MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logbrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbrec 25512
Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 25493. Particular case of Property 3 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
logbrec ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))

Proof of Theorem logbrec
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ+)
21rpreccld 12517 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3 relogbval 25502 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
42, 3syldan 594 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
5 relogbval 25502 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐴) = ((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
65negeqd 10951 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
71rpcnd 12509 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
81rpne0d 12512 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
97, 8logcld 25306 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
10 zgt1rpn0n1 12506 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
1110simp1d 1143 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1211adantr 484 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1312relogcld 25358 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1413recnd 10740 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1510simp3d 1145 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ‘2) → 𝐵 ≠ 1)
1615adantr 484 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
17 logne0 25315 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (log‘𝐵) ≠ 0)
1812, 16, 17syl2anc 587 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ≠ 0)
199, 14, 18divnegd 11500 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -((log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)))
207, 8reccld 11480 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
217, 8recne0d 11481 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ≠ 0)
2220, 21logcld 25306 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘(1 / 𝐴)) ∈ ℂ)
231relogcld 25358 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2423reim0d 14667 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
25 0re 10714 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
26 pipos 25197 . . . . . . . . . . 11 0 < π
2725, 26gtneii 10823 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
2827a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → π ≠ 0)
2928necomd 2989 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≠ π)
3024, 29eqnetrd 3001 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π)
31 logrec 25493 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≠ π) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
327, 8, 30, 31syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) = -(log‘(1 / 𝐴)))
3332eqcomd 2744 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘(1 / 𝐴)) = (log‘𝐴))
3422, 33negcon1ad 11063 . . . 4 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(log‘𝐴) = (log‘(1 / 𝐴)))
3534oveq1d 7179 . . 3 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (-(log‘𝐴) / (log‘𝐵)) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
366, 19, 353eqtrd 2777 . 2 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → -(𝐵 logb 𝐴) = ((log‘(1 / 𝐴)) / (log‘𝐵)))
374, 36eqtr4d 2776 1 ((𝐵 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (1 / 𝐴)) = -(𝐵 logb 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  0cc0 10608  1c1 10609  -cneg 10942   / cdiv 11368  2c2 11764  cuz 12317  +crp 12465  cim 14540  πcpi 15505  logclog 25290   logb clogb 25494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-logb 25495
This theorem is referenced by:  dya2ub  31799
  Copyright terms: Public domain W3C validator