd 10883 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
71rpcnd 12436 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
81rpne0d 12439 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
97, 8logcld 25157 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10 zgt1rpn0n1 12433 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
1110simp1d 1138 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1211adantr 483 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1312relogcld 25209 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1413recnd 10672 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1510simp3d 1140 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
1615adantr 483 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
17 logne0 25166 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
1812, 16, 17syl2anc 586 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ≠ 0)
199, 14, 18divnegd 11432 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
207, 8reccld 11412 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
217, 8recne0d 11413 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
2220, 21logcld 25157 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
231relogcld 25209 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2423reim0d 14587 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
25 0re 10646 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
26 pipos 25049 . . . . . . . . . . 11 0 < π
2725, 26gtneii 10755 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → π ≠ 0)
2928necomd 3074 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≠ π)
3024, 29eqnetrd 3086 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
31 logrec 25344 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
327, 8, 30, 31syl3anc 1367 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
3332eqcomd 2830 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘(1 / 𝐴)) = (log‘𝐴))
3422, 33negcon1ad 10995 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐴) = (log‘(1 / 𝐴)))
3534oveq1d 7174 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
366, 19, 353eqtrd 2863 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
374, 36eqtr4d 2862 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  0cc0 10540  1c1 10541  -cneg 10874   / cdiv 11300  2c2 11695  cuz 12246  +crp 12392  cim 14460  πcpi 15423  logclog 25141   logb clogb 25345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-ef 15424  df-sin 15426  df-cos 15427  df-pi 15429  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25143  df-logb 25346
This theorem is referenced by:  dya2ub  31532
  Copyright terms: Public domain W3C validator