Theorem logbrec 26771

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 26752. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logbrec	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Proof of Theorem logbrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 12994	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3		relogbval 26761	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
4	2, 3	syldan 597	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
5		relogbval 26761	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
6	5	negeqd 11385	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
7	1	rpcnd 12986	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	1	rpne0d 12989	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 26559	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zgt1rpn0n1 12983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
11	10	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	12	relogcld 26612	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11171	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
15	10	simp3d 1150	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
17		logne0 26568	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
18	12, 16, 17	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ≠ 0)
19	9, 14, 18	divnegd 11942	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
20	7, 8	reccld 11922	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	7, 8	recne0d 11923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
22	20, 21	logcld 26559	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
23	1	relogcld 26612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
24	23	reim0d 15185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
25		0re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		pipos 26448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
27	25, 26	gtneii 11256	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → π ≠ 0)
29	28	necomd 2990	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≠ π)
30	24, 29	eqnetrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
31		logrec 26752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
32	7, 8, 30, 31	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
33	32	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘(1 / 𝐴)) = (log‘𝐴))
34	22, 33	negcon1ad 11498	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐴) = (log‘(1 / 𝐴)))
35	34	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
36	6, 19, 35	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
37	4, 36	eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037  -cneg 11376   / cdiv 11805  2c2 12234  ℤ_≥cuz 12786  ℝ⁺crp 12940  ℑcim 15058  πcpi 16029  logclog 26543   log_b clogb 26753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-logb 26754

This theorem is referenced by:  dya2ub  34461