Theorem cau4 15343

Description: Change the base of a Cauchy criterion. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cau3.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
cau4.2	⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
cau4	⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐹   𝑗,𝑀,𝑘,𝑥   𝑗,𝑁,𝑘,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝑗,𝑊,𝑘,𝑥

Proof of Theorem cau4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12865	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		cau3.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	rexuz3 15335	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
5		eluzelz 12870	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		cau4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (ℤ≥‘𝑁)
7	6	rexuz3 15335	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
8	5, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
9	4, 8	bitr4d 281	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
10	9, 2	eleq2s 2847	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
11	10	ralbidv 3175	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥)))
12	2	cau3 15342	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥))
13	6	cau3 15342	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑦))) < 𝑥))
14	11, 12, 13	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑍 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑊 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   < clt 11286   − cmin 11482  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ℝ⁺crp 13014  abscabs 15221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223

This theorem is referenced by:  caurcvg2  15664  caucvgb  15666  cvgcmp  15802