Theorem logbrec 26734

Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 26715. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
logbrec	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Proof of Theorem logbrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpreccld 13066	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3		relogbval 26724	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
4	2, 3	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
5		relogbval 26724	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
6	5	negeqd 11492	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
7	1	rpcnd 13058	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	1	rpne0d 13061	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 26524	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zgt1rpn0n1 13055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
11	10	simp1d 1139	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
12	11	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
13	12	relogcld 26577	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11280	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
15	10	simp3d 1141	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
16	15	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
17		logne0 26533	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
18	12, 16, 17	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ≠ 0)
19	9, 14, 18	divnegd 12041	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
20	7, 8	reccld 12021	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
21	7, 8	recne0d 12022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
22	20, 21	logcld 26524	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
23	1	relogcld 26577	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
24	23	reim0d 15212	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
25		0re 11254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		pipos 26415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
27	25, 26	gtneii 11364	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → π ≠ 0)
29	28	necomd 2993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≠ π)
30	24, 29	eqnetrd 3005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
31		logrec 26715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
32	7, 8, 30, 31	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
33	32	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘(1 / 𝐴)) = (log‘𝐴))
34	22, 33	negcon1ad 11604	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐴) = (log‘(1 / 𝐴)))
35	34	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
36	6, 19, 35	3eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
37	4, 36	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147  -cneg 11483   / cdiv 11909  2c2 12305  ℤ_≥cuz 12860  ℝ⁺crp 13014  ℑcim 15085  πcpi 16050  logclog 26508   log_b clogb 26716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-logb 26717

This theorem is referenced by:  dya2ub  33923