MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recn2 15577
Description: The real part function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
recn2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π‘§) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))) < π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(π‘₯)

Proof of Theorem recn2
StepHypRef Expression
1 ref 15091 . . 3 β„œ:β„‚βŸΆβ„
2 ax-resscn 11195 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
3 fss 6739 . . 3 ((β„œ:β„‚βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ β„œ:β„‚βŸΆβ„‚)
41, 2, 3mp2an 691 . 2 β„œ:β„‚βŸΆβ„‚
5 resub 15106 . . . 4 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (β„œβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) = ((β„œβ€˜π‘§) βˆ’ (β„œβ€˜π΄)))
65fveq2d 6901 . . 3 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴))) = (absβ€˜((β„œβ€˜π‘§) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))))
7 subcl 11489 . . . 4 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚)
8 absrele 15287 . . . 4 ((𝑧 βˆ’ 𝐴) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
106, 9eqbrtrrd 5172 . 2 ((𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π‘§) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))) ≀ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)))
114, 10cn1lem 15574 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜π‘§) βˆ’ (β„œβ€˜π΄))) < π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  β„cr 11137   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„+crp 13006  β„œcre 15076  abscabs 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by:  climre  15582  rlimre  15587  recncf  24821
  Copyright terms: Public domain W3C validator