MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recn2 14955
Description: The real part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
recn2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem recn2
StepHypRef Expression
1 ref 14469 . . 3 ℜ:ℂ⟶ℝ
2 ax-resscn 10588 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
3 fss 6516 . . 3 ((ℜ:ℂ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ℜ:ℂ⟶ℂ)
41, 2, 3mp2an 691 . 2 ℜ:ℂ⟶ℂ
5 resub 14484 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑧𝐴)) = ((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴)))
65fveq2d 6663 . . 3 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘(𝑧𝐴))) = (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))))
7 subcl 10879 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
8 absrele 14666 . . . 4 ((𝑧𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝑧𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘(𝑧𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
106, 9eqbrtrrd 5077 . 2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
114, 10cn1lem 14952 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((ℜ‘𝑧) − (ℜ‘𝐴))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919   class class class wbr 5053  wf 6340  cfv 6344  (class class class)co 7146  cc 10529  cr 10530   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864  +crp 12384  cre 14454  abscabs 14591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593
This theorem is referenced by:  climre  14960  rlimre  14965  recncf  23505
  Copyright terms: Public domain W3C validator