Theorem logbrec 26284

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 26265. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logbrec	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Proof of Theorem logbrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 13025	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3		relogbval 26274	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
4	2, 3	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
5		relogbval 26274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
6	5	negeqd 11453	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
7	1	rpcnd 13017	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	1	rpne0d 13020	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 26078	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zgt1rpn0n1 13014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
11	10	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	12	relogcld 26130	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11241	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
15	10	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
17		logne0 26087	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
18	12, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ≠ 0)
19	9, 14, 18	divnegd 12002	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
20	7, 8	reccld 11982	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	7, 8	recne0d 11983	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
22	20, 21	logcld 26078	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
23	1	relogcld 26130	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
24	23	reim0d 15171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
25		0re 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		pipos 25969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
27	25, 26	gtneii 11325	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → π ≠ 0)
29	28	necomd 2996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≠ π)
30	24, 29	eqnetrd 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
31		logrec 26265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
32	7, 8, 30, 31	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
33	32	eqcomd 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘(1 / 𝐴)) = (log‘𝐴))
34	22, 33	negcon1ad 11565	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐴) = (log‘(1 / 𝐴)))
35	34	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
36	6, 19, 35	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
37	4, 36	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  0cc0 11109  1c1 11110  -cneg 11444   / cdiv 11870  2c2 12266  ℤ_≥cuz 12821  ℝ⁺crp 12973  ℑcim 15044  πcpi 16009  logclog 26062   log_b clogb 26266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-logb 26267

This theorem is referenced by:  dya2ub  33264